Учебное пособие 1816

1.3.3. Умножение матриц

Согласованные матрицы можно перемножать друг на друга в порядке согласования.

Пусть Am×n и Bn×p – согласованные матрицы, матрица C = AB назы-

вается произведением матрицы A на матрицу B , если ее элементы вычис-

ляются по правилу

n

cij = ai1 b1 j +ai2 b2 j +... +ain bnj = ∑aik bkj , i =1,2,...,m; j =1,2,..., p .

k =1

В соответствии с указанным правилом можно записать:

Cm×p = Am×n Bn×p .

Из рассмотренной формулы следует, что элементы матрицы cij получаются путем скалярного произведения i -ой строки матрицы A на j -ый столбец матрицы B .

Отметим, что из определения произведения матриц следует, что это произведение в общем случае не является коммутативным, то есть если AB существует, то BA или не существует, или AB ≠ BA .

Другими словами, произведение AB матриц зависит от порядка сомножителей, поэтому говорят, что матрица A умножена на матрицу B справа, или матрица B умножена на матрицу A слева.

Если AB = BA , то матрицы A и B называются перестановочными.

				1 2	−1 0	3
Пример 1. Пусть даны матрицы A =					, B =	−9	. Найти
матрицу C = AB .				−3 4	1 2
Во-первых, матрицы A и B согласованные: C2×3 = A2×2 B2×3 . Обозна-
c11	c12	c13
чим C = c21	c22	c23	.

Тогда

c11 =1 (−1) +2 1 =1, c12 =1 0 +2 2 = 4, c13 =1 3 +2 (−9) = −15,

c21 = (−3) (−1) +4 1 = 7, c22 = (−3) 0 +4 2 =8, c23 = (−3) 3 +4 (−9) = −45.

Следовательно,

11

				1	4	−15
				C =	8	−		.
				7				45
Отметим, что произведение BA не существует, так как матрицы B и
A не согласованы.
Пример 2.		Пусть	1 1				1	−1	0 0		и
			A =	,	B =				, тогда AB =
0	0		1 1			−1 1			0 0
BA =	, то есть AB = BA . Следовательно, матрицы A и B перестано-
0	0
вочные.
Пример 3.		Пусть		1 1			2 1		10 7		и
			A =	,	B =			,	тогда AB =
5	8			3 4			4 3		22 15
BA =	, т. е. AB ≠ BA , а матрицы A и B неперестановочные.
13	20

Свойства операции умножения матриц

1º. (AB)C = A(BC) = ABC ;

2º. α(AB) = (αA)B = A(αB) =αAB ;

3º. (A + B)C = AC + BC или C(A + B) = CA +CB ; 4º. AEn = EmA = A ;

5º. O A = O , где нулевая матрица O и матрица A согласованы, A O = O , где матрица A и нулевая матрица O согласованы;

6º. (AB)T = BT AT или (ABC)T = CT BT AT ;

7º. AAT – симметричная матрица.

12

Лекция 2

Определители n -го порядка. Обратная матрица

2.1. Определитель n -го порядка

Понятие определителей второго и третьего порядков и способы их вычисления были ранее изучены, поэтому перейдем сразу к понятию определителя n -го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка:

	a11		a12	K a1n
	a21		a22	K a2n
	A =	M	M	O M	.
	an1		an2	K ann

Определителем этой матрицы называется число

					a11	a12	K a1n
=		A		= det A =	a21	a22	K a2n		,
					M	M	O	M
					an1	an2	K	ann

которое вычисляется по формуле

A = a11 A11 +a12 A12 +... +a1n A1n ,

где Aij = (−1)i + j Mij , а Mij – это определитель (n −1) -го порядка, который получается из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца. Определитель Mij называется минором элемента aij , и число Aij – алгебраическим дополнением элемента aij определителя матрицы A .

Таким образом, вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению определителя (n −1) -го порядка.

13

Основные свойства определителей n -го порядка

1º. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не изменяется:

detA = detAT .

2º. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц:

detAB = detA detB .

3º. Если в определителе переставить местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.

4º. Общий множитель любого ряда можно вынести за знак определите-

ля.

5º. Если в определителе две строки или два столбца пропорциональны, то определитель равен нулю.

6º. Если каждый элемент k -го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых: aik = bik +cik , т.е. если

a11

a12

K b1k +c1k

K a1n

=

a21

a22

K b2k +c2k

K a2k

,

M

M

O

M

O M

an1

an2 K bnk +cnk

K ann

то можно представить в виде суммы двух определителей:

a11

a12

K b1k

K a1n

a11

a12

K c1k

K a1n

=

a21

a22

K b2k

K a2k

+

a21

a22

K c2k

K a2k

.

M

M

O M

O M

M

M

O M

O M

an1

an2

K bnk

K ann

an1

an2

K cnk

K ann

Аналогичное утверждение справедливо и для строк.

14

7º. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

8º. Теорема о разложении. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) и соответствующих алгебраических дополнений:

n

A = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +... +ain Ain = ∑aij Aij ; j =1

n

A = a1 j A1 j +a2 j A2 j +... +anj Anj = ∑aij Aij . i =1

9º. Сумма произведений элементов любого ряда и соответствующих алгебраических дополнений элементов параллельного ряда равна нулю.

2.2. Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Матрица, обозначаемая

A−1 , называется обратной матрице A , если выполняется следующее условие:

AA−1 = A−1A = E .

