Учебное пособие 2049

Следующий шаг МКЭ-процедуры связан с формированием глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В алгоритмическом плане на этом этапе организуется цикл по всем конечным элементам, на каждом шаге которого строится локальная система линейных алгебраических уравнений, т.е. вычисляются матричные элементы матрицы жесткости и вектора правых частей, относящиеся к отдельному конечному элементу. Одновременно эти матричные элементы добавляются в глобальную систему, относящуюся ко всей ко- нечно-элементной сетке и задаче в целом (т.н. процесс ансамблирования).

Сформируем СЛАУ для трех конечных элементов на рис. 2.4, примыкающих к границе Г1, где задано условие= const, а также интегральное условие (2.17). Функционал для этих элементов представляется в виде

											F = F(1) + F(2) + F(3) +Q												1		,
где F(e) – функционал е-го элемента:
												F(e)					1		i jSij(e) ,
																	2
																			i j
где Sij(e)					Ni(e) N(je)d – элементы матрицы жесткости e-го
					e
элемента,						Ni(e)				– базисная функция (функция формы) элемента
e, соответствующая узлу i.
				Условие |Г1= const приводит к тому, что
															1 = 3 = 5 *.
				Теперь функционал запишется в виде
F		1		S(1) *2				1		S(1) 2			1		S(1) *2 S(1) * S(1) *2											S(1) *
2				11		2				22	2	2				33			12	2	13					23	2
	1		S(2) 2				1		S(2) *2					1		S(2) 2			S(2) * S(2)							S(2) *
2				22	2	2				33		2				44	4		23	2	24			2	4	34	4

1S33(3) *2 1S44(3) 24 1S55(3) *2 S34(3) * 4 S35(3) *2 S45(3) * 4 Q *.

2 2 2

51

Имеем теперь три узловые переменные ( 2, 4, *) вместо первоначальных пяти ( 1, … , 5). Применяя условие минимума функции F( *, 2, 4), получим

	F		S11(1)	S33(1)	S33(2) S33(3) S55(3) 2S13(1) 2S35(3)			*
	*
			S12(1)		S23(2) 2 S34(2) S34(3) S45(3) 4
				S23(1)			Q 0,
	F		S12(1)	S23(1) S23(2) * S22(1) S22(2) 2		S24(2) 4		(2.21)
							0,
	2
	F		S34(2)	S34(3)	S45(3) * S24(2) 2 S44(2)	S44(3) 4		0.
	4

Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.

Если бы не было условия (2.17) (при этом в функционале (2.18) отсутствует второе слагаемое), а также условия1 const, глобальная система совокупности этих элементов

имела бы вид

S11(1) 1 S12(1) 2 S13(1) 3 0,

S12(1) 1 S22(1) S22(2) 2 S23(1) S23(2) 3 S24(2) 4 0,

S13(1) 1 S23(1) S23(2) 2	S33(1) S33(2) S33(3) 3
		(2.22)
	S34(2) S34(3) 4 S35(3) 5 0,

S24(2) 2 S34(2) S34(3) 3 S44(2) S44(3) 4 S45(3) 5 0,

S35(3) 3 S45(3) 4 S55(3) 5 0.

Таким образом, новую систему (2.21), учитывающую данные дополнительные условия, можно получить простой модификацией системы (2.22), где этого учета нет. Для этого нужно выполнить следующие действия:

а) все узловые переменные { i}, соответствующие узлам на 1, заменить одной переменной *,

б) вместо уравнений, номера которых совпадают с номерами указанных узлов, записать одно новое уравнение, полу-

52

ченное сложением левых частей этих уравнений и последующим приравниванием результата числу (–Q).

С точки зрения программной реализации МКЭ важно иметь правило ансамблирования элементов, т.е. формирования глобальной СЛАУ из локальных систем, относящихся к отдельным конечным элементам. Чтобы сформулировать это правило, приведем локальные системы для всех трех элементов, учитывающие дополнительные условия (кстати, их легко получить из стандартных конечно-элементных уравнений, пользуясь приведенным выше алгоритмом).

Локальная система 1-го элемента:

S11(1)	S33(1)		2S13(1) * S12(1) S23(1) 2 0,
S12(1)	S23(1)		* S22(1) S22(2) 2		0.	(2.23)
Локальная система 2-го элемента:
		S33(2) * S23(2) 2		S34(2) 4	0,
		S23(2) * S22(2) 2		S24(2) 4	0,	(2.24)
		S34(2) * S24(2) 2		S44(2) 4	0.
Локальная система 3-го элемента:
S33(3)		S55(3) 2S35(3) * S34(3) S45(3) 4				0,
S34(3)		S45(3) * S44(3) 4 0.				(2.25)

Прежде чем осуществить ансамблирование, необходимо каждому уравнению локальной системы поставить в соответствие определенный узел, точнее, степень свободы. Это соответствие определяется по неизвестной переменной, которая умножается на диагональный в данной строке элемент матрицы системы. Например, в первом уравнении первой системы такой неизвестной является ассоциированная узловая переменная *, значит, этому уравнению следует поставить в соответствие именно эту степень свободы. Во втором уравнении диагональный элемент умножается на 2, следовательно, этому уравнению соответствует второй узел и т. д.

53

После проведенной указанной нумерации уравнений построение глобальной системы сводится к стандартной процедуре: уравнение, которое соответствует i-му узлу, добавляется в i-е уравнение глобальной системы. Что касается ассоциированной переменной *, связанной с дополнительными условиями на 1, то ей целесообразно дать какой-нибудь уникальный номер (например, номер одного из узлов, лежащих на 1) и пользоваться им при формировании глобальной системы. Возьмем за такой номер 1. Складывая указанным способом уравнения и приравнивая (–Q) соответствующее ассоциированной переменной 1 первое уравнение, получим глобальную систему для трех конечных элементов:

S11(1)	S33(1)	S33(2)	S33(3)	S55(3) 2S13(1)		2S35(3) 1
	S12(1)	S23(1)	S23(2)	2	S34(2) S34(3) S45(3)		4	Q,
S12(1)	S23(1)	S23(2)	1 S22(1)		S22(2) 2	S24(2) 4	0,	(2.26)

S34(2) S34(3) S45(3) 1 S24(2) 2 S44(2) S44(3) 4 0.

Поскольку дискретные уравнения (2.26) получены из соотношений, накладывающие ограничения только на разность потенциалов, а не на сам потенциал, то возникает неоднозначность в определении МКЭ-решения, для исключения которой необходимо зафиксировать одну из узловых величин (например, принять 2 = 0). Заметим, что надобность в такой фиксации отпадает, если в задаче есть краевые условия Дирихле.

2.4. Особенности решения задач для открытых многосвязных систем

Строго говоря, интегрирование в уравнениях, определяющих конечно-элементную формулировку, должно производиться по ограниченному объему. Поэтому для систем, находящихся полностью, либо частично в открытом пространстве, приходится искусственно замыкать объем некоторой границей, достаточно удаленной, чтобы не оказывать существенного влияния на решение вблизи сверхпроводников. Ошибку, обусловленную сведением поставленной задачи к задаче с ко-

54

нечным пространством, можно оценить путем повторного решения задачи для случая удаления открытых участков границы на большее расстояние.

Однако возможен подход, основанный на вариационном представлении задачи, в котором влияние области за границей замыкания учитывается с помощью дополнительного граничного интеграла, а детали распределения поля в этой области игнорируются.

Функционал данной задачи

F( )	1	2d	(2.27)
2

представляет собой энергию, запасенную во всей области определения задачи . Пусть занимает все пространство, а граница Г разделяет внутреннюю область и внешнюю область E. Тогда функционал представится в виде

F( )	1		2d	1	2 d .	(2.28)
2				2 E

Преобразуя второй интеграл по формуле Грина и учитывая, что на бесконечности ( , n) 0 и внутри E 2 = 0, получим

F( )	1		2d	1	,n d .	(2.29)
2			2

Знак “–” здесь объясняется тем, что нормаль n является внешней по отношению к области . Таким образом, для открытой многосвязной системы функционал (2.27) принимает минимальное значение при функции , являющейся решением уравнения Лапласа (2.1) на множестве допустимых функций, удовлетворяющих условию (2.2). В такой формулировке ко- нечно-элементное решение относится только к области , однако оно сходится к точному решению с ростом числа степеней свободы. В этом отличие от формулировки, игнорирующей интеграл по E в (2.28).

55

Для частично открытых областей может быть применен аналогичный подход. Здесь, однако, при преобразовании второго слагаемого в (2.28) возникает дополнительный интеграл вдоль части границы Г1 области E (рис. 2.5), которую нельзя принять как бесконечно удаленную. Но если на Г1 потребовать выполнение однородного условия Неймана ( ,n)=0, этот интеграл равен нулю и функционалом (2.29) можно пользоваться без ограничений.

	Г
	Е
	Г
Г1		Г1
	( , n) = 0

Рис. 2.5. Сведение полубесконечной области E к конечной области

Для аппроксимации вида (2.6) условие стационарности функционала (2.29) приводит к системе уравнений относительно параметров дискретизации i

Sij i			Gj ,
i
матрица которой есть	1			Nj		N
Sij Ni Njd		(Ni			Nj		i	)d ,
	2			n
						n

а вектор правых частей {Gi} формируется путем учета условия скачка. Таким образом, здесь в выражении для матричных элементов появляется дополнительное слагаемое – интеграл по границе Г. Это слагаемое отлично от нуля только в случае, когда соседние узлы i и j лежат на данной границе. Матрица Sij остается симметричной.

56

Упражнения

1.Получить выражение для матричных элементов с учетом интеграла по границе для симплексных конечных элементов – треугольника и тетраэдра.

2.Провести дискретизацию задач для векторного потен-

циала A и функции потока = rA. Для вариационной формулировки использовать выражения функционалов

	1				2			2					1				2				2	1
F(A)					A			A		dxdy	,	F( )											drdz	.
			x										2	x							r
	2							y										y

3. Получить систему линейных уравнений с учетом условий для разности вида i – j = C. Данные условия отличаются от условия скачка тем, что они относятся значениям потенциала в разных точках. В теории метода конечных элементов такие условия носят названия сдвига (периодичности) и симметричности (при C = 0) и имеют важное практическое применение, например, если заранее известно что потенциалы в двух точках отличаются на С:

r r R C .

