Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / 6 Собственные значения квадратной матрицы
.pdf1
§6 Собственные значения квадратной матрицы.
Пусть An квадратная матрица и Xn - вектор. Очевидно, что матрица An отображает
вектор x в вектор y : |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x y A x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
; x1 |
1 |
|
y1 |
A x1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
2; |
|
y1 |
|
|
6 k1 |
|
3 |
|
2 1 ( x1 y1) |
ARCCOS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рад.(45о ) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
y1 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 2 |
|
1 |
y2 |
|
2 |
|
|
2 x 2 ; k 2 |
|
|
|
2 |
2 ( x |
2 y |
2) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1
α1
Y2
X1
X2
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае, отображению |
X |
Y A X соответствуют два геометрических преобразования вектора: |
||||||||||||
" поворот" на угол α и " растяжения" с коэффициентом растяжения K=||Y|| / ||X||. |
|
|
|
|
||||||||||
Однако, для матрицы АN |
существуют "особенные векторы", которые отображаются матрицей в коллинеарные |
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы: X Y A |
X |
X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! X 0, DET( A) 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
(01) Однородная СЛАУ A X |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{X }, DET( A) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|||
|
|
|
|
(02) |
A X |
B C \ {0} : A ( X ) ( B) |
|
|
||||||
|
|
|
|
(03) |
B C Pn ( z) 0 z {z1 , z1 ,..., zn } c учётом кратности. |
|
|
Определение Число λ С(R) и ненулевой вектор Xλ ≠0 называются собственными
значениями квадратной матрицы Аn (собственным числом λ и соответствующим ему собственным вектором Xλ матрицы), если они удовлетворяют уравнению
|
|
|
|
|
|||
|
|
A xλ λ xλ ; |
|
|
|
|
|
|
|
xλ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I x |
x |
(A I ) x |
λ |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Однородная СЛАУ |
|||||
|
|
x |
λ |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{( , xλ )} |
(1) |
ЭКЗ-9. Доказать, что V1=[1,-1,1]T и V2=[-3,3,-3]T - собственные векторы матрицы
|
8 |
6 |
10 |
|
. Каким собственным числам они соответствуют? |
|
|
||||
A3 |
6 |
24 |
6 |
|
|
|
10 |
6 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) 1) An (λ,xλ) ? →2) Сколько λ?,xλ 2? →3) Как найти множество {( λ,xλ)} ?
Ответы следуют из определения (1) и теоремы Крамера (01) для Однородной СЛАУ.
Общие свойства собственных значений матрицы.
1.Из (1) и (01) следует, что матрица An имеет собственные значения, если det(A – λIn )=0.
2.{λ}? СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА матрицы находятся из уравнения
|
(a11 ) |
a12 |
... |
a1n |
DET( A I ) DET |
a21 |
(a22 ) ... |
a2n |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
an1 |
an2 |
... |
(ann ) |
P ( ) 0 |
, |
(2) |
n |
|
|
как корни «характеристического полинома PA (λ ) det(A λI) P ( ) матрицы A».
n
(03) В С матрица An имеет n собственных чисел (с учётом равных (кратных) корней полинома).
(2) Собственные числа треугольной матрицы равны её диагональным элементам:
|
|
|
|
(a11 ) |
a12 |
|
... |
|
a1n |
|
|
(2) n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
(a22 ) |
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
( ) DET |
|
... |
|
|
|
(a |
|
) 0 λ {λ |
i |
a |
ii |
, i 1 n} |
||||||
|
|
ATP |
|
... |
|
... |
|
... |
|
... |
|
|
1 |
ii |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
... |
(ann ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из представления полинома PA (λ ) DET( A I ) в виде суммы степеней λ и в виде |
||||||||||||||||||||
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P ( ) ( 1)n n |
c |
λ n 1 |
...c1 c |
0 |
( 1)n ( 1 ) ( 2 ) ... ( n ) |
||||||||||||
|
|
|
A |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
следуют формулы для суммы λ i |
и произведения i |
|
собственных чисел матрицы А : |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
( 1)n 1 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
λ i |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
i |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. {x |
}? СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ |
|
|
x λ , соответствующие собственному числу |
, как |
|||||||||||||||
ненулевые решения Однородной СЛАУ с вырожденной матрицей |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( A I ) x |
|
0 |
(01) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
{x λ } |
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
DET( A I ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
находятся неоднозначно: если |
x - собственный вектор, соответствующий собственному |
||||||||||||||||||
|
λ , то (02) 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
числу. |
x |
- собственный вектор, соответствующий собственному числу |
В дальнейшем в качестве собственного вектора, соответствующего собственному числу λ, будем рассматривать соответствующий единичный собственный вектор
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
λ {x } e |
|
|| |
.; || e || 1 |
|
|
|
|| x |
|
ПРИМЕР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
1 |
1 |
|
A I |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
P ( ) DET( A I ) (1 )(4 ) 2 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. 1 2; ( A 1 x1 ) |
0 |
|
2 |
|
2 |
0 |
|
x1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
( A 2 x2 ) |
0 |
|
2 |
|
1 |
|
0 |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A 2 {( λ1 ; e1 ), ( λ 2 ; e2 )} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 6 ( 2)( 3) 0 {2,3}
c |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
c |
c |
1 |
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
c |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2c |
c |
|
2 |
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|