Konspekt_po_algebre
.pdfÀë ð
Ñ. Å. Ìèõ
13 èþíÿ 2012 .
Î ë ë íè
лава 7. МАТ ИЦЫ И ОП ЕДЕЛИТЕЛИ
§ |
1 |
сортировкиениядействия с матрицами |
4 |
|
§ |
2 |
Îïðå åëители 1-го 2-го порядк в |
6 |
|
§ |
3 |
Подстан |
, перестановки, четности |
7 |
§ |
4 |
Метод |
пузырек . . . . . . |
0 |
§ |
5 |
Аксиомат ческое введение определителей. |
1 |
|
§ |
6 |
Вычис ение |
оторых определителей. |
2 |
§ |
7 |
СледствияФорму ы Биíå-Êîøè |
4 |
|
§ |
8 |
из ормулы Бине-Коши |
5 |
|
§ |
9. |
Теоремы Лапласа . |
7 |
|
§ |
0 |
Частный случай теоремы Лапласа |
19 |
|
§ |
1 |
Фо мулы Крамера . . . . . . . . |
1 |
|
§ |
2 |
бщий случай теоремы Лапласа . . |
2 |
|
7.138..ÎпределительВЕКТО НЫЕступенчатойП ОСТматрицыАНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523 |
||
ëàâৠ|
|
|
|
§ |
1 Аксиоматикомбинации |
|
|
§ |
2 Линейные |
7 |
|
|
8.3.9. ангиЛИНЕЙНЫЕ. . . . . . . . .СИСТЕМЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3834 |
|
ëàâৠ|
|
|
|
§ |
9.1. |
1 21 СистЛинейныемногообразиямылинейныхмногообразиярешенийуравнелиíейныхий уравнений |
39 |
|
Линейные |
|
|
§ |
2 |
• 9.2.1. Описаниеметодауссаидеального метода аусса |
0 |
|
Идеальный |
|
|
|
9.3. |
|
4541 |
ëàâৠ|
0Псевдорешение. КВАД АТИЧНЫЕ. . . . . . . . .ФО. . . МЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
§ |
1 Л нейные ормы . . . |
|
|
§ |
2 Билинейная и квадратичная ормы |
|
|
§10.3.Метод Лагранж (МЛ) . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§
ëàâৠ1.•ЕВКЛИДОВЫ10.положительно5.321. онусыритериира ическПОположительнойîпределенныхиПпредставлениеППООСТматрицматрицАНСТВАопределенностиконуса. . . . . . . . и. полуопределенности. . . . . . . . . . . . 585614
§ |
1 Начальные сведения . |
|
|
|
§ |
11.2. |
• 11.â2.конечномерном4321рама.АлгоритмКритерийбщийОртогональные-ШмидтвиддпространстваШмидтрамаскалярногоевклидовом. .системы.линейной.ортогонализации. . произведен. векторов.простра.независ. . . .èñòâå.ямостисистем. . . |
векторов |
3 |
|
|
2 |
||
|
|
1 |
||
|
Теория |
|
|
§ |
3 |
Ор огональные по |
4 |
§ |
4 |
Ìåòðèê . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
11.5.2Изомор. ЛИНЕЙНЫЕизм ЕвклидовыхОПЕпространствАТО Ы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7471 |
|||||
ëàâৠ|
|
|
|
|
|
|
§ |
1 |
ПреобразованиеЛинейность преобразование базиса . . . |
|
|||
§ |
2 |
|
|
ма трицы оператора при изменении базиса |
5 |
|
§ |
3 |
Собственные числ , собственные векторы |
6 |
|||
§ |
4 |
Жорданова о |
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
||
§ |
5 |
Алгоритм построения жордановой ормы методом башен |
78 |
|||
§ |
6 |
СУпрощенныеяждополненийсамосопряженные операторы |
1 |
|||
§ |
7 |
Поиск |
|
к базисам ядер степеней оператора |
5 |
|
§ |
8 |
Веществ |
ая жорданова орма |
|
89 |
|
§ |
9.Ортогональные преобразования . . . . . . . |
1 |
||||
§ |
0положМатрицальной критерииполуопределенноположительнойти(ППО)оп еделенности (ПО) и |
|
||||
§ |
1 Билин йные ормы в к мплекñных пространствах |
7 |
||||
§ |
2 |
билинейной рмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|||
§12.13. Изменение матрицы билинейной ормы при изменении базиса . . . . . . |
99 |
|||||
|
|
|
|
3 |
12.06.2012 |
|
ОпределениегаетоднойматричнаяНестрогПонятие§7псих.природы1. ологическиОпределенияматрицыормаопределение.7Такой.1записи. Матрицав работгеомормировалосьлинейнойматрицы:действиятрическийявляетсяматрицамиматрицастемыв XVIIIдвумернымматрицамиязык.уравненийэкономнееXIXэтовекахсепрямоугольнаямейство. строгого. Соответственно,м элементовормальногоаблицаразвиваласьэлементовипомо-
одной природы. Т. . |
(aij )i I, j J |
кольцоматенаборыилиJ,индексовIнечныеполагается, |
( i I)( i J)aij P |
