Теория / 2-3

Лекция 2

1.1.Повторение испытаний. Схема испытаний Бернулли

Рассмотрим серию последовательных одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A. Если вероятность наступления события A в каждом из испытаний не зависит ни от номера испытания, ни от исходов предыдущих испытаний, то такую серию испытаний называют схемой Бернулли. Наступление события A в некотором испытании называют успехом, а не наступление – неудачей. Вообще, можно считать, что в каждом испытании возможны лишь два исхода – успех и неудача.

Вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p, вероятность неудачи также постоянна и равна q=1-p. Таким образом, параметрами схемы испытаний Бернулли служат число испытаний n и вероятность успеха p.

Пример. Какие из ниже перечисленных последовательностей испытаний можно считать последовательностью Бернулли:

а) подбрасывание симметричной монетки;

б) вытягивание из колоды карт без возвращения, если за успех считать вытягивание короля;

в) бросание игральной кости, если за успех считать выпадение шестерки;

г) попытки студента сдать экзамен по теории вероятностей.

►Для того, чтобы последовательность была последовательностью Бернулли, требуется, чтобы вероятность успеха в каждом испытании была одинаковой и не зависела ни от номера испытания, ни от исходов предыдущих испытаний. Этим условиям соответствуют последовательности а) и в). Пример б) не подходит, так как после каждого испытания меняется соотношение числа благоприятствующих исходов (число оставшихся королей в колоде) к числу всех исходов (все оставшиеся карты в колоде), т.е. вероятность успеха не является постоянной. Пример г) тоже не является последовательностью Бернулли, в силу того, что студент, надо надеяться, при каждой следующей

1

попытке сдачи экзамена будет готовиться тщательнее, тем самым повышая вероятность успеха. ◄

Нашей задачей, связанной со схемой Бернулли, будет вычисление того,

что в серии из n испытаний Бернулли произошло ровно k успехов. Будем обозначать эту вероятность через ( ). Из комбинаторных соображений несложно показать, что эта вероятность может быть точно вычислена по следующей формуле, называемой формулой Бернулли:

где 0 ≤ ≤ .

Теорема. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, а вероятность не появления его равна q=1-p, то вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз, определяется формулой Бернулли:

2

( ) = −, где 0 ≤ ≤ .

►Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие

A в n независимых испытаниях появится k раз в первых k опытах и не появится

испытаниях k раз в различном порядке равно числу сочетаний . А так как все эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных исходов, т.е.

производящей функцией для последовательности независимых опытов.

(2)

Вероятности (2) называются полиномиальным распределением.

3

Примеры:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,9. Какова вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы?

►Известно, что p=0,9. Тогда вероятность перерасхода электроэнергии равна q=1-p=1-0,9=0,1. Искомую вероятность находим по формуле Бернулли

(1): 7(4) = 74 4 3 = 35 ∙ 0,94 ∙ 0,13 = 0,023. ◄ 2. Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности

попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность:

а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий?

Решить задачу и для случая, когда вероятности различны: 1 = 0,7; 2 =

0,8; 3 = 0,9.

4

Рисунок 1. Вероятности попадания в цель (пример 2)

Также нас может заинтересовать, какова вероятность того, что в серии из n испытаний Бернулли число успехов попадет в заданный интервал.

И еще один интересный вопрос: какое число успехов в серии испытаний Бернулли является наиболее вероятным? Другими словами, требуется найти такое число 1 ≤ 0 ≤ , что для любого 1 ≤ ≤ справедливо: (0) ≥( ). Для ответа на этот вопрос исследуем следующее отношение:

5

Числа − и + , вообще говоря, могут быть не целыми, но разность

между ними равна 1, следовательно, между этими числами обязательно найдется целое. И это целое число 0 называется наивероятнейшим числом

наступления события А в n независимых испытаниях, если вероятность того,

что событие А наступит 0 раз не меньше остальных возможных исходов испытаний. При этом, если + число целое, то получаем два наивероятнейших числа: 0 = + и 0′ = − .

Примеры:

1.По данным предыдущего примера найти наивероятнейшее число суток из ближайших семи, в которые расход электроэнергии не превысит установленной нормы, и вероятность этого наивероятнейшего числа.

►Для решения задачи используем формулу (3): 7 ∙ 0,9 − 0,1 ≤ 0 ≤ 7 ∙ 0,9 + 0,9 6,2 ≤ 0 ≤ 7,2. Единственное целое число, удовлетворяющее данному неравенству: 0 = 7. А вероятность этого наивероятнейшего числа равна: 7(7) = 77 7 0 = 0,97 = 0,478. ◄

2.Каково наивероятнейшее число успехов в серии из 21 испытания, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0,4?

►Вычислим − и + :

− = 21 ∙ 0,4 − 0,6 = 7,8; + = 21 ∙ 0,4 + 0,4 = 8,8.

Целое число 8 и будет наивероятнейшим числом успехов в данной серии испытаний. ◄

3. Найти вероятность того, что в серии из 8 испытаний Бернулли число успехов попадет в интервал от 3 до 6, если p=0,5.

