Практика / 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ векторная функция

ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления

Санкт-Петербург – 2014г.

Определения и теоремы I

Определение

Соответствие, при котором каждой точке x множества Ω евклидова пространства Rm сопоставляется вектор r(x) множества Q евклидова пространства Rp, называется векторной функцией векторного аргумента:

x Ω = (x1, . . . , xm) Rm → r(x) Q = (r1, . . . , rp) Rp .

Определение

Множество Ω называют областью значения векторной функции, а множество Q

– множеством значений этой функции.

Замечания

1Если Ω = x1 R – множество точек на прямой, то имеем векторную функцию одного скалярного аргумента r(x1);

2Если Ω = (x1, . . . , xm) Rm – множество точек евклидова пространства, то

имеем векторную функцию нескольких скалярных аргументов r(x1, x2, . . . , xm).

Определения и теоремы II

Пусть (r1, . . . , rp ) координаты вектора r(x) Q Rp

Ясно, что задание векторной функции r(x) равносильно заданию скалярных функций r1(x1, . . . , xm), r2(x1, . . . , xm), . . . , rp (x1, . . . , xm).

Определение

Определения и теоремы III

Определение

Постоянный вектор r0 называют пределом векторной функции r(x) при x → x0 и обозначают

lim r(x) = r0,

x → x0

если

lim |r(x) − r0| = 0

x → x0

(здесь | · | берется в Rp ).

Определения и теоремы IV

Замечание

q

|r(x)| = r12 + r22 + . . . + rp2,

а условие x(x1, x2, . . . , xm) → x(x10, x20, . . . , xm0) означает, что

|x − x0| → 0

(здесь | · | берется в Rm ), что влечет

x1 → x10, x2 → x20, . . . , xm → xm0.

Определения и теоремы V

Замечание

Для вектор–функции имеют место теоремы о пределах, аналогичные теоремам о пределах для скалярных функций.

Если

то

lim r(x) ± q(x) = r0 ± q0,

x → x0

lim µ(x)r(x) = µ0r0,

x → x0

lim r(x) · q(x) = r0 · q0,

x → x0

lim r(x) × q(x) = r0 × q0.

x → x0

Определения и теоремы VI

Определение

Векторная функция r(x), заданная в точке x0 и в любой её окрестности, непрерывна в x0, если

lim r(x) = r(x0).

x → x0

Замечание

Если векторные функции r(x), q(x) и скалярная функция µ(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны также векторные функции

r(x) ± q(x), µ(x)r(x), r(x) · q(x), r(x) × q(x).

Определения и теоремы VII

Определение

Производной векторной функции r = r(t) по ее скалярному аргументу t T R называют предел отношения приращения функции к

соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Определение

Функция дифференцируема в точке t, если в этой точке существует её

производная.

Определения и теоремы VIII

Замечание

Если r(t) V 3 и векторы e1, e2, e3 составляют базис в линейном пространстве

V 3, то r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3 и

r0(t) = x0(t)e1 + y0(t)e2 + z0(t)e3.

Определения и теоремы IX

Замечание

Если r(t), q(t), λ(t) – дифференцируемые в точке t функции, то в этой же точке

дифференцируемы