Отметим, что знак «-1» – это знак для обозначения обратной матрицы. Из определения обратной матрицы следуют ее свойства:

1º. (A−1 )−1 = A ;	3º. (AB)−1 = B−1A−1 ;
2º. (A−1 )k = (Ak )−1 ;	4º. det(A−1 )=	1	.
		detA

Докажем, например, свойство 4º. Действительно, если существует об-

ратная матрица A−1 , то det(AA−1 ) = detA−1detA = detE =1. Так как detA−1detA =1, то отсюда следует, что detA ≠ 0, и det(A−1 )= detA1 .

15

Теорема. Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную матрицу, и притом только одну.

Доказательство. Приведем подробное доказательство второй части теоремы, а именно: если у матрицы существует обратная матрица, то она оп-

ределяется единственным образом. Пусть матрица A−1 является обратной матрице A , т.е.

A−1A = E .

Пусть у матрицы A существует еще одна обратная матрица B ,

BA = E .

Последнее равенство умножим справа на A−1 , получим с одной сторо-

ны

(BA)A−1 = EA−1 = A−1 ,

с другой стороны

B(AA−1) = BE = B.

Следовательно, B = A−1.

2.3. Вычисление обратной матрицы

Пусть A – квадратная невырожденная матрица n -го порядка

	a11		a12	K a1n
	a21		a22	K a2n
	A =	M	M	O M	.
			an2
	an1			K ann

Напомним, что в силу невырожденности матрицы ее определитель отличен от нуля, т.е. detA ≠ 0 .

Поставим в соответствие матрице A присоединенную матрицу A *

16

A11		A12	K A1n
		A22
A21			K A2n
A* =	M	M	O M		,
		An2
An1			K Ann

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij .

Можно показать, что для невырожденной матрицы обратная матрица имеет вид ([3, §2,с. 14])

A−1 = detA1 (A *)T .

Отметим, что если матрица A вырожденная ( det A = 0), то для такой матрицы обратной не существует.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

3		5	−2
	1	−3	2
A =				.
	6	7	−3

Найдем определитель матрицы A , используя свойства определителей 4º, 7º и 8º, разлагая определитель по первому столбцу

		3	5	−2				0	14	−8		=1 (−1)2+1		14	−8		7	4
det A =		1	−3	2		=		1	−3	2						=10			=10(21−20) =10.
		6	7	−3				0	25	−15				25	−15		5	3

Вычислим алгебраические дополнения:

1+1

− 3 2

1+2

1

2

1+3

1

−3

A11 = (−1)

7 − 3

= −5 , A12

= (−1)

6

−3

=15 , A13 = (−1)

6

7

= 25,

17

A21	= (−1)2+1				5	−2			=1, A22 = (−1)2+2					3			−2			= 3, A23			= (−1)2+3		3	5			= 9 ,
					7	−3								6			−3								6	7
A31	= (−1)3+1			5 − 2							= 4 , A32	= (−1)3+2				3	− 2					= −8 , A33 = (−1)3+3					3	5				= −14 .
					− 3	2										1	2										1		− 3

Получим

−5 15 25						−5 1		4
	1	3	9		,		15 3	−8
A* =						(A *)T =			.
	4	−8 −14					25 9	−14

Отсюда

			1		−5		1	4
A	−1					15	3	−8
		=							.
			10
						25	9	−14

Сделаем проверку:

			1		1		5	−2		−5 1		4			1		10 0			0			1	0	0
AA	−1	=				1	−3 2				15 3	−8						0	10 0				0	1	0		= E.
														=								=
			10												10
						6 7		−3			25 9	−14						0	0	10			0	0	1

18

Лекция 3

Системы линейных алгебраических уравнений

3.1. Основные определения

Система линейных алгебраических уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2	,	(3.1)
..............................................
am1x1 + am2 x2 +... + amn xn = bm .

Система (3.1) состоит из m уравнений с n неизвестными. Отметим, что в общем случае m ≠ n .

Решением системы линейных алгебраический уравнений (3.1) называет-

ся набор чисел x10 , x20 ,...xn0 , который после подстановки в систему (3.1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение в тождество.

Если система (3.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется со-

вместной, в противном случае – несовместной.

Совместная система (3.1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если решений больше одного.

В дальнейшем будет показано, что если система линейных алгебраических уравнений имеет более одного решения, то таких решений бесконечное множество.

Система (3.1) называется однородной, если b1 = b2 = ... = bn = 0 . Отметим, что однородная система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, поэтому для однородных систем важен вопрос о существовании ненулевых решений и их нахождении, если они существуют.

Две системы линейных алгебраических уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной системы являются решениями другой системы, и наоборот.

Равносильные системы получаются с помощью следующих эквива-

лентных преобразований:

1) умножения любого уравнения системы на число, отличное от нуля;

19

2)умножения какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля, и сложения с любым другим уравнением системы;

3)изменения порядка уравнений в системе.

Пример 1. Рассмотрим систему

3x1 + 4x2 = 2,

6x1 +8x2 = 7.

Легко видеть, что система несовместна: умножая первое уравнение на два, получаем 6x1 +8x2 = 4 , что противоречит второму уравнению системы.

Пример 2. Рассмотрим систему

				3x1 + 4x2 =1,
				2x1 + 4x2 = 0.
x2	Вычитая из	первого уравнения второе, находим x1 =1, поэтому
	= −0,5 . Система совместна и имеет единственное решение.
	Пример 3. Рассмотрим систему
				3x1 + 4x2 = 5,
				6x1 +8x2 =10.
	Очевидно, что второе уравнение является следствием первого. Выбирая
x2	= t , −∞ < t < +∞,	а x1 =	5 − 4t	, мы получаем решение системы. Следова-
		3

тельно, система совместна и имеет бесчисленное множество решений,

3.2. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений

В соответствии с системой (3.1) рассмотрим следующие матрицы, которые будем называть “матрица системы”, “столбец неизвестных”, “столбец правых частей” соответственно:

20