b

a b сонаправлены,

- равенства a

;

| | a

| равны длины н.о.

| b

- умножения на скаляр

c b

a b , если с 0 и a b , если с 0

a

| a | | c |

| b | .

2a

с=a - b

d=a+b

a

a

2a

a

определяемая единичными взаимно перпендикулярными н.о. - «ортами»

i , j , k ,

каждой точке M(x,y,z) ставится в соответствие н.о. OM( x, y, z) rM – «радиус-

x i y j zk ,

вектор» точки, который по аксиоме сложения представляется в виде rM

при этом

числа x,y,z называют координатами н.о., а неотрицательное число

| OM |

x 2 y 2 z 2 0 называют «длиной н.о.».

b

b )

a

b (a, b )

a

COS(a

множество N-мерных векторов –матриц-столбцов

[ x1 , x2 ,.., xn ]t ; xi

R} с

L=Rn={ x

x1

y1

x1 y1

...

...

R n ,

,

R

...

R n

x

, y

2

x

2

y

1

1

xn

yn

xn yn

0 [0,0,..,0

n

]t -

“нулевой вектор»

, [ x , x

2

,.., x

n

]t - «противоположный вектор»,

1

2) Скалярным произведением векторов x, y Rn называется ЧИСЛО, равное сумме

произведений соответствующих координат векторов-множителей:

n

( x, y) x y xi yi

i 1

 x y = y x;

x ( y z ) x y x z

x (cy) c ( x y)

Rn называются ортогональными, если их скалярное произведение равно

3) Векторы x, y

1,2,.., m} называется ортогональным, если

нулю: x y =0. Набор векторов {ai Rn ; i

4) Нормой вектора

x R n , «порожденной» скалярным произведением, называется

n

неотрицательное число || x ||:

||

( xi )

2

0

|| x

x x

Свойства нормы:

1

(1)

||

2

n

2

сумма квадратов координат вектора.

(2)

|| x

x

x

x

i

|| x || 0

x 0

i 1

(3)

|| cx || | c | || x || .

|| x y ||

||

x | ||

y || норма суммы векторов не больше суммы их норм.

(4)

||

x x

2 x

x |

|| x ||

Например,

[2,4,6]T

R3

x [1,2,3]T , y

[ 1,0,2]T , z

[0;2;5]T ;

[ 3;

2; 3]T

 x

y

x

2 y

z

1 ( 1) 2 0 3 2

5;

28

x y

y

z 10;

x

z

||

||

( 1)2 02 22

2 ||

y

5; || x || 14; || z

2 x ||

x || 2 14 ;

T

|| ||

5

14 5.978;

|| x y

|| || [0,2,5] ||

29 5.385 || x

y ||

|| 3

||

14

||

x

z

3x

|| x

|| || z

T

8

8 T

u

[2,3, c]

x

u 0

2 6 3c 0 c

u

[2,3,

]

, x ортогональные векторы.

3

3

Пусть заданы: вектор

R n

и совокупность(набор) {

1,

2

,..,

n ;

i

Rn

}

мерных

x

«N»

N-

b b

b

b

векторов, являющихся столбцами квадратной матрицы Bn =[b , b ,.., b

],

b

[b

, b

,..., b ]T .

1

2

n

i

1i

2i

ni

Рассмотрим векторное уравнение

b11

b12

b1n

x1

n

c1

b21

c2

b22

... cn

b2n

x2

x c i

bi

...

...

...

...

(1)

i 1

bn1

bn 2

bnn

xn

1

0

0

– ортонормированный базис ЛВП R3.

BОНБ=

0

1 /

2

1 /

2

1

0

1 /

2

/

2

2) Координаты вектора

в базисе B -

[x]B определяются матричным

x Rn

уравнением

и находятся методом Жордана – Гаусса:

B C x

DET( B ) 0

[B | x]

[ I | C] !C

[ xB ] : B C x .

Координаты вектора

в ортогональном базисе BОБ находятся по формулам

x Rn

...

... cn

x c1

e1

ci ei

en

0, i k

x

e

c

i

2i

, i 1,2,.., n

ei ek

2

|| ei

||

ei

ПРИМЕР-1.

е1

е2

x

2

1

'

"

x

y

x i

y j

R

OXY ( i , j );

BОНБ

1

1

ОХ

Y

(е1

, е2 )

2

1

1

x' y'

x

x'

x

2

y

x' е1 y' е2 [ x ]B

y'

x' y'

y

2

Пусть в XOY

задано уравнение кривой L : 3x 2 3 y 2

2 xy 4

L эллипс

3

3

2

( x

' )

2

( y' )

2

X ' OY ' : L :

( x' y' )2

( x' y' )2