Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / ТР 1

XYZ( i , j , k) и

4 б.

X' Y' Z' (e1

, e2 , e3 ).

Макс. 8 б.;

Зач. ≥ 6 б.

ПУТЕВОДИТЕЛЬ

1. det( A I ) P

( ) 0 { ; i 1 n}

n

i

x

i

A

2.

x

: [ A

| 0] e

I

i

x

0,

i

i

i

{( i , xi )}

xi

An [aik aki R]

det( A I )

0

;

0, i k

i 1 n 3. B

[e

; e

; e

n

] : e

e

R x

0

OH

1 2

i

k

1, i k

n

x'

x'

]

4. x Rn : x [x'

B

e

x

e

i 1

i

i

i

i

P

( )

( 1)n n C

n 1

....

C

C

0

n λ

i

( 1)n 1 C

n 1

;

n

λ

i

C

n

n 1

1

0

0

1

1

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТР 1.4, вар.1

ORIGIN 1

2

23 0

1 0 0

2

23

0

A 23 25 23

I 0 1 0

D( ) A I

23

25

23

=P3( )

23

2

23

λ

0

0 0 1

0

2

---------------------------------------------------------------------------------------------------

1.1

1. Собственные числа матрицы. PA (λ)=det(A- λI)=0

P3(λ)=(Ф.Саррюса)= -(λ+2)2(λ+25)

+ 2∙232(λ+2) = - λ3 - 29λ2 + 954λ + 2016

n=3 λ1+λ2+λ3 = (-1)3+1 ∙C2 = C = -29; λ1∙λ2∙λ3 =C =2016

2

0

λ

2016 = 7∙32∙25

→ P3(-2)=0

=-2

P3(λ)=(

P2(

)

--------------------------------------------------------------------------------

Если известен один корень λ

1,

два

других корня определяются как корни полинома Р2(λ):

Р2(λ) = P3(λ)/(λ -

λ1)

= - λ2 - 27λ +1008 =0

λ2=21; λ3= - 48

λ

λ

λ

λ

λ { -

P3( )= -(

+2)( -21)( +48)=0 <==>

2;21;-48 }

---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Собственные векторы матрицы:

λ---

>Xλ <=> (A-λ)∙ Xλ=0

PM= [A-λ|0]

{ Xλ}

0.408

0.707

0.577

48

 MathCad

eigenvecsA()

0.816

0

0.577

eigenvalsA()

2

0.408

0.707

0.577

21

0

23

0

0

1

0

0

1

0

2

D( ) 23

23

23

1

1

1

<=> 1

0

1

x=-z; y=0

X =[-z;0;z]T= z ∙[-1;0;1]T; z≠0

23

λ

0

0

0

1

0

0

0

0

<=> e1=[-1; 0; 1]T/

2

23

23

0

1

1

0

1

1

0

<=>y=-z; x=-y=z X =[z; -z; z]T= z ∙[1;-1;1]T;

21

D( ) 23

46

23

<=> 1

2

1

<=> 0

1

1

23

λ

0

23

0

1

1

0

0

0

<=> e2=[1; -1; 1]T/

3

46

23

0

2

1

0

0

1

2

48

D( ) 23

23

23

<=> 1

1

1 <=> 1

0

1

x=z; y=2z

X = [z;2z;z]T= z∙[1; 2; 1]T

23

λ

0

46

0

1

2

0

0

0

XYZ(i,j,k)

---->

X'Y'Z'(e1,e2,e3);

X= y = x'e1+y'e2+z'e3

z

x = -x'/

+y'/

+z'/

x' = (X,e1) = (-x+z)/

2

3

6

2

y = - y'/

+ 2z'/

y' = (X,e2) = (x-y+z)/

3

6

3

z = x'/

+y'/

+z'/

z' = (X,e3) = (x+2y+z)/

2

3

6

6

M(1,1,1)

<=>

M'(0;1/

; 4/

)

3

6

||r ||=

3

||r

||=

3

M

M’

2

23

0

λ

λ

A 23

25

23

23

2

РЕЗУЛЬТАТЫ:

0

(A-

I)x =O

x ≠ O

{ (

i,ei): i=1,2,3}

1=-2  e1=[-1; 0; 1]T/

λ

λ

2

λ

λ2=21 e2=[1; -1; 1]T/

3

λ3= - 48 e3=[1; 2; 1]T/

6

ЗАДАНИЕ. Для заданного уравнения Ф(х,у)=0

2.1 Определить квадратичную форму и матрицу K2

;

( I,EI)

матрицы. K2.

квадратичной формы

найти собственные значения λ

3 б.

получить явный вид заданного уравнения в системе координат ’ ’

(

,

) 0

4 б.

2.3 Выделить в уравнении (

OX Y :

x

y

.

,

) 0

«полные квадраты» по каждой из координат

,

x

y

x

y

a

a 2

( x' x0 )2

( y' y0 )2

1

)2

X /Y

)

2

( x )2 ax ( x

2

3 б.

, привести уравнение Ф( ’ ’

=0 к

виду

a

b

,

2

4

y' y

0

a( x' x

0

)2

указать тип кривой , определяемой этим уравнением..

A’ ,

А’) кривой ,

2.4

Задать/выбрать по уравнению (

,

) 0 координаты одной из точек А

x

y

(X

Y

найти (2.2) ее координаты (XА ,YА ) в системе XOY и показать, что эти координаты

удовлетворяют заданному уравнению F ( x A , y A ) 0 .

3 б.

Макс. 13 баллов. Зачет > 6 баллов.

Пример выполнения

3x 2 2 xy 3 y 2 6

x 2

y 4 0

2

2

(1)

k.ф.( х, у) 3x 2 2 xy 3 y 2 K2

3

1

: [ x, y] K2

x

3x 2 2 xy 3 y 2

1

3

y

Собственные значения (

,x

) матрицы К2: