вариант10задачи

Задача 9.10. При контрольной проверке качества поставляемых предприятию комплектующих изделий проведено 10%-ное выборочное обследование. Из партии, содержащей 100 коробок комплектующих изделий, методом механического отбора в выборку взяты 10 коробок. В результате сплошного обследования находящихся в каждой коробке упаковок получены следующие данные о распределении выборочной совокупности:

По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел удельного веса стандартной продукции во всей партии.

Решение:

Рассчитаем удельный вес стандартных упаковок:

Расчет дисперсии по формуле:

2 =

∑( − )2

∑

где – выборочная средняя:

∑= ∑

Средняя ошибка выборки (формула на скриншоте выше) При вероятности 0,95 коэффициент доверия (t) = 2 Предельная ошибка (расчет на скриншоте ниже):

Тогда интервал удельного веса для стандартной продукции генеральной совокупности:

Задача 10.10. При подведении итогов экзаменационной сессии в группе были получены следующие данные о зависимости между количеством пропущенных обязательных занятий студентом без уважительной причины и средним баллом его успеваемости по 5-ти дисциплинам:

				Номер п/п							А	1	2	3	4	5
		Количество пропущенных									Б	38	---	6	26	18
		обязательных занятий, ч
	Средний балл по всем предметам										В	3,8	4,8	5,0	3,7	3,4
А		6	7		8	9	10	11		12	13	14	15	16	17	18
Б		56	3,5		14	32	12	10		48	16	24	50	2	16	12
В		3,0	3,9		4,6	3,9	5,0	4,6		3,2	4,7	4,2	3,0	3,6	4,5	4,7

Вычислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Сравните полученные величины степени тесноты связи и объясните расхождение.

Решение:

Для выполнения поставленной задачи построим таблицу исходных данных перед этим выполним расчет рангов для них(рисунок 1).

Рисунок 1 – Таблица исходных данных с вычислением рангов

Диаграмма рассеивания

6

5

4

3

2

1

0

0

10

20

30

40

50

60

Рисунок 2 – Диаграмма рассеивания

Исходя из данных на рисунке 1, мы выстроили диаграмму рассеивания. На данной диаграмме мы можем наблюдать взаимосвязь, схожую с линейной. Но одной диаграммы недостаточно, поэтому следует определить линейный коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Для начала определим коэффициент Пирсона по формуле, изображенной

ниже.

Где, х и у- исходные данные нашей выборки.

Подставив все значения в формулу выше, определим, что коэффициент Пирсона равен -0,7333097.

Связи между двумя переменными может быть следующей - когда значения одной переменной убывают, значения другой возрастают. Это и показывает отрицательный коэффициент корреляции. Про такие переменные говорят, что они отрицательно коррелированы.

Также был рассчитан доверительный интервал для коэффициента корреляции Пирсона, для чего было использовано преобразование Фишера по формуле указанной ниже.

Полученное значение по этой формуле равно z = -0,9358499.

Для того, чтобы мы могли воспользоваться свойствами распределения нам надо высчитать стандартную ошибку. Дл я этого используем формулу, указанную ниже и получим значение Se = 0,25819889.

Далее, исходя из свойств нормального распределения, несложно найти верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для z. Определим квантиль стандартного нормального распределения для заданной доверительной вероятности, т.е. количество стандартных отклонений от центра распределения по формуле:

где, cγ – квантиль стандартного нормального распределения; N-1 – функция обратного стандартного распределения; γ – доверительная вероятность (часто 95%).

Затем рассчитаем границы доверительного интервала.

Нижняя граница была рассчитана формуле, указанной ниже и равна Zl = - 1,4419104:

Верхняя граница Zu = -0,4297893 и рассчитана по формуле:

Теперь обратным преобразованием Фишера из z вернемся к r. Нижняя граница r:

Полученное значение нижней границы: Rl =. -0,8940816

Верхняя граница Ru = -0,4051452 и была расчитана по формуле:

Однако вычисления линейного коэффициента корреляции недостаточно, поэтому для того, чтобы дать полноценный анализ мы перешли к расчету

коэффициента корреляции Спирмена.
Именно	для	этого	нам	и	нужны	ранги.

Где R – ранги x, y соответственно n – количество единиц наблюдения.

Результат был высчитан по формуле указанной ниже и был равен

0,6261797.

В данной работе после вычислений мы видим, что наши коэффициенты очень близки по значению , это связано с тем, что на графике наблюдается линейная взаимосвязь , коэффициенты разнились бы если бы данные имели бы нелинейную взаимосвязь. коэффициент Пирсона легче поддается интерпретации и для него также можно рассчитать доверительный интервал как мы это сделали выше , если мы говорим о коэффициенте Спирмена, то его значение мы вычисляем с помощью рангов следовательно его интерпретировать сложнее , но, в свою очередь, он лучше может уловить связь при нелинейной взаимосвязи .В целом рекомендуется использовать сразу два коэффициента , это позволяет получить более полную картину о том, что именно происходит.

Задача 11.10. По выборке объемом 32 единицы получен парный коэффициент корреляции r = –0,859. При уровне значимости α=0,05 критическое значение составляет r = –0,849.

Определите: а) чему равнялось число степеней свободы и обоснуйте ответ; б) нулевая гипотеза о связи признаков принимается или отвергается; в)можно ли считать, что наличие связи надежно доказано,

если Н0 принимается;г) можно ли считать, что отсутствие связи надежно доказано, если Н0 отклоняется.

Решение:

А) Поскольку число единиц <50, то выборка малая, поэтому число степеней свободы находим по формуле n-2.

Число степеней свободы равнялось 30. Б) Гипотезу проверим по формуле:

	расч =	√ − 2		=	−0,859 ∙ √32 − 2		= −17,9496
		1 − 2			1 − (−0,859)2

По таблице распределения Стьюдента находим что = 2,04.

Поскольку асч < , то гипотеза H0 о связи признаков принимается. В) Нет, нельзя, поскольку при проверке гипотез по тому или иному

критерию возможны две ошибки:

1)неправильное отклонение H0

2)неправильное принятие H0

Г) Нет, нельзя, поскольку при проверке гипотез по тому или иному критерию возможны две ошибки:

1)неправильное отклонение H0

2)неправильное принятие H0