МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра теоретических основ электротехники

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Тема: Исследование свободных процессов в электрических цепях

Студент
Преподаватель

Санкт-Петербург

2022

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной лабораторной работы является изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением ее собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости, так же целью данной работы является экспериментальное определение собственных частот и добротности RLC-контура по осциллограммам.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Рис. 1 – Схемы цепей, представленные в данной работе

Порядок в цепи зависит от количества L и C элементов.

1) Cхема рис. 1, а, относится к цепи первого порядка.

Тогда, входная проводимость:

Y(p) = pC + =0

p₁ = - a = -

2) Схема рис. 1, б, относится к цепи второго порядка.

Тогда, данная цепь будет обладать двумя собственными частотами (p₁ и p₂).

Входная проводимость: Y(p) = pC + =0

=> p_1,2 = - ± , где a = , =

3) Схема рис. 1, в, цепь третьего порядка. Найдем p₁, p₂ и p₃:

Входная проводимость: Y(p) = pC + + =0 => p₁ = - a = -

p_2,3 = - ± , где a =

Для цепи первого порядка (рис. 1, а) свободный процесс описывается так:

Цепь второго порядка. Если собственные частоты - простые вещественные:

p₁ = -a₁ и p₂ = -a₂

Тогда свободный процесс апериодический:

Свободный процесс в цепи первого (рис. 2, а) и второго порядка (рис. 2, б):

Рис.2 – Временные диаграммы свободных процессов

Если собственные частоты - комплексно-сопряженные:

p_1,2 = -a ± j

Тогда свободный процесс колебательный: (рис. 3 в)

Если собственные частоты - вещественные кратные:

p₁ = p₂ = -a

Свободный процесс: (рис. 3 г)

Рис. 3 – Временные диаграммы свободных процессов

a -комплексно-сопряженных собственных частот

б - вещественных кратных собственных частот

Постоянная затухания (рис. 2, а): a = и  = => p = -a = -

В случае рис. 3, в, собственные частоты: p_1,2 = -a ± j = -a ± j

В случае рис. 3, г, собственные частоты цепи: p₁ = p₂ = -a = -

Добротность последовательного RLC - контура: Q = = = ₀ =

₀ =

p_1,2 = -

при Q < 0,5 - апериодический режим

Q = 0,5 – критический режим

Q > 0,5 – колебательный режим

Q → ∞ – незатухающий колебательный режим

При Q > 10: p_1,2 = -

Тогда, формула добротности: Q = = =

Учитывая отношение напряжений за n периодов колебаний:

Q = = =

Обработка результатов измерений

1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка.

Рис. 1 – Схема цепи первого порядка

источник тока i₀(t - генератор импульсов:

Рис. 2 – Выставленные параметры осциллографа.

Рис. 3 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка.

Вычислим собственную частоту цепи теоретически:

p = = = = -10000

Определим собственную частоту цепи по осциллограмме:

0.5 В

0.1 мс

0.19 мс

0.2 В

Рис. 4 – Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка.

p = -α = - = - = -10181

Определим свободный процесс:

U_C(t) = Ae^-10000t

Рис. 5 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи первого порядка на комплексной плоскости.

Ответы на вопросы

1. Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?

Ответ: осциллографируемый процесс описывается выражением:

U_C(t) = Ae^-10000t

2. Соответствует ли найденная собственная частота теоретическому расчету, выполненному согласно (3.1)?

Ответ: найденная собственная частота приблизительно равна частоте, найденной теоретически: Теоретическая - p = -10000

Практическая - p = -10181

2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка

Рис. 6 – Схема цепи второго порядка.

2.1. Снятие осциллограммы процесса при R₁ = 0,5 кОм (колебательный режим):

Рис. 7 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 0,5 кОм).

Вычислим собственные частоты цепи теоретически:

p_1,2 = ±

p_1,2 = ± = -10000 ± j∙43589

Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:

Рис. 8 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 0,5 кОм).

α = , где △t = T

α = = = 4951

p_1,2 = -a ± j = -a ± j = -4951 ± j∙22440

Определим свободный процесс:

U_R(t) = A₁e^-10000tcos(43589t) + A₂ e^-10000tsin(43589t)

Рис. 9 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости

(R₁ = 0,5 кОм).

Вычислим добротность контура теоретически:

Q = = = 2,24

Вычислим добротность контура по осциллограмме:

Q = = = = = 2,27

соответствует колебательному режиму (Q > 0,5).

2.2. Снятие осциллограммы процесса при R₁ = 3 кОм (апериодический режим):

Рис. 10 – Осциллограмма при исследование свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 3 кОм).

Вычислим собственные частоты цепи теоретически:

p_1,2 = ± = ±

= - 60000 ± 40000

Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:

Рис. 11 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 3 кОм).

p₁ = - = - = -12500

p₂ = - = - = -50000

Определим свободный процесс:

U_R(t) = A₁e^-20000t + A₂e^-100000t

Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:

Рис. 12 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости

(R₁ = 3 кОм).

2.3. Снятие осциллограммы процесса при R₁ = R_КР = 1,5 кОм (критический режим):

Рис. 13 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = R_КР = 1,5 кОм).

Вычислим собственные частоты цепи теоретически:

p₁ = p₂ = - α = = = -30000

Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:

Рис. 14 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = R_КР = 1,5 кОм).

p₁ = p₂ = - α = = = -33333

Определим свободный процесс:

U_R(t) = A₁e^-32000t + A₂te^-32000t

Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:

Рис. 15 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости

(R₁ = R_КР = 1,5 кОм).

2.3. Снятие осциллограммы процесса при R₁ = 0 (незатухающий режим):

Рис. 16 – Осциллограмма при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 0).

Вычислим собственные частоты цепи теоретически:

p_1,2 = ± jω = ± j = ± = ± j44721

Вычислим собственные частоты цепи по осциллограмме:

Рис. 17 - Определение собственой частоты при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 0).

p_1,2 = ± jω = ± j = = ±j44880

Определим свободный процесс:

U_R(t) = A₁cos(44721t)

Отобразим диаграмму расположения собственных частот на комплексной плоскости:

Рис. 18 - Диаграмма расположения собственных частот при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка на комплексной плоскости

(R₁ = 0).

Вычислим добротность контура:

Рис. 19 - Определение добротности при исследовании свободных процессов в цепи второго порядка (R₁ = 0).

Q = = = 20,4