матическихкольцочточисел,числанекоторыемногочленов,являющиесяидуттекстах,упорядочподрядстрокиподмножествобезкакнныепропусковсиавило,,гдежестваловминаикольцаинаименьшейкакое..еньшийпЧаще.целых-Называемыетовсегочисловоечиселиндексэто.Наибоестьмножполе,равенкакиелее1,чис1,-либоточастоловоевамико.0е-.
ными:меняютсОписанияставляетсяI = Â(1,программировании. . . ,заглавные,nматриц)двумерный,J = (1. Обычно,элементы. . массив. ,обычноm). еслиматрицыматриценужнодексациятогдаобозначить(=двумерноначинаетсяобознаматрицучаютсму се0ямейству.соответствующимипомощьюэлементов)буквы, тострочсопопри--
|
|
... ! |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
A := (aij )i I, j J |
|
A := |
a.11 ... |
a1.m . (Здесь |
||
|
Весьма часто используется. |
геометрическое описание |
|
|
|
|
||
|
строки, |
|
|
|
an1 · · · |
anm |
||
Iматрицы= (1 ..., n), |
J = (1 ..., m).) Отсюда идут термины |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
строкиматрицыстолбцы : i-я с ок |
|||
âèäà |
A это ее подматрица вида (ai1 ... aim); j-й с олбец |
|
|
àùåé |
||||
|
A это ее подматриц |
|||||||
тотсутстствиевремякаквторой.Такимзапятыхиндексычномдляупориндекспервыйазделенияядоченномсодержащегоиндексэлементсискэлементеговнистолбцаматрицыестьматрицы(см.Следу.вееестьгеометрическиндекобратитьсодержвниманиеомвиде, |
||||||||
внаего |
|
a1j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
anj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пособ записидматрицы, |
|
I, J |
). |
|
|
|
Äðåâ èé ñïîñ |
||aij ||i I, j J |
|
|
|
|||
зованныеБлочíûé |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
по вертикалям. блокамии/или(ее). Напримегоризонталям, то обра- |
||||
|
|
рассечениями. Еслипорассечь матрицуназываются |
|
|
|
|
A,B,C,D какие-то матрицы. Могут быть разные варианты разбиения матðицы на блоки:,где
AB
CD
4
îé, |
|
|
|
|
|
0, . . . , n − 1; |
0кольцат, .÷ê.Äëÿ. m ...−матриц)1. |
|
|
|
|
|
|
определяются некоторые операции. Пусть элементы матрицы элементы |
||||||
1. УмножениеK. |
матрицы А на элемент этого кольца K. |
|
||||
|
|
|
|
орректно, |
|
|
A Kn × Km (матрица над кольцом K), t K. Тогда |
. |
|||||
кольцоэлементов,ЕслиДляKтого,кольцонекоммутестьчтобыtAK:= |
|
|
At := |
|||
|
|
ta.11 ... |
ta.1n |
a11. t ... am.1t |
||
|
|
tam1 |
· · · |
tamn |
an1t |
· · · am1t |
|
|
ì.мутаенты1)былоòдолжныивно,кто,бытьсогласноизнужнокольцаопределениючтобыгруппыбыло(7.1)определено.верноAt=умножениеtA. Если(7.1) |
||||
|
|
элеативное,к(7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определениерицы называют7выражение.2. Пусть в матрицеAt 6= tAn.строк и m столбцовразмерности:.Тогдаазмерностью мат-
|
Сложение. Пусть имеются(n äâå× mматрицы). |
A и B одной |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Aýòèõ:= |
|
|
|
, |
X := |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a.11 ... a1.n |
|
|
|
|
x.11 ... x1.n |
|
|
|
||||||
Тогда сумма |
am1 |
· · · amn |
|
xm1 · · · xmn |
|
|
||||||||||||
матрицыопределяется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
СкладыватьУмножение:размерностьюможноПуимеетстольк |
дной размерностиA+B := . |
a11 +. |
x11 |
... |
a1n +. x1n |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 + xm1 |
· · · amn + xmn |
||||
матрица |
|
|
|
|
|
A (n × m) матрица размерностью (n × m) è X (m × k |
||||||||||||
|
КлассичУмнож |
|
|
|
(m × k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
аемскоеiопределениестрочкуматрицыпроизведения. A на j-й столбецAматрицыX. X и получаем элемент |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cij |
матрицы С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p a.1ρxρ1 ... |
p a.1ρxρk |
|
||||
называется строкой, |
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
||||||||
когда |
n = 1. 5 |
12.06.2012 |
|
|
m = 1. Матрица |
