МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра биотехнических систем
отчет
по практическому занятию №2
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Тема: Анализ временных рядов
Вариант 8
Студентка гр. 7501 |
|
Кирьянова А.М. |
Преподаватель |
|
Скоробогатова А.И. |
Санкт-Петербург
2020
Цель работы: написать программу для анализа одномерного временного ряда.
Основные теоретические положения
Анализ временных рядов (time-series analysis) – совокупность статистических методов для выявления составляющих временного ряда и его прогнозирования.
Временной ряд – последовательность статистических данных, собранных в разные моменты времени, о значении каких-либо параметров исследуемого процесса.
Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя, а основной целью их анализа является построение прогноза значений ряда на будущие периоды. Основные задачи анализа временного ряда – понять, под воздействием каких компонент формируется значение временного ряда, и построить математическую модель для каждой компоненты или их совокупности.
В данной работе используются два метода анализа временного ряда:
Метод скользящего среднего;
Экспоненциальное сглаживание.
Метод скользящего среднего
Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания - скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним n соседних членов, где n - ширина "окна". Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в окно. Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием, скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри окна). Таким образом, если в данных имеются выбросы (связанные, например, с ошибками измерений), то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким или, по крайней мере, более "надежным" кривым, по сравнению со скользящим средним с тем же самым окном. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов, он приводит к более "зубчатым" кривым, чем сглаживание скользящим средним.
Экспоненциальное сглаживание
Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид:
b
– константа
и 
–
случайная ошибка. Константа b относительно
стабильна на каждом временном интервале,
но может также медленно изменяться со
временем. Один из интуитивно ясных
способов выделения b состоит
в том, чтобы использовать сглаживание
скользящим средним, в котором последним
наблюдениям приписываются большие
веса, чем предпоследним, предпоследним
большие веса, чем пред-предпоследним и
т.д. Простое экспоненциальное именно
так и устроено: здесь более старым
наблюдениям приписываются экспоненциально
убывающие веса, при этом, в отличие от
скользящего среднего,
учитываются все предшествующие
наблюдения ряда, а не те, что попали в
определенное окно. Точная формула
простого экспоненциального сглаживания
имеет следующий вид:
где
– коэффициент
сглаживания,
который принимает значения от 0 до 1 и
определяет, насколько быстро уменьшается
вес для предыдущих наблюдений.
Когда
эта формула применяется рекурсивно, то
каждое новое сглаженное значение,
которое является также прогнозом,
вычисляется как взвешенное среднее
текущего наблюдения и сглаженного ряда.
Очевидно, результат сглаживания зависит
от параметра
.
Если 
,
то предыдущие наблюдения полностью
игнорируются. Если 
, то
игнорируются текущие наблюдения.
Значения
между
0 и 1 дают промежуточные результаты.
Код программы
clc
clear
close all
%% Загрузка данных
num = xlsread('timeline.xlsx','Лист1','H1:H600');
%% Построить временной ряд
figure
limeline = timeseries(num(:,1), 1:600,'name', 'testing');
plot(limeline,'Color','#0072BD','LineWidth',0.7)
title('Временной ряд')
xlabel('Временные отсчеты')
ylabel('Сигнал')
%% Расчет скользящего среднего
figure
smoothedData = smoothdata(num,'movmean',10);
plot(num,'Color','#0072BD','LineWidth',0.7)
hold on
plot(smoothedData,'Color','#A2142F','LineWidth',1.1)
title('Реализован расчет скользящего среднего в окне w')
xlabel('Временные отсчеты')
ylabel('Сигнал')
%% Экспоненциальное сглаживание
figure
smoothDataExp = smoothdata(num,'SmoothingFactor',0.5);
plot(num,'Color','#0072BD','LineWidth',0.7)
hold on
plot(smoothDataExp,'Color','#A2142F','LineWidth',1.1)
title('Реализовано экспоненциальное сглаживание')
xlabel('Временные отсчеты')
ylabel('Сигнал')
Обработка результатов эксперимента
Рисунок 1 – Построение временного ряда
Метод скользящего среднего
Рисунок 2 – Построение скользящего среднего с шириной окна 5
Рисунок 3 – Построение скользящего среднего с шириной окна 50
Рисунок 4 – Построение скользящего среднего с шириной окна 200
Рисунок 5 – Построение скользящего среднего с шириной окна 601 (максимальное значение параметра)
Экспоненциальное сглаживание
Рисунок
6 – Построение экспоненциального
сглаживания с
Рисунок
7 – Построение экспоненциального
сглаживания с
Рисунок
8 – Построение экспоненциального
сглаживания с
Рисунок 9 – Построение экспоненциального сглаживания с (максимальное значение параметра)
Вывод
В ходе данной практической работы был произведен анализ тенденции временного ряда с помощью двух методов: скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Методы отличаются между собой осуществляемыми алгоритмами, однако дают примерно одинаковый результат с помощью подбора коэффициентов, что видно по рисункам 2-5 (метод скользящего среднего) и 6-9 (метод экспоненциального сглаживания).