Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ТР 1.4 ч.1 ч

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

472.35 Кб

Скачать

☆

ТР 1.4 по теме «Собственные значения матрицы. Приведение кривой 2 порядка к каноническому виду.»

Часть [I]. Собственные значения матрицы.

ЗАДАНИЕ.

1.1 Определить и найти собственные значения (λi,ei) вещественной симметричной матрицы А3.

4 б.

1.2 Определить в R3 прямоугольную систему координат X’Y’Z’(e1, e2, e3) и записать явный

вид уравнений связи координат точки в двух прямоугольных системах координат

4 б.

XYZ( i , j, k)

X' Y' Z' (e1

, e2 , e3 ).

Макс. 8 б.;

Зач. ≥ 6 б.

ПУТЕВОДИТЕЛЬ

1. det( A I ) P

( ) 0 { ; i

A I

: [ A

| 0] e

{( i , xi )}

An [aik aki R]

det( A I )

;

] :

0, i k

1 n 3.

; e

e e

R x

1 2

i k

1, i k

]

x Rn : x

[x'

P ( ) ( 1)n n C

n 1

....

C C

( 1)n 1 C

n 1

;

n 1

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТР 1.4, вар.1

ORIGIN 1

23 0

1 0 0

A 23 25 23

I 0 1 0

D( ) A I

=P3( )

0 0 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------

1.1 1. Собственные числа матрицы. PA (λ)=det(A- λI)=0

P3(λ)=(Ф.Саррюса)= -(λ+2)2(λ+25)

+ 2∙232(λ+2) = - λ3 - 29λ2 + 954λ + 2016

n=3

λ1+λ2+λ3 = (-1)3+1 ∙C2 = C = -29; λ1∙λ2∙λ3 =C =2016

2016 = 7∙32∙25

→ P3(-2)=0

=-2

P3(λ)=(

P2(

)

--------------------------------------------------------------------------------

Если известен один корень λ

два

других корня определяются как корни полинома Р2(λ):

Р2(λ) = P3(λ)/(λ -

λ1)

= - λ2 - 27λ +1008 =0

λ2=21; λ3= - 48

λ { -

P3( )= -(

+2)( -21)( +48)=0 <==>

2;21;-48 }

---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Собственные векторы матрицы:

λ---

>Xλ <=> (A-λ)∙ Xλ=0

PM= [A-λ|0]

{ Xλ}

0.408

0.707

0.577

 MathCad

eigenvecsA() 0.816

0.577

eigenvalsA()

0.408

0.707

0.577

X=[X, Y, Z]T

		0	23	0		0	1	0	0	1		0
2	D( ) 23		23	23		1	1	1	<=> 1	0		1			x=-z; y=0		X =[-z;0;z]T= z ∙[-1;0;1]T; z≠0
			23													λ
		0	23	0		0	1	0	0	0		0				λ
						<=> e1=[-1; 0; 1]T/
						<=> e1=[-1; 0; 1]T/							2
	23		23	0		1	1	0	1	1	0			<=>y=-z; x=-y=z X =[z; -z; z]T= z ∙[1;-1;1]T;
21	D( ) 23		46	23	<=> 1		2	1	<=> 0	1	1			<=>y=-z; x=-y=z X =[z; -z; z]T= z ∙[1;-1;1]T;
			23														λ
		0	23	23		0	1	1	0	0	0						λ
					<=> e2=[1; -1; 1]T/
					<=> e2=[1; -1; 1]T/					3
	46		23	0		2		1	0	0		1		2
48	D( ) 23		23	23		<=> 1		1	1 <=> 1			0		1		x=z; y=2z	X = [z;2z;z]T= z∙[1; 2; 1]T
			23														λ
		0	23	46		0		1	2	0		0		0			λ

<=> e3=[1; 2; 1]T/ 6

(e1, e2) =(e1, e3) = (e3, e2) = 0

1.2 BOH=[e1,e2,e3]

XYZ(i,j,k)

---->

X'Y'Z'(e1,e2,e3);

X= y = x'e1+y'e2+z'e3

x = -x'/

+y'/

+z'/

x' = (X,e1) = (-x+z)/

y = - y'/

+ 2z'/

y' = (X,e2) = (x-y+z)/

z = x'/

+y'/

+z'/

z' = (X,e3) = (x+2y+z)/

M(1,1,1)

<=>

M'(0;1/

; 4/

)

||r ||=

||r

||=

M’

A 23

РЕЗУЛЬТАТЫ:

(A-

I)x =O

x ≠ O

{ (

i,ei): i=1,2,3}

1=-2  e1=[-1; 0; 1]T/

λ2=21 e2=[1; -1; 1]T/

λ3= - 48 e3=[1; 2; 1]T/

Собственные значения матрицы: Axλ=λxλ <=> (An-λIn)xλ=0 , xλ=/0

Вариант различных соб. чисел.