|||||||||||||
|
Произведение C имеет размерность ( |
|
|
|
|
|
|
(7.2) |
||||||||||
ci,j = aiρxρj |
i = 1, n; j = 1, k, |
C := AX := |
P |
|
|
P |
. |
|
||||||||||
|
ρ=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p anρxρ1 |
|
p aρnxρk |
|
Определениеона называется7.3.квадратнойЕсли матрица.Матрицаимеетназываетсяn ×одинаковоеk). столбцом,количествокогдастрок и столбцов, то
образом,(7.1), (7??.1)), (7(.??2))образуютпорождаюталгебраическуювекторное пространствоструктуру,. |
называющуюся алгеброй. |
||||||||||||||||
Исторически опред ление умножения матриц (7.2) восходит к матричной записи си- |
|||||||||||||||||
стемы линейный уравнåíèé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
матрицыгде равенствонастолбецпонимается покомпонентно.... |
|
= |
=: b, |
|
определить умножение |
||||||||||||
|
|
|
|
Pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
b. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 a1ixi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Отсюда естественно |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i=1 anixi |
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
âðåстнойшитьДальнейшеенескоиразAxüêî:= |
|
|
|
= . . |
|
|
= |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pm |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a.11 ... a1.m |
x. 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
b. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
приебуетсянеиз(7.3)- |
||||
|
ичнымиразвсистемтиесвободнымилинейныхоперацийчленами:уравненийнадатрицамис одинаковымдало задачи,коэ в ициентомкоторых т |
||||||||||||||||
|
|
an1 |
· · · anm |
xm |
|
|
|
i=1 anixi |
bn |
|
|
|
|||||
ãäå |
= ... |
|
|
Bi = ... |
|
|
AXi = Bi, |
|
|
|
i = 1 kполучаем. |
||||||
Xi |
|
A èõ= |
|
|
|
||||||||||||
|
x1i |
|
|
b1i |
|
|
|
|
a.11 ... a1.n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ойстрокзадачикак равенство, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
матричнуюПонимаязаписьавенство,ак |
|
|
|
|
|
соответствующих ,элементов, |
|
|
|||||||||
|
xni |
|
|
bmi |
|
|
am1 · · · amn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îáêè: |
|
|
теперькоторыхопределитьсправа,естьтопроизведеумножпоследченияениеем равенствематрицы слеванаможноматрицунавынестисоответствующийкакматрицуизAпозастолбцов,индексуск |
||||||||||||||||
столбецкаждыйЕслиматрицыиз |
|
|
(AX1 ... AXk) = (B1 ... Bk) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Окончательно, вводя |
|
|
det(A), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(X1 .. Xk) = (B1 ... Bk) .обозна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
X = |
|
X1 ... Xk ) è |
B = (B1 . . . Bk ), имеем AX=B. |
|||||||||
|
|
|
|
|
íонаогомернымия:порядковтеориязадана.опилиаргументом,едели|A|. елейон.Определительотображаетквадратунк |
||||||||||||
цияВную§от7матрицупределитель.теории2квадратной. ОпределителиматрицольцоматрицыбольшуюэтоK, над1ункция.-гоОбознарольоторымтеоретических2играет-гом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
т кОпри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
|
|
|
|
|
|
|
решениисистемулинейныхуравненийприменяютсв |
|
A −→ K |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
исследованиях и используются на прак- |
|||||||||||||||
еделители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ассмотрим |
|
|
|
|
|
2-го порядкn |
n. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A K × K |
Ax = b, или в развернутом |
||||||||
âèäå: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
a11 |
a12 |
x1 |
= |
b1 |
. |
(7.4) |
|
a21 |
a22 |
x2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
a11 6= 0. Используем методВыписываемусса. Первую строку делим на a11, умножаем на |
|||||||
a21 и отнимаем от второй строки. 6 |
12.ответы06.2012 . |
|
|
|
|
|
|
1 |
a12/a11 |
|
|
|
|
b1/a11 |
|
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
0 a22 − a21a12/a11 |
x = b1 − a21b1/a11 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 = |
b2 − b1a21/a11 |
= |
b2a11 − b1a21 |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a12 − a12a21/a11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x = |
|
|
|
|
|
|
a22a11 − a12a21 |
− |
|
. ункциями эле |
|
||||||||||
|
|
|
|
÷òîaодинаковыеx = |
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
b1a22a11 |
|
a12b2a11 |
|
a22b1 |
|
|
a12b2 |
|
|
|||||
ментовЕслиНетрудноматрицывыражениезаметить,. |
|
|
|
|
|
|
знаменатели |
ответов являются |
|
|
||||||||||||
a11 − 11 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
a11(a22a11 − a12a21) |
|
a22a11 |
− a12a21 |
|
|
||||||||||||
рядка det |
|
|
|
a22a11 − a12a21 принять за определение опр делит ля второго по- |
||||||||||||||||||
(A) =: V , |
|
то ответ можно записать в виде ормустолбецКрамера x1 = V1,b/V, |
|
|||||||||||||||||||
Аналогичные, де |
Vi,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = V2,b/V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мененДля этогонаболеестолбецпотревы |
|
|
добно,ков и ввестиднако,понятияормуопределительлысоответствующиеаксиоматическое.можнополучитьматрицы,определениеункцидлявкоторойсстемотматрицопределителялинейныхi- . уравненийз. |
|
||||||||||||||||||||
буютсясокихb. Болеепоряследующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
назовемТеоремаОпределениекойОпределениеетствиеок.M7.3.M7Подстановки,и.1.множествоПусть77..54.. ЗаданиеБиекцияMмперестановки,конечноеперестановоклинейногоконечногомножествопорядкамножестваначетностиM насуществует.Ткîгданечнонаконечноемеждумножествевзаимномножествомназываетсяоднозначноеперестановкаподстановподстаносоот--. |
|||||||||||||||||||
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ä ê à.ç à |
ë ü |
|
. Вводим |
àêîé-òî ïîðÿä к на M (просто нумеруем элементы): |
||||||||||||||
|
существующего. Пусть существует биекция, которая отображает множестэквивалентностив себя, |
||||||||||||||||||
{ò.m.1,T:..., mn} =: M |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
M |
|
|
||
è |
ужВводимM ←→бинарноеM , . отношение.порядкеслиавленияmiна:=намноT (mжжiестве) i =натуральныхM1, nс,помощью{mi, ..., mn} = M |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел:отношения . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
это правило сопост |
|
биекции бинарному отношениюmiотображениемRT mj i <F.j |
||||||||||||||||
|
|
|
|
m′ |
m′ |
|
m1 |
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñóùå- |
|
|
|
|
|
. Между ними больше нет элементов. То |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
T |
↓ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 R m2 |
... mn−1 R mn |
|
|
|
|
|
||||||
|
Легко показать, что бинарное отношение |
T |
|
|
|
T |
|
порядок. |
|
|
|
|
|||||||
|
îзьмаж.ем,двачтоэлементотображение |
F подстановокRTнаудовлетворяетпорядкибудетвсеминъекциейаксиомам. отношения |
|||||||||||||||||
порядкаВП |
|
|
|
||||||||||||||||
ствует |
|
|
1 |
2 |
′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
стьнек |
|
||
другая j {1, ..., n} |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
, |
акого, что |
m1 |
mj |
|
mj R |
m2. Пусть существуå |
|
|
|||||||||||
|
биекция |
S: |
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
оторая |
||||
|
|
M ←→ M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
порядок, соответствующий бинарному,котораяотношениюсогласноотображению F породит тот ж |
самый |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