4. Провести дискретизацию осесимметричной и трехмерной задачи для скалярного потенциала с учетом условия скачка. Использовать функционалы

				1								2		2
F( )																rdrdz,
				2										z
								r
	1		2									2				2
F( )																		dxdydz .
	2					x						y				z

5. Дать формулировку двумерной задачи для векторного потенциала для токонесущей сверхпроводниковой системы, помещенной в постоянное внешнее магнитное поле He .

57

3.СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

3.1.Универсальные системы компьютерной математики

Maple – система компьютерной математики, выпускаю-

щаяся канадской компанией Waterloo Maple Inc., позволяющая производить сложные математические операции [19]. Содержит более 5000 функций, что позволяет решить практически любую математическую задачу (символьные и числовые математические операции, решение уравнений, в том числе и дифференциальных, дифференциальное исчисление, линейная алгебра, теория групп и т.д.), а также визуализировать полученные результаты путём построения 2D и 3D графиков и создания анимаций. Кроме того, Maple обладает инструментами для решения таких прикладных задач, как финансовое моделирование, статистика и управление процессами, физика, разработка систем управления и обработка сигналов. Подробнее основные возможности рассмотрим на примере версии Maple 14, выпущенной в 2010 году:

Усовершенствованные алгоритмы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальных алгебраических уравнений;

Усовершенствованные алгоритмы для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка и линейных дифференциальных уравнений 3-го порядка;

Возможность генерирования сигналов различных форм;

Многомерная интерполяция данных;

Анализ и решение систем полиномиальных уравнений

инеравенств с параметрами;

Интеграция с различными базами данных, возможность делать запросы и создавать базы данных;

Имитация дискретных и непрерывных систем;

Построение схем частотных характеристик, графическая визуализация нулей и полюсов линейных систем;

Возможность преобразования кода MATLAB в Maple.

58

Каждая версия Maple содержит в себе несколько версий, ориентированных на различных пользователей. Так, в Maple

14содержатся следующие версии:

Maple 14 Professional – предназначена для лабораторий, бизнеса и исследовательских объединений;

Maple 14 Academic Engineering – предназначена для академических объединений, таких, как кафедры инженерной направленности;

Maple 14 Academic Math – предназначена для академических объединений, таких, как кафедры математической направленности;

Maple 14 Personal Edition – предназначена для личного пользования.

Среди новых особенностей, появившихся в Maple 14 по сравнению с предыдущими версиями, выделяются следующие:

Для версии Maple 14 Professional это встроенные инструменты для линеаризации нелинейных дифференциальных алгебраических уравнений, решатели для алгебраических уравнений Риккатти, набор инструментов для расчётов управляющих воздействий, совместимость с MATLAB (преобразование кода, генерирование кода, импорт и экспорт данных и вызов MATLAB из Maple), улучшенные возможности поиска, расширенный набор встроенных математических инструментов для решения прикладных инженерных задач, улучшенная производительность, новые инструменты для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.

Для версии Maple 14 Academic Engineering это MapleCloud – интегрированная среда для создания, распространения и получения технической документации, расширенные математические возможности для инженерных приложений, совместимость с MATLAB, улучшенные возможности поиска, новые шаблоны заданий, расширенный набор встроенных математических инструментов для решения прикладных инженерных задач, улучшенная производительность, новые инструменты

59

для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.

Для версии Maple 14 Academic Math это MapleCloud,

улучшенная производительность, улучшенные возможности поиска, усовершенствованные возможности для создания и исследования 2D-графиков, новые шаблоны заданий, более мощное ядро инструментов для математических вычислений, новые инструменты для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.

В каждой новой версии Maple появляется большое количество обновлений, так что функционал от версии к версии значительно расширяется. Так, в последней на сегодняшний день (июль 2017 г.) версии (Maple 2017, выпущена 25 мая 2017 года) представлены следующие обновления: продукт MapleCloudManager, позволяющий получить доступ через MapleCloud к большому числу пользовательских пакетов, расширяющих функционал Maple, интерактивный постройщик графиков, , расширенные возможности блока визуализаций данных, система защиты рабочих файлов Maple при помощи пароля, различные карты мира и географическая база данных, позволяющие проводить исследования в области географии, усовершенствование операций, отвечающих за интегрирование, расширенные возможности при математических исследованиях (теория групп, теория графов, новые алгоритмы для дифференциальных уравнений в частных производных и т.д.), новые возможности для статистического анализа и анализа данных.

Mathematica – система компьютерной математики, которая была создана Питером Вольфрамом, а ныне распространяется компанией Wolfram Research [20]. Вместе с Maple является ведущей системой в своём роде. В качестве языка программирования используется высокоуровневый язык Wolfram Language, имеющий ряд преимуществ по сравнению с аналогичными языками других систем. Также важной особенностью является наличие продукта Mathematica Online, который позво-

60