Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / П-Вод. АГ

x x

0

s1 t

параметрическое уравнение прямой

T

s2 t

[s1 , s2 , ss ]

T

L(M0 L SL [s1 , s2 , s3 ] || L)

y y

0

L(M0 ; SL

)

(1)

направляющий вектор прямой

s

t

S

z z

0

3

L

M L ! t M R t R ! M t L

t R

Каноническое уравнениепрямой:

x xo

y yo

z zo

t

M

S

{0}

(2)

S1

S2

S3

1/ 2 / 3

P(M

[n

, n

, n

]T _ | _ P)

x x

n

y y

n

z z

0

0

P; n

P

n

(3)

1

1

3

1

0

2

0

3

0

нормальный векторплоскости

D

0

n

P

координатное уравнение плоскости Ax By Cz

0

XYZ ( i , j ,k )

вектор a [a , a

, a

]T

a i a

j a

k н.о.

(a , a

, a

);

2

3

2

a

2

3

1

1

3

1

норма вектора

0

длина н.о.

a 2

a 2

a 2

a

a

1

2

3

3

bi

COS a

2.

Скалярное произведение: a b ai

a

b

b

1

a b

a b

a b

ПР

(a) |a | COS (a

b )

b )

(a

b ) ARCCOS

[0; ]

2.1

2.2 COS (a

b

b

a

b

a

b

b

Коллинеарность векторов

параллельность н.о.

2.3

a

a

||b .

Ортогональность векторов

a b 0 перпендикулярность н.о.

a

_ | _ b .

S1

S 2

Угол между прямыми : ( L1

L2)

( S

L1

S

L2

) COS (L1

L2)

S1

S 2

4.

n1

n 2

Угол между плоскостями : ( P1

P2) (n1

n 2)

COS (n1

n2)

n1

n 2

S

L

n

Р

Угол между прямой L и плоскостью P : ( L P)

( S

n

) S IN L

P

Р

2

L

S

L

n

Р

[II] Вещественная симметричная матрица A = [AIK=AKI R]N.

2.1

Собственные числа λ

и соответствующие им собственные векторы x

матрицы.

1. DET( A I )

P

( ) 0

{

R, i 1 n}

n

i

2.

x

i xi : ( A

i I )xi

0 {xi } ei

i

A [a

a

R]

xi

n

ik

k i

A

I

0, i k

x 0

B

2.1 A x

x

{( , x )}

3.

[ e

; e

2

;...; e

n

] : e

i

e

k

x 0

OH

1

1, i k

x

0

x1

x'1

n

4. x

...

xi'

ei ;

x'

...

xi' x ei

xn

i 1

x'n

P ( ) ( 1) n n C

n 1

.... C C

0

n

( 1)n 1

C

n

C

λ

;

λ

i

n

n 1

1

0

1 i

n 1

1

0

2.2

Квадратичная форма F(x)

и её канонический вид.

~

~

Y

~

Y

B

Y

B

~

~

-A

X

A

X

-A

A

~

-B

-B

X

~

2

~

2

~

2

~

2

~

2

~

2

~ ~2

~ ~2

( x )

( y )

( x )

( y )

( y )

( x )

(1)

1

;

(2)

1

(3)

(4) y ax

(5) x

by

2

2

2

2

a

b

a

b

b

2

a

2

1