12.06.2012RT. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi1 , mi2 |
|
|
|
m1′ m2′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i2 = i1 + 1 |
|
R 6= R |
|
|
j |
|
|
|
i1 < j < i2 |
||||||
m1′ R S (mj ) S (mj ) R m2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mi1 mi1+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ S′ |
|
↓ S′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что |
|
|
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i1 = 1. Åñëè i1 > 1, рассмотрим m1. Согласно отображ ию F элемент |
|||||||||||||||
S (m1) |
должен предшествовать элементу |
|
|
′ |
|
|
|
′ |
минималåí äëÿ |
|
îæü. |
||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
S (mi1 ) ≡ m1 |
. Íî |
m1 |
|
||||||||
íèÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îòí øå- |
|||
ПротиворечRT. Так каквлечетRT = RS, òî m1 |
минимален |
äëÿ RS. |
Ò.å. S (m1) RS S (mi1 ) Äàë |
||||||||||||||||
исключаем |
èç |
рассмотрения элементыи. Т. . |
S (m1) = T (m1) |
, |
S (m2) = T (m2). |
å |
|||||||||||||
|
|
|
i1 |
= 1 i2 |
= 2 |
|
|
|
|||||||||||
видно |
|
|
|
|
|
|
|
m1, m2. |
Если было всего 3 элемента, то, оче- |
||||||||||
|
S (m3) = T (m3). |
Åñëè áî |
ее трех, то аналогично доказываем |
S (m3) = T (m3), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
довательно,i, j не авныхподстановкидруг. Значитдругу этоверноFподстановки,биекция. |
в которых |
äëÿ |
|||||||||||
|
|
|
|
ментарные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ñë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определениенекоторых двух7элементов.6. .дЭле. |
|
S = T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S (m4) = T (m4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
втТедвухновкиЭлементарной |
T (mi) = mj T (mj ) = mi ( s 6= i, j) T (ms) = ms. |
||||||||||
îðяясьемаэлементов.езульпосл7.2. åподстановкатВседовательнымиперестановки)работыперестановкиэлементсоответствует.трарнойанспозициями,множестваподстановкинекотороезвозмущенностиnэтихизменелементовтраперестановокíспозицияиесоответствующейможно(переменаn!получить.местперестнеамипо-- |
|||||||||||
Ä î ê à ç à ò |
ë ü ñ |
. Индукцией |
|
уровню |
|
|
|
. |
|||
Определе ие 7.7. Пусть сущ |
вует перестановка |
a1 |
...an |
|
|||||||
ции получесовпадают |
|
|
|
à |
âêà |
|
. С помощью транс ози |
||||
|
|
|
перес |
|
|
|
|||||
|
|
некоторого |
|
|
|
|
|
|
|||
í |
из нее другая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
становок |
|
äî |
|
|
íîìåðà:b1...bn. Пусть первые элементы этих пере- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ìåíò, |
n ≥ d ≥ 0. |
||
Ò ãäà |
ai = bi, i = 1, n − d, an−d+1 6= bn−d+1 |
новке d называется уровнем возмущенности перестановки b по отноше ию к переста-
|
|
|
|
|
|
Инымиa.словами(Если n = d, òî i = 1, n − d означает, что i не пр нимает ни дíого значения). |
|||||
З мментач d1.:=Всегдаmax {k |an−k 6= bk } S {0} . |
|
||||
перестановкедва эле |
. Мы не можемd 6=изменить1, так какодинминимальноэлененадоизменивпереставитьбольше ничегохотябыв |
||||
ассмотрим(его обязательно надо будет с че |
-то переставить). |
||||
|
d = 2. Тогда возможна лишь |
дна транспозиция. |
|||
ïàíû |
a1...an−1an −→ a1...an− anan−1. |
|
|||
Очевидно,.Наэточтобылаэтимизатраченадвумяперестановкамиодна транспозиция8 все12.06.перестановки2012 |
возмущенностью 2 исчер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = d + 1 |
d |
{2, ..., n − 1} |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1...an− bn−d+1...bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем элементарную подстановку |
←→′ |
an−d+1. |
||||||||||||
{bn−Новаяd+1...bn}перестановк= {an−d+1ановки...an}будет. |
|
иметь |
|
â ä |
|
|
|
|
|