1) Собственные числа матрицы: det(A-λI)=0							ORIGIN 1
4		9	2		4		9	2
					4		9	2
					D( )
A	9	15	9	D( ) A identity(3)	D( )	9	15	9
	2	9	4					4
						2	9	4

	D( )	23 2 3 30			144
	D( )	23 2 3 30			144
т. Виета:
n=3 ==>λ1+λ2+λ3=(-1)n+1с = 23;						1	2	3= с = - 144; 144= 2432; P (2)=0
				2				0
=>P(λ)=(λ-2)(λ2-21λ-72)=0 D=272						==>λ		= (21+-27)/2={24;-3}
							2,3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
P( ) 3 23 2			30		144			λ1=24; λ2=2; λ3=-3
		144
			30					3
v P( )		coeffs	23			r	polyroots (v)		2
			1
			1						24

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Собственные векторы матрицы: (А-λI) *xλ= 0; xλ=/0

2.1	k 1 3
		20		9	2			20		9	2
							D12 k
				9						1
1 24	D1 D( 1 )	D1	9		9	D12 k		D1	1		1
							9

		2		9	20			2		9	20

D11 k D11 k 20 D12 k		D13 k D13 k			2 D12 k		0		11	22
D11 k D11 k 20 D12 k		D13 k D13 k			2 D12 k				1				<-- C1
						D1		1	1	1
			D13 k					0	11 22
	D13 k		D13 k
D11 k D11 k D13 k				D12 k D12 k D13 k					0		0	0
D11 k D11 k D13 k			11	D12 k D12 k D13 k					0		0	0
			11									1	<-C2
													<-C2
									D1	1	0
										0	1	2

	a		1			1
X1 (a)	2 a	X1=a		2	e1		2	1		λ1= 24


									6
	a			1			1

2.2											2			9		2
	2		2																																	D21 k
	2		2			D2 D( 2 )						9		13		9				D23 k D23 k D21 k										D21 k						D21 k
						D2 D( 2 )														D23 k D23 k D21 k										D21 k
1			4.5		1							2		9		2						1			4.5		1											2
1			4.5		1																	1			4.5		1
							k		D22 k D21 k 9															27.5
D2	9		13		9	D22	k		D22 k D21 k 9												D2		0	27.5		0												<-- C1
	0		0		0																		0		0	0
		D2		k		1		4.5		1																						1		0	1
		D2																														1		0	1
			2
D22 k						D2	0	1		0			D21 k						D21 k D22 k D21 2									D2					0	1	0			<-- C
D22 k		D22 k				D2	0	1		0			D21 k						D21 k D22 k D21 2									D2					0	1	0			<-- C
		D22 k					0	0		0																												2
			b				0	0		0																							0	0	0
			b					1									1																0	0	0
X2 (b)								1									1
				0																	1
				0		X2=b			0				e2					0			1
						X2=b			0				e2					0
				b																	2
				b					1									1			2
									1									1
2.3												7				9	2														7		9	2
3 3					D3 D( 3 )							7				9	2							D32 k							7		9	2
3 3					D3 D( 3 )					D3			9 18				9				D32 k			D32 k				D3				1	2	1

																									9
													2			9	7															2	9	7
D33 k D33 k D32 k 2													D31 k 7 D32 k																0			5		5
D33 k D33 k D32 k 2										D31 k			D31 k 7 D32 k															D3		1			2	1
																												D3		1			2	1
																														0			5	5
															D3							0		0	0
D31 k D31 k D33 k									D33 k							3 k					D3
																							1	2	1												<-- C
																5							1	2	1												<-- C
																																						1
																							0	1	1
													0			0	0
D32 k D32 k 2 D33 k										D3				1 0			1
D32 k D32 k 2 D33 k										D3				1 0			1																				<-- C2
														0		1	1

		c
X3 (c)		c

		c

λ1= 24

	1		1
X3=c	1	e3	1	1


				3
	1		1
λ1= 2			λ3=-3

	1			1		1

		6				3


				2
				2		1
e1	2		e2	0	e3	1	(e1,e2) = (e1,e3) = (e3,e2) =0
e1			e2	0	e3
		6				3
				1
	1			1		1


