БСТ19ХХ / Задание №2 / Методичка

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории вероятностей и прикладной математики

Власов А.В.

Учебно-методическое пособие по дисциплине

МАТЕМАТИКА

Часть 2

для студентов-заочников 1 курса

(направления: 15.03.04, 09.03.02)

Москва 2016

План УМД на 2016/17 уч. г.

Учебно-методическое пособие по дисциплине

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Составитель А.В.Власов, к.т.н., доцент

Издание утверждено на заседании кафедры.

Рецензент В.С.Юдин, к.т.н., доцент

2

Целью преподавания данной дисциплины является изучение основных разделов высшей математики, включающих в себя основы теории функций нескольких переменных, дифференциальные уравнения, а также числовые и функциональные ряды. Полученные студентами знания, умения и навыки по данной дисциплине помогут им в освоении таких дисциплин, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дискретная математика», а также ряда иных дисциплин.

В процессе изучения курса студент должен самостоятельно выполнить контрольную работу, варианты которой приводятся в конце данного пособия. По результатам самостоятельной работы и на основании выполненной контрольной работы студент допускается к экзамену по данной дисциплине.

Бюджет времени на изучение курса (час)

Примерное содержание лекционного курса

1.Функции нескольких переменных. Вычисление частных производных для функции двух переменных.

2.Частные производные высших порядков. Использование частных производных для нахождения экстремумов функции двух переменных.

3.Понятие дифференциального уравнения. Формулировка теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши. Общее и частное решения дифференциальных уравнений.

4.Методы решения основных видов дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейного уравнения, уравнения однородного относительно x и y .

5.Решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение однородных и неоднородных уравнений данного вида.

6.Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда. Абсолютная и уловная сходимости числового ряда.

3

7.Основные признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами: ряд Дирихле, интегральный признак, признаки сравнения, признак Даламбера.

8.Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница.

9.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.

10.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Определение области сходимости степенного ряда.

11.Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Примерная тематика упражнений

1.Техника вычисления частных производных.

2.Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

3.Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

4.Исследование числовых рядов на сходимость.

5.Нахождение области сходимости степенного ряда

Список литературы

Основная

1.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов. – М.: Астрель, 2004. – 654 с.

2.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1.

–М.: ОНИКС, 2005. – 304 с.

Дополнительная

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1, 2. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1985. — 432 с.

2.Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. - М.: Наука, 2012.

Пример решения задач варианта контрольной работы по курсу «Математика. Часть 2»

Задача 1. Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производных:

u(x; y) x3ey x4 3.

4

Решение. Вычисляем первые частные производные данной функции, пользуясь правилом: при вычислении производной по одной переменной вторая переменная принимается за константу. Тогда:

ux' 3x2ey 4x3 ; u'y x3ey .

Пользуясь тем же принципом, повторным дифференцированием вычисляем производные второго порядка:

uxx'' (ux' )'x 6xey 12x2 ;

u''yy (u'y )'y x3ey ;

Из последних двух равенств видно, что смешанные производные второго порядка от исходной функции равны между собой

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

y xy x3 .

Решение. Будем искать решение данного линейного уравнения первого порядка в виде произведения двух функций: y uv . Тогда y u v uv .

Подставляем последние выражения в уравнение: u v uv uvx

u v u(v vx ) x3 .

Функцией v(x) можно распорядиться произвольно. Поэтому выбе-

рем эту функцию такой, чтобы она максимально упрощала исходное уравнение. А это будет, если выполнится условие:

v vx 0 .

Из этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменнными находим функцию v(x) . Имеем:

dvdx vx .

Далее разделяем переменные и интегрируем:

dvv dxx .

5

При этом необходимо учитывать, что мы ищем любую функцию, которая обнуляет данную скобку, а следовательно, нас устроит любое частное решение данного уравнения. Поэтому мы опускаем (обнуляем) произвольную постоянную, входящую в общее решение и получаем:

Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя его, получим:

du x2dx или u x3 C . 3

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид.

y x( x3 C) . 3

Задача 3. Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее

Решение. Запишем характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения:

k 2 5k 6 0 .

Его корни k1 2 , k2 3действительны и различны. Поэтому общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид:

y C1e2 x C2e3x .

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем производную общего решения:

y 2C1e2 x 3C2e3x .

Подставляя в выражения для y(x) и y (x) значение аргумента x 0 , получим систему линейных уравнений

решением которой будут C1 1, C2 1. Тогда решением данного диффе-

ренциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, будет

y e3x e2 x .

Задача 4. Исследовать числовые ряды на сходимость.

6

Для исследовании сходимости данного числового ряда с положительными членами используем принцип Даламбера:

Для этого знакочередующегося ряда выполняются оба условия признака Лейбница:

Отсюда следует, что ряд сходится при x ( 2;2) и расходится при x ( ; 2) (2; ) .

Рассмотрим сходимость ряда в граничных точках промежутка.

x 2 . Подставим данное значение в функциональный ряд, получив при

расходящимся ( p 12 ). Таким образом, исследуемый степенной ряд сходится при x [ 2; 2) .

7

Правила нахождения номера своего варианта А. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют число, меньшее 50, то номер варианта совпадает с этим числом.

Например, если номер студенческого билета БСТ150423, то номер варианта

23.

В. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют число, большее или равное 50, то для получения номера варианта из этого числа надо вычесть 50.

Например, если номер студенческого билета БСТ150468, то номер варианта 68-50=18.

Вариант 00

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u tg(xy)

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: 1 x (1 x2 )(ex e2 y y ) 0

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

4. Исследовать числовые ряды на сходимость:

Вариант 01

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u ln(x y )

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: (x2 1) y xy x3 x

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

4. Исследовать числовые ряды на сходимость:

5. Написать пять членов разложения функции y cos 2x в ряд Маклорена

8

Вариант 02

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u ln(2x 4y)

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: xdy ydx x2 y2 dx

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

4. Исследовать числовые ряды на сходимость:

Вариант 03

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u xy xy

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y 2y e 2 x

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

Вариант 04

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u cos(xy2 )

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: (1 x2 ) y xy 1

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

y (0) 0

9

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u cos2 (x y)

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y 4x y x4ex

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

y (0) 0

4. Исследовать числовые ряды на сходимость:

Вариант 06

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u sin(x2 y 2 )

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y2 xy xyy

3.Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетво-

Вариант 07

1.Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производ-

ных: u ln(x3 y 2 )

2.Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: xy 2 y x2 0

3.Определить частное решение линейного дифференциального урав-

10