ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ натуральные уравнения кривой

ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления

Санкт-Петербург – 2014г.

Длина дуги кривой I

Если γ – дуга гладкой кривой и r = r(t), t (a, b) – ее параметризация, то длина этой дуги s(γ) определяется по формуле

b

Z

s(γ) = |r0(t)|dt.

a

Длина дуги кривой II

Если гладкая кривая задана уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t (a, b), то ее длина

b

Z

p

s(γ) = x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2dt.

a

Если гладкая кривая задана уравнениями y = y(x), z = z(x), x (a, b), то ее длина

b

Z

p

s(γ) = 1 + y0(x)2 + z0 (x)2dx.

a

Естественная параметризация

Определение

Параметр на кривой называется натуральным, если, с точностью до

постоянного слагаемого, он равен длине дуги этой кривой, отсчитываемой (со знаком) от какой-либо ее точки в каком-нибудь выбранном направлении.

Определение

Натуральный параметр обозначается буквой s, а сама параметризация r = r(s), s (α, β) называется естественной параметризацией.

Замечание

Естественная параметризация r = r(s), s (α, β) регулярной кривой без особых точек является регулярной, причем |r0 (s)| = 1.

Кривизна кривой I

Определение

Кривизной k кривой в данной точке называют модуль скорости вращения

касательной по отношению к длине дуги.

Регулярная дважды дифференцируемая без особых точек кривая γ, заданная векторной функцией r = r(t), t (a, b), имеет в каждой точке определенную кривизну, причем

k(t) = |r0 (t) × r00 (t)|.

|r0(t)|3

Кривизна кривой II

Если кривая задана естественной параметризацией r = r(s), s (α, β), то

k(s) = |r00(s)|.

При параметрическом способе задания кривой

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t (a, b), кривизна вычисляется по формуле

Кривизна кривой III

Кривизна плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t (a, b), определяется из соотношения

k2(t) = (x0(t)y00(t) − y0(t)x00(t))2 . (x0(t)2 + y0(t)2)3

Если плоская кривая задана уравнением y = y(x), x (a, b), то

Кручение I

Определение

Кручением κ кривой называют скорость вращения соприкасающейся плоскости

вокруг касательной.

Регулярная трижды дифференцируемая кривая γ без особых точек, заданная векторной функцией r = r(t), t (a, b), имеет в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, определенное кручение, причем

κ(t) = (r0 (t), r00(t), r000 (t)) . |r0(t) × r00 (t)|2

Кручение II

В случае естественной параметризацией кривой r = r(s), s (α, β), тогда

κ(s) = (r0 (s), r00(s), r000 (s)) . k(s)2

Натуральные уравнения кривой I

Замечание

Если кривая задана естественной параметризацией r = r(s), s (α, β), то

кривизна и кручение будут являться функциями длины дуги.

Определение

Систему двух соотношений

k = k(s), κ = κ(s)

называют натуральными уравнениями кривой.