Коллоквиум 1

Теория множеств

22. Множество будем понимать как любое собрание определенных и раздичимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

23. Множество считается заданным, если имеется правило, позволяющее установить относительно любого объекта, является ли он элементом этого множества или нет. Множество можно задать либо перечисление всех его элементов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами.

24.

1) элемента a принадлежит множеству A.

2) элемент а не принадлежит множеству А.

3) Множество А является подмножеством множества В

4) Множество А может совпадать с множеством В

25. Множества А и В называются равными, если множество А может совпадать с множеством В и множество В может совпадать с множеством А.

26. Охарактеризуйте множества N,Z,Q,I,R.

N – Множество натуральных чисел 1,2,…

Z – Множество целых чисел 0, +-1,+-2

Q – Множество рациональных чисел – множество всех периодических десятичных дробей.

I – множество иррациональных чисел являющихся непериодическими дробями

R – множество действительных чисел.

27. Между любыми двумя неравными вещественными числами расположены другие вещественные числа, как рациональные, так и иррациональные.

28. Отношение порядка позволяет

* Сравнивать между собой различные элементы одного множества.

* Располагать элементы определенных образом

Для числовых множеств к отношением порядка относится :

• >,< - отношение строго порядка;

• >=,<= - отношение нестрогого порядка;

29. Приведите примеры конечных, бесконечных, счетных, несчетных множеств.

Бесконечными являются множества N, Z, Q, I,R. Промежуток в R также является бесконечным множеством в силу свойства плотности множества вещественных чисел.

Бесконечные множества задают с помощью правила. Перечисление можно щадать только конечные множества.

Множество А является счетным, если между А и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно-однозначное соответствие

Несчетными являются множество R и любой промежуток в R.

30. Множество X из R называют ограниченным, если для всякого элемента x множества X выполнено неравентво |x| <=c, где c – действительное число.

31. Число c входящее в множество R называется верхней границей множества A входящей в множество R, если для всякого a входящего в множество A выполнено неравентсво a <=c. Множество, имеющее верхнюю границу, называется ограниченным сверху.

32. Наименьшая из всех верхних границ множества А называется точной верхней границей и обозначается sup A.

33. Число d являющееся элементом множества R называется нижней границей множества A являющегося подмножестом множества R, если для всякого элемента а являющегося жлементом множества А выполнено неравентсво а >=d. Множество, имеющее верхнюю границу, называется ограниценным снизу.

34. Наибольшая из нижних границ множества А называется точной нижней границей и обозначается inf A

35. множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности:

• Каждое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю границу.

• Каждое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет точную нижнюю границу.

36. Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов множества А и В, не содержащее никакаих других элементов.

37. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее лишь из элементов, принадлежащих одновременно и А, и В.

38. Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее все те и только те элементы множества А, которые не являются элементами множества В.

39. Прямым (декартовым) произведение множеств А и В называется множество AxB, элементами которого являя.тся всевозможные упорядоченные пары (a,b), где a является элементом множества A, b являестя элементом множества B. Аналогично можно определить прямое произведение любого числа множеств.

Алгебра геометрических векторов.

40. Декартову систему координат (0,i,j) называют правой, если поворот на угол 90 от вектора i к вектору j происходит против часовой стрелки.В этом случае говорят, что векторы i, j образуют правую связку.

Декартова система координат на плоскости состоит из :

• Точки О – начала координат.

• Отложенных от точки О базисных векторов i,j

Векторы i,j нахывают базисом на плоскости, а векторы i,j,k называют базисом пространства

Ось ОХ – ось абсцисс. Ось ОУ – ось ординат.

41. Декартову систему координат (O,i,j,k) называют правой, если с конца вектора k поворот от вектора I к вектору j на угол 90 виден совершающимся против часовй стрелки, и левой, если этот поворот происходит по часовой стрелке.

Ось ОХ – ось абсцисс. Ось ОУ – ось ординат. Ось OZ – ось аппликат.

42. Геометрическим вектором называется упорядоченная пара точек (A,B).

Расстояние между точками А и В называется модулем вектора AB, обозначается |AB|

Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым и обозначается 0.

Вектор ОМ называется радиусом-вектора точки М.

43. Векторы AB и MN называются равными если:

1. AB одиноково ориентирован с вектором MN

2. |AB|=|MN|

Чтобы задать вектор, можно использовать 2 способа:

1. Задать направление вектора и модуль вектора

2. Задать координаты вектора относительно выбранной системы координат

44. Сложение геометрических векторов выполняют по правилу треугольника (параллелограмма). Пусть даны векторы а1 и а2. От произвольной точки О отложим вектор ОА1, равный а1, от точки А1 отложим вектор А1А2, равный а2. Вектор ОА2 называется суммой векторов а1,а2 и обозначается а1+а2

45. произведение вектора а на число с называют вектор в, обозначаемый с*а или СА и определяемый условиями:

1. ca сонаправленыый с a, если c>0

2. ca противополоджно направлен с a, если c<0

3. |ca|=|c|*|a|

4. 0*a=0

46. Следуя методу координат, изученному в средней школе, мы можем сказать, что любой вектор на плоскости а единственным образом может быть представлен в виде

A=xi+yi

Упорядоченную пару чисел (x,y) называют координатами (проекциями, компонентами, составляющими) вектора а относительно базиса I,j. Пишут а=(x,y).

В пространстве любой вектор а единственным образом может быть представлен в виде:

A=xi+yj+zk

Упорядоченную тройку чисел (x,y,z) называют координатами (проекциями, компонентами, составляющими) вектора а Относительно базиса I,j,k. Пишут а=(x,y,z)

Координатами точки М нахываются координаты ее радиуса-вектора.

47. Чтобы найти координаты вектора АВ, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала. а+в=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

А координаты вектора c*a=(c*x1,c*y1,c*z1)

48.

49,50

51. скалярным произведением ненулевых векторов а и в называется число, обозначаемое (a,в), равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними, т.е.

(a,b)=|a|*|b|*cosф

Свойства:

52.

53,55,56

54. Координаты орта вектора а, т.е. координаты вектора а0, и направленного так же, как и а по длине равного единице. Координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами

57.

* Если скалярное произведение положительно, то угол острый

* Если скалярное произведение отрицательно, то угол тупой

* Произведение перпендикулярных векторов = 0, т.к. cos 90 = 0

58. Векторы АВ и MN, лежащие на одной прямой или параллельных прямых называют коллинеарными. Угол между векторами равен 0

59. Два ненулевых вектора а и в называют ортогональными, если (a,b)=0

60. Говорят, что эти векторы образуют правую тройку, если наблюдая с конца вектора с, мы видим что движение от вектора а к вектору b в кратчайшем направлении происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

61,63

62.

Прямая на плоскости

64.

В зависимости от количества решений:

Множество решений – кривую

Единственное решение – точку

Нет решений – нет геометрического образа

65. Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением кривой L в выбранной системе координат, если координаты (x,y) любой точки кривой L удовлетворяют этому уравнению и любое решение (x,y) уравнения F(x,y)=0 определяет точку М(x,y), принадлежащую кривой L

66.

67.

68.

69.

70. параметрическое уравнение прямой в векторной форме – r=r0+t*1

Параметрическое уравнение прямой в координатной форме –

71. Каноническое уравнение прямой -

72.

73.

74.

75.

76.

Способо 1

Способ 2

Способ 3

77.