′ an−d |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1...an−d−1 an−d+1 bn−d+1...bn, |
причем |
||||
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к этой перест |
чеговсе подстановки, ко |
|||||
|
|
рые были проделаны при перех.чаломПрименимде |
|
|||||||||||||||||||||
òbn−d+1...bn |
= {an−d an−d+2...an} |
|
|
|
|
|
|
−→ a1...an−d bn−d+1 ..bn.произведемТсамым |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
все перест |
ñ íà |
|
a1...an |
|
||||||||||||||
позицию |
|
|
|
перест |
âêèèñò.ä. äî |
a1 ..an−d−1an−d+1. После |
|
|
транс |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an−1 ←→ an |
, всего dобразом,.Таким образом будут |
|||||||||||||||
|
|
|
|
àíûanè−âñåd+1 ←→ an−d+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
можные перестановки с возмущеí остью |
a1...an−d−1. Таким |
получили все воз- |
||||||||||||||||||||||
исчерпКогдаывающаядойдемуровеньнашим алгори |
ìîìíностистрогоупорядоченноеконца,d.+ 1. Длятополучимэтогопотребовалось d + 1 операция, |
|||||||||||||||||||||||
Определение 7.8. Пусть имеется |
|
|
|
|
|
|
|
множествоn! перестановок. |
||||||||||||||||
пом щью подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 < ··· < an, ñ |
||||||||||
|
|
âêè |
|
|
|
|
|
T |
получена перестановка |
b1...bn. Два элемента этой п реста- |
||||||||||||||
перестановкиличестсуммапорядок, |
ïðè |
|
образуют инверсию, |
ëè |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ментапрочитатьнего,общихинвåðсийестановки.количеств..элеменбольшкакЗдесьснарушаютèмизнакнверсийрогоиндперменьше< обозначаетстанксэлеисх |
|||||
любое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
строготношениебольшесехто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
bi |
|
инверсийегоони..образуютИныминверсийперестановкестрогоголовамиинверсиюпорядка,элементамиеслиего.этоКоличестводваможноправеесуммаэле |
bi < bj |
|
|
ментов |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
bj |
|
|
i < j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и.ивкедныйКокак- |
||
|
|
Ï |
ример. |
Было 12345. После подстановки стало 32541. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
считаем количе тво и версий. 3 2 5 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Êîличество инверсий |
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
0+0+1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно |
5 |
|
|
+1; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Èòîã:ê6 èíâ ðñèé. |
4 |
= 1. |
|
|
то перестановка назыв ется четной. |
|||||||||||||||||
|
|
|
перестановке |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Åñëè |
количествоинверсий |
|
в перестановкчетно,нечетно, то перестановкà |
называется |
||||||||||||||||||
нечетной. |
7.3. Одна транспозиция меняет четность перестановки |
противополож- |
||||||||||||||||||||||
Ò |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
íóþ. |
|
|
|
|
|
ë ü â î. Äëÿ äâóõ |
|
|
|
õ |
|
|
|
|
теорема |
|
. Пусть |
|||||||
|
еоремаД к а з а |
|
соседж í |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
перестав |
яемыми |
элем нтами |
|
|
r |
элементов. Тогда вочевиднаисх дной перестановкмежду |
эотчисломоойхжноднотеоремыхднойто,левее,чтокакпеетносравееазестрассавностьпåизреставìатриваемойенитсправымираспотьялевымисоседямитранспозициейсоседямиr раз.. Везусираз,ëуьт1ат:-йпотом,перестановкчаститотдокэлементазатотлильств |
||
|
r + 1 |
четное, íàòî |
Теоремараз,7зна.4.÷Числоит чеòчетныхстанетперестановокrпротивополо+ 1, потомавножнойещечислу.r разнечетных. Всего 2r è+ равно1 ðàç, . . |
||
9 |
12.06.2012 |
n!/2. |
четныхВернемс3) силунечетныете ремы. Тановк. .7общее.2, на числонечетныхчетно,местахто ихэтойпоровну,цепионечнуют.(.nчетные!) |