				2
				2
		6				3

ТР 1.4 часть 2.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

ЗАДАНИЕ. Для заданного уравнения Ф(х,у)=0
2.1 Определить квадратичную форму и матрицу K2	;	( I,EI)
матрицы. K2.	квадратичной формы	найти собственные значения λ	3 б.

2.2Определить и изобразить на координатной плоскости OXY(i,j) новую прямоугольную систему координат OX’Y’(E1,E2); записать явный вид уравнений связи координат точки в двух прямоугольных системах координат и

получить явный вид заданного уравнения в системе координат ’ ’				(	,	) 0		4 б.
2.3 Выделить в уравнении (			OX Y :		x	y	.
2.3 Выделить в уравнении (	,	) 0	«полные квадраты» по каждой из координат				,
	x	y					x	y

		a		a 2						( x' x0 )2				( y' y0 )2			1
( x )2	ax ( x	a	)2	a 2	X /Y	)					2					2	1
( x )2	ax ( x		)2		X /Y	)					2					2		3 б.
					, привести уравнение Ф( ’ ’		=0	к виду		a				b			,	3 б.
		2		4					y' y			0	a( x' x		0	)2
												0			0

указать тип кривой , определяемой этим уравнением..				A’ ,		А’) кривой ,
2.4 Задать/выбрать по уравнению (	,	) 0 координаты одной из точек А		A’ ,		А’) кривой ,
	x	y	(X		Y
найти (2.2) ее координаты (XА ,YА ) в системе XOY и показать, что эти координаты
удовлетворяют заданному уравнению F ( x A , y A ) 0 .						3 б.

Макс. 13 баллов. Зачет > 6 баллов.

Канонические уравнения кривых второго порядка на плоскости:

-a

-b

( x )

( y )

1 ;

( x )

( y )

( x )

(1)

(2)

(3)

~	~2	~	~2
(4) y	ax	(5) x	by

(1) эллипс (окружность с радиусом r , если a b r)		с полуосями " a" ," b"
	с ветвями " вверх / вниз" или " влево
(3), (2) гипербола		/ вправо"
(4), (5) парабола	с ветвями " вверх / вниз" или " влево / вправо"

Оптические свойства кривых второго порядка:

Для эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.

Для гиперболы: продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.

Для параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных ее фокальной оси.

Пример выполнения

3x 2 2 xy 3 y 2 6 2 x 2 2 y 4 0	(1)

2.1Квадратичная форма (к.ф.) и её матрица для заданного уравнения:

			k.ф.( х, у) 3x 2 2 xy 3 y 2 K2																3		1		: [ x, y] K2			x	3x 2 2 xy 3 y 2
																			1		3					y
Собственные значения (												,x ) матрицы К2:
											3 λ λ			1
											3 λ λ			1
K2 I 2 x				0									3
										1
										1
x		0

								x 0
Cообственн ые числа матрицы K2 :
det	3		1		2				6 8 0					λ {2;4}
	3		1
		1	3
		1	3
Cооответствующие собственные векторы матрицы К2 .
λ1																	1					1		1


		2 х1				:	1			1		0	x1				1	e1						1

																						2
								1	1			0										2
								1	1			0
																			1					1	1


	λ	2 4 х2						:			1 1				0	x2			1	e2					1	e1	, e2	0

																								2
											1	1			0									2
											1	1			0

Векторы e1, e2 определяют на плоскости (новую) прямоугольную систему координат

OX’Y’(e1,e2).

