Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / Матрицы и СЛАУ / 6 МУ 7 ОМ

§6 Матричные уравнения AX-B и XA=B. Обратная матрица.

Пусть заданы числовые матрицы AN=ANXN и BNXR [B , B

2

,..., BR ]

, где (B )N X T , K 1 R -

1

1

1 2

X1 1

X1 2

5 6

РМ

1 2

5 6

S2 1( 3)

1 2

5

6

3 4

X2 1

X2 2

7 8

3 4

7 8

0 2

8

10

S

(1)

1 2

1

1 0

3

4

! X

3

4

:

1 2

3

4

3 8 5 6

M 2 (

)

0

2

4

5

4

5

3 4

4

5

9 16 7 8

2

3) МУ

Ж Г

( X A)T BT AT X T BT X T X ( X T )T

ЭКЗ: Решить МУ

X1 1

X1 2

2

5

6

1

X2 1

X2 2

3

4

7

8

D ET( A) 0

1

0

Ж Г

[ I

| X ] ! X

0

1

N

PM [ A | B]

D ET( A)

0 [0;...;0 | 0]

Ж Г : C1

0

C2

0

...

SIK ( )

~

M

( )

] {X }

...

...

P

K

[ I

K

;.... | B

I

/ K

N

0

0

Определение. Матрица ZN называется обратной к матрице AN (Z=A-1), если Z∙A=A∙Z=IN.

Следствия. 1)Невырожденная квадратная матрица AN

DET(AN)≠0

AN)-1

= IN

-

имеет единственную обратную

! Z=A

-1: (AN-1)

AN =AN

∙(

N

∙

- Свойства A-1 :

(A-1)-1 = A; (AT)-1 = (A-1)T;

DET(A-1)=1/ DET(A); (A∙B)-1 = B-1∙A-1 ;

2) «метод обратной матрицы» решения МУ (AN

X = B и X AN = B)

DET(AN)≠0:

D ET( A) 0

-1

-1

-1

∙

∙

-1

A∙X=B

A

∙A∙X=A

∙B I∙X=X= A ∙B ;

X∙AN = B  X= B∙

A ;