6

►По условию задачи нужно найти вероятность 8(3,6). Искомую вероятность будем вычислять по формуле (3): 8(3,6) = 8(3) + 8(4) +8(5) + 8(6) = С38 ∙ (0,5)3 ∙ (0,5)5 + С48 ∙ (0,5)4 ∙ (0,5)4 + С58 ∙ (0,5)5 ∙ (0,5)3 + С68 ∙ (0,5)6 ∙ (0,5)2 = (С38 + С48 + С58 + С68) ∙ (0,5)8 = 0,82. ◄

4. Вычислить вероятность наступления успеха 58 раз при 110 испытаниях Бернулли, если p=0,4.

►Найдем = 1 − 0,4 = 0,6, затем по формуле (1) искомая вероятность равна: 110(58) = 11058 ∙ 0,458 ∙ 0,652 = 58!52!110! ≈ 0,002025. ◄

Однако, с вычислением значения в последнем примере справится не каждый калькулятор. Очевидно, при большом количестве испытаний значение вероятности ( ) по формуле Бернулли может стать весьма затруднительным. Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления ( ), обеспечивающих необходимую точность. В

следующем параграфе рассмотрим случай, когда n и достаточно велики.

2.1.Локальная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых

Функция ( ) в теории вероятностей играет важную роль, поэтому составлены и широко используются таблицы ее значений, одну из которых можно найти в конце данного пособия (приложение 1). Строки таблицы соответствуют значениям аргумента, заданным с точностью до 0,1, а столбцы соответствуют сотым долям . Все значения в таблице меньше 1, но для сокращения объема почти везде опускается «0,» в начале числа. Кроме того,

функция ( ) обладает следующими свойствами:

1.Функция ( ) четная, т.е. (− ) = ( ). Поэтому в таблице приведены только значения функции при положительных значениях .

2.Функция ( ) довольно быстро убывает, поэтому при | | ≥ 4 можно считать, что ( ) ≈ 0.

Пример. Вычислим 110(58) при p=0,4 (из примера 4 предыдущей темы). ►Воспользуемся формулой (5). Итак, сделаем предварительные расчеты:

= 1 − 0,4 = 0,6; = 110 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 26,4; √ ≈ 5,14

Если сравнить это значение с вычисленным непосредственно по формуле

Бернулли, убедимся, что абсолютная погрешность вычислений в нашем случае составила всего 10−5, что можно считать хорошим приближением. А

относительная погрешность составляет 0,002025−0,001926 ≈ 0,04889, т.е.

0,002025

меньше 5%.

С другой стороны, попробуем воспользоваться формулой (5) в

следующем примере.

Пример. Вычислить 8(3) при p=0,1.

►Вычислим значение 8(3) при p=0,1 двумя способами: с помощью формулы (5) и по формуле Бернулли (1).

8

1. Прежде чем применить формулу (5), проведем предварительные

расчеты: ≈ 3−8∙0,1 = 2,2 ≈ 2,59. По таблице значений ( ): (2,59) ≈

√8∙0,1∙0,9 0,85

0,0139. Таким образом, по формуле (5) искомая вероятность равна: 8(3) ≈

0,01390,85 ≈ 0,016.

2. При непосредственном использовании формулы Бернулли, получаем несколько другой результат:

8(3) = 83 ∙ 0,13 ∙ 0,95 = 56 ∙ 0,001 ∙ 0,59049 ≈ 0,033.

Относительная погрешность в данном случае составляет:

0,033−0,016 = 0,017 ≈ 0,515 = 51,5%. ◄ 0,033 0,033

Очевидно, погрешность недопустимо велика, следовательно, формулу (5)

здесь применять нельзя! Формула (5) дает плохое приближение в случаях небольшого количества испытаний (значений n). Можно также убедиться, что точность приближения зависит и от значения p: чем ближе оно к 0,5, тем точнее. А что делать, когда значения p и q маленькие, т.е. близки к 0, но количество испытаний велико и пользоваться формулой Бернулли затруднительно? На этот вопрос ответит следующая теорема.

2.2.Теорема Пуассона

Если вероятность наступления некоторого события A в n независимых испытаниях равна p, и в каждом испытании эта вероятность неограниченно уменьшается ( → 0), а число испытаний неограниченно увеличивается ( → ∞), причем → , где − постоянная величина, то вероятность ( )

того, что в этих испытаниях событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет предельному равенству:

lim ( ) = ! ∙ − .

→∞

Это равенство называется асимптотической формулой Пуассона. Из теоремы Пуассона, при достаточно больших n и при достаточно малых значениях p, получаем следующую формулу:

9

Переходя к пределу при → ∞, согласно второму замечательному пределу,

получаем lim ( ) = ! ∙ −. ◄

→∞

Вообще говоря, примерное равенство в формуле (6) будет сохраняться при любых значениях p, однако, при недостаточно малых значениях p

погрешность этой формулы будет непозволительно велика.

Формула Пуассона имеет широкое применение в теории массового обслуживания.

Итак, можно сделать следующие выводы. В тех случаях, когда это удобно, т.е. число испытаний достаточно мало, необходимо использовать формулу Бернулли, поскольку она единственная дает точное значение ( ).

В других случаях приходится использовать одну из приближенных формул.

Сделать между ними правильный выбор поможет следующая таблица 1.

Таблица 1. Рекомендации к выбору формулы для вычисления ( )

10