Y Y' y'

y М

Оx

x' X

2.2 Найдем уравнения, связывающие координаты точки М в двух координатных системах XOY(i,j), X’OY’(e1,e2), записав радиус-вектор точки в этих системах :

XOY (i , j )																					x y
XOY (i , j )			X ' OY ' (e1		, e2 )		x						1	1		1	1		1		x y
						:				x' e1		y' e2		1	x'			y'			x y


M ( x, y)			M ( x' , y' )				y		i , j				2			2	1		2			i , j
M ( x, y)			M ( x' , y' )				y		i , j				2			2			2			i , j
	1							1
x			(x' y' )	x' x		e1					(x y)									(2)

	2							2
	2	;						2
	1	;						1
y	1							1
			( x' y' )	y' x		e2					(x y)


	2							2
	2							2

 Используя (2), запишем квадратичную форму и уравнение кривой второго порядка в новой системе координат X’OY’(e1,e2).

k.Ф. 3x 2

2xy 3y 2

1 ( x' )2 2 ( y' )2

2(x' )2 4(y' )2

(2)

F ( x, y) : 3x 2 2 xy 3 y 2 x 6

y 2

4 0 F ( x' , y' ) : 2( x' )2 4( y' )2 6( x' y' ) 2( x' y' ) 4 0

F(x' , y' ) :

2(x' )2 4x' 4(y' )2

8y' 4 0

2.3 Выделим в полученном уравнении «полные квадраты» по x’

и y’

2( x' )2 4x' 2(( x' )2 2x' ) 2[( x' 1)2 1];

4( y' )2 8 y' 4[( y' )2

2 y' ] 4[( y' 1)2

1] ,

и получим каноническое уравнение кривой в системе X’OY’ :

F ( x' , y' ) : (x' 1)2 2(y' 1)2 1

( x' 1)2

( y' 1)2

(3)

(1/ 2 )

Уравнение (3) определяет на плоскости эллипс с полуосями ax=1 и b= 1/ 2 и осями симметрии x’=1, y’=1.

2.4 Очевидно, что точка А(x’=2;y’=1) лежит на эллипсе (3). Используя соотношения (2), найдем ее координаты в системе координат ОXY:

	A(x’=2; y’=1) ↔ A(											3		,	1			)
	A(x’=2; y’=1) ↔ A(
															2
	X’OY’							2							2
	X’OY’									XOY
Убедимся в том, что координаты																	x 3							, y			1				удовлетворяют Заданному Уравнению (1):
Убедимся в том, что координаты																	x 3			2				, y			1				удовлетворяют Заданному Уравнению (1):
																				2							2
3x 2 2xy 3y 2					6									2y 4 ( A) 3									9		2	3 1		3	1	6				3		2			1			4 0			ч.т.д.
							2x 2																9			3 1			1				2	3				2	1
							2x 2																										2					2
РЕЗУЛЬТАТЫ:																				2						2	2							2					2
РЕЗУЛЬТАТЫ:
																																												1
																																												1		1
																																								2, e


																																						1			1
																																3		1										2		1
																																3		1										2		1
1)	XOY(i,j): 3x 2				2 xy 3 y 2 6											2 x 2						2 y 4					0; K2					1		3										1			1
1)	XOY(i,j): 3x 2				2 xy 3 y 2 6											2 x 2						2 y 4					0; K2

																																								2, e
																																								2, e
			→																																			1					2	2			1
																																												2			1
	XOY(I,j)			X OY (e ,e ):
2)		1		’		’			1 2										1
	x		x' y'							x'			( x, e1 )								( x y)						(x' 1)			2		(y' 1)				2			эллипс с полуосями

		2																	2
		2																	2
					;																																1

		1																	1								12							1 2							1; b 1 / 2
3)		1	x' y'																1								12							1 2					a		1; b 1 / 2
	y									y'			( x, e2 )								( x y)


		2																	2																2
4)	A' (2' ,1' ) A(					3			;		1		) L
4)	A' (2' ,1' ) A(								;				) L
					2			2

Соседние файлы в папке ЛВП

#
28.05.2022386.08 Кб1ЛВП-2-3-ОФ18.pdf
#
28.05.2022332.73 Кб1ЛВП-5 L&P.pdf
#
28.05.2022238.14 Кб1П-Вод. АГ.pdf
#
28.05.2022201.42 Кб1ПРАКТИКА БАЗИС.pdf
#
28.05.2022376.94 Кб1ТР 1-3 ОФ.pdf
#
28.05.2022472.35 Кб2ТР 1.4 ч.1 ч.2.pdf
#
28.05.2022422.19 Кб3ТР 1.4.pdf