ki

x1

Определение. Пусть n

ik

xn

R

n

.

R]

вещественная симметричная матрица и x

A

=[a =a

...

соответствие число F(x) R

- значение функции в точке x по правилу F(x) (A x) x

n

n

a

ik

a

ki

n

n 1

n

a

x 2

2

aik xi

xk

F(x) (A F

x) x aik xi xk

ii

i 1

k 1

i 1

i

i 1 k i 1

(1)

a

b c

x

ax by cz

x

AF

bx dy ez

b d

e

; x

y

F( x, y, z) Ax x

y

c

e

f

z

cx ey fz

z

Пусть An

A x

x

- собственные значения матрицы квадратичной формы.

n

x

0

Теорема.

Если

BОН

(e1 ,..., en ) ортонормированный базис из собсвенных

векторов матрицы, соответствующих

собственным числам λ1 , λ2 ,..., λn и BОН X 1'

X 2'... Xn' (e1 ,..., en ) np. систeмa кoopgинaт;

x1

x'1

n

3) Вектор

...

R n

имеет координаты

...

x

'

x

x

e .

i

i

xn

x'n

i 1

тогда

e1,...,en

A

n

n

F(x)

(x' )

(λ1 (x'1 ) 2 λ 2 (x'2

) 2 ... λ n (x'n ) 2

λ i (x'i ) 2

(2)

Доказательство.

i 1

1.

Aei i ei

1, i k

2.

e

e

0, i k

i

k

n

n

x'

i

e

x'

k

e

n

)

2

n

F (x) (Ax x)

i 1

i i

k 1

k

λi (x'i

3. x x'i ei

k

0

i 1

1

2. i

n

x'

n

x'

1 n

x'

A x A

i

e

Ae

i

e

i

i

i

i i

1

1

1

?? когда к.ф. принимает только положительные значения

X,Y): F(X,Y)>0,

(

(

только отрицательные значения

X,Y): F(X,Y)<0,

(

X,Y): F(X,Y) <0 ??

и положительные

X,Y): F(X,Y)>0 и отрицательные значения

(

0 квадратичная форма F(x) принимает

Следствия («Знакоопределённость» к.ф.) x

- только положительные/отрицательные значения, если все собственные числа

матрицы квадратичной формы положительны/отрицательны:

i

0,

0 F ( x)

An F ( x) i

1 n :

0,

0 F ( x)

i

F ( x, y) 1x 2 4 xy 2 y 2

AF

1

2

{ i } : DET( A I ) 2 6 0 {2; 3}

2

2

F(1,1) 1 4 2 3 0

3

1

9

1

F(1, 1) 5 0.

(

;

) 2

3

;

5

5

5

5

1

2

2 x' y'

2 x y

1

2; e1

: 1

XY

x

x' x

e

1

5

1

5

5

1

x' 2 y'

x 2 y

1

X 'Y '( e

,e

)

(*)

3; e

1 2

y

y' x

e2

2

2

2

5

5

5

1

Y

X’

e1

X

e2