перестановки, на |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четностьподсткогдакоммутативную)суперпозициичетна,однакогдасуперпозицииамиз. ееееучастницы. дстановокдвухчетна,подстановокобразуетобе четны,другаялиборавнанечетнаобесуммегруппу.нечетны,.ихначетностеймножествеи суперпо-. |
|||||||||||||||||||
Òподст.еорема.Нсупблюдение:новокрпозициячетна,7.я5(не.к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!/2 |
|
|
|
|
|||||||||||
(произведение)зиция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü ñ â |
. Каждую подст |
|
|
можно представить как супер |
|
þ |
|||||||||||||
|
|
Ä |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Четно ть |
|
|
|
|
элементарных подстановок,ановкуоторые |
|
тветствуют о |
ой транс озиции. |
||||||||||||||||||||
|
дстановки тогда соо |
|
|
|
|
четности ксоличества элемент |
|
дстано |
||||||||||||||||||||
âîê |
|
суп рпозиции. аскладываяветствусуперпозиции 2-х |
ïîдстановок каждую в суперпози- |
|||||||||||||||||||||||||
Теорема 7 6. Обр |
подстановка имеет |
òó æå ÷åòí ñòü, ÷òî è |
исходная. |
|
||||||||||||||||||||||||
цию элементарных, получаем, |
÷òî |
общая че ность есть сумма четностейарныхдных. |
: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Ä |
к а з а т е л ьатнаяс . азложим |
подстановку |
T â |
извед ние |
элемент |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1. (Если сделать одну и ту ж |
|
|
|
то получим ис дíóþ |
||||||||||||||
|
верно |
|
. |
|
Как былановокдоказано |
|
T |
−1 |
|
−1 |
|
−1ранспозицию, |
|
|
арных |
îâ- |
||||||||||||
T = T1 |
. .Tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Tk |
|
...T1 . |
Íî äëÿопределяетсэл м нтарной подст |
|||||||||||||
êè |
|
|
|
|
|
|
|
|
ТакимT |
бразом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оличеством |
|||||
перестановку.)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
= |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарных подст |
|
Tk |
T −1 = Tk ..T1 |
и четность T −1 |
|
|
ÿ ê |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ..., T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пузырек, т. . равна четности T. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3+1акуюсортировкимножествопомощьюизмеряемуюсортировкуупорядоченыхсортировкинапешкаприìереи:методомэлементов,шахматныхпузырьканостоящихигур. . Внетеориивтом порядкешахмат. Ихи- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тоетс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ценность, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
С)К)имМрримядочить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ(Ë) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ферзь(Ф)СлонКонПешка(П)Пусть7ассмимеют.4уп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
гурыможно§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ëàä |
|
|
|
- 84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
оставим параллельно неупорядоченному столбцу игур (отмеченному звездочками) |
|||||||||||||||||||||||||
упорядоченный:Ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ë |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
во втором столбце, точно такие будем делать и в перв м. |
|||||||||||||||||
|
|
Проводя |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ратная перестановктранспозиции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поэтому если се ией транспозиций второй столбец упорядочится, то в первом будет об- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Метод сортировки |
начинаетс |
|
с первых двух позиций столбца. Если есть инверсия, |
|||||||||||||||||||||||
делаем транспозицию, их упорядочиваем |
тем самым (пузырек в этом случае второй |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
12.06.2012 |
|
|
|
|
|
|
|