М4-М5 det(A) и ф. Крамера

§4 Определитель матрицы и его свойства.

ТР 1.1 часть 2:»Вычислить DET(A) и решить СЛАУ №4 по теореме Крамера.

§5 Теорема и формулы Крамера. Однородные СЛАУ.

Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

375.29 Кб

Скачать

☆

Пусть AN=(AIK)- квадратная числовая матрица порядка. Сопоставим матрице ЧИСЛО, которое

называют определителем (детерминантом) матрицы и обозначают DET(A).

Определение

DET(AN ) для N N дадим «по индукции»(от частного к общему):

DET(A1)

сформулируем правило (*), по которому определитель матрицы AN порядка N

определим

выражается через определители матриц A N 1

(N-1) порядка:

(*)

DET( A ) {DET( A

)} {DET( A

)}

....

{DET( A )} {DET( A )}

n 1

n 2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) DET( A1 [a]) a

... ... ...

2) Определим для каждого элемента AIK матрицы АN=

... aik ...

Ri вспомогательные понятия

... ... ...

(2.1)

A \ {R , C

}

A ( 1)i k DET D R

элемент aik

дополнительная матрица

алгебраическое дополнение

элемента aik

элемента

aik

(2.2) составим суммы произведений элементов строки RI или столбца CK матрицы на их

алгебраические дополнения и назовём их «разложениями матрицы» по строке/столбцу:

... a

( 1)i k DET( D

) " разложение" матрицы по строке RI"

k 1

( 1)i k DET( D

... a

) " разложение матрицы по столбцу С

2к

nк

1к

2к

nк

i 1

k 1

a11

a12

( 1)i k

DET (D

no R ;i 1,2

); i, k {1,2} i1

a21

a22

no C

; k 1,2

i / k

разложение

по Ri

a1 1; D1 1

a2 2

; A1 1 a2 2

a1 2 ; D1 2

a2 1

; A1 2 a2 1

a1 1 a2 2 a1 2 a2 1

a2 1; D2 1

a1 2

;

A2 1 a1 2

a2 2 ; D2 2

a1 1

;

A2 2 a1 1

a2 1 a1 2 a2 2 a1 1

разложение

a1 1

a2 2 a2 1 a1 2

a1 2 a2 1 a2 2 a1 1

разложения по строке

по CK

и по столбцуРАВНЫ

SOS!

сумма произведен ий элементов С1 на алгебраические дополнения соответств ующих

элементов С2 C1

( a

) a

k 1, m 2

i, k {1,2} :

i 1

im k

k 1

j i, k

m k

j i

				2
		2	3
	1	2	3
ЭКЗ+1 Составить разложения матрицы	4	5	6	по строкам и столбцам и
	7	9	8
сумму произведений элементов1 ой строки		на алгебраические дополнения соответств ующих элементов 3 строки.

Теорема.

1)Разложения квадратной матрицы по любым строкам и столбцам РАВНЫ.

2)Суммы произведений элементов любой строки/столбц матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов ДРУГОЙ строки/столбца РАВНЫ НУЛЮ.

3)Определение Определителем матрицы порядка “N” называется её разложение

по любым строке или столбцу матрицы.

	n			n				Aik ( 1)i k DET Dik
DET ( An ) A		A	iK	A	A	Ik	;	Aik ( 1)i k DET Dik
	I 1	iK	iK	Ik		Ik
	I 1			k 1
разложение	по	к столбцу по I стpоke

Свойства определителя матрицы.(Строки и столбцы «равноправны»!)

1) Вычислять определитель предпочтительно по строке/столбцу, с наибольшим количеством нулевых

	1	2	3	по к 2 столбцу		4	6

элементов: Например: DET	4	0	6		2 ( 1)3 DET			( 2)	( 10)	20
						7	8
	7	0	8

Определитель матрицы с нулевой строкой/столбцом равен нулю.

2) Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов:

	1 ... ... ...				1	0	0	0		0	0	0 1
DET	0	5 ... ...		DET	...	5	0	0	DET	0	0	5 ...	1	5	8	10	400
DET	0	0	8 ...	DET	... ...		8	0	DET	0	8 ... ...		1	5	8	10	400
	0	0	8 ...		... ...		8	0		0	8 ... ...
	0	0	0 10		... ... ...			10		10	d ... ...

3)DET(A)=DET(AT)

4)DET M i ( ) A DET( A) DET An ) n DET( An )

DET	P A						~			при перестанов ке строк / столбцов матрицы её определите ль
DET	P A			DET P A DET ( A)						при перестанов ке строк / столбцов матрицы её определите ль
		ik					ik
умножается на (1).
DET Sik ( ) A DET( A)
A			2					~		A)	DET			3	4		2; DET( M (2) A)						DET	2		4	4;
		1	2					~						3	4									2		4
		3	4		DET( A) 2; DET( P									1	2									3		4
		3	4					12						1	2					1				3		4
DET( 2 A) DET							4		8 22 ( 2); DET( S				( 3) A)				DET		1	2		2	DET( A)
						2	4												1	2
						6	8					21							0	2
													2			5	6				19		22		4
											1		2			5	6				19		22
DET A B DET ( A) DET (B) DET																		DET
5)											3		4			7	8				43		50
5)											3		4			7	8				43		50

										DET( A) DET( B) ( 2) ( 2) 4
Замечания.
(1) ЭКЗ+1					Доказать “Правило Саррюса» вычисления det(A3)

DET( A3 ) [a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 ] [a31 a22 a13 a12 a21 a33 a11 a23 a32 ]

DET(A3) = S1 – S2 равен разности сумм произведений элементов матрицы в вершинах треугольников, сторона которых параллельна главной диагонали (S1) и сторона которых параллельна другой диагонали матрицы (S2).

DET(A3)=							S1			-			S2
			2	3		[1 5 8 4 9 3 2				6 7] [7 5 3 4 2 8 9 6 1] 9
		1	2	3

 DET		4	5	6
 DET		4	5	6				232						223
		7	9	8				232						223
(2)  Для вычисления DET(A4) можно предварительно ”обнулить” элементы столбца/строки и свести задачу к
вычислению DET(A3)					по «правилу Саррюса»
									S21(1)
		1 2 1					1		S31( 3)	1 2 1 1							1
		1 2 1					1		S31( 3)	1 2 1 1
		1			2 2				S41( 2)			1 1		по С1	2	1		пр.Саррюса		8 7]
				0						0 2
				0					DET	0 2				DET	7	4	2		[0
DET	3		1		1		1		DET	0	7	4	2	DET	7	4	2				4]	3
	3		1		1		1			0	7	4	2		4	1	0		[16		4]	3
	2			0	1		2			0	4	1	0		4	1	0
	2			0	1		2			0	4	1	0

==========================================

Пусть AN – невырожденная квадратная матрица (DET(AN)≠0).

Теорема /Теорема Крамера/.

Система N линейных алгебраических≠ уравнений с N неизвестными AN∙X=B с невырожденной матрицей DET(A) 0 имеет единственное решение

		x1
A X B	! X	x2
DET ( A) 0	! X	...	: ,

при этом неизвестные XI, I=12,2,…,N вычисляются по формулам Крамера:

xi DET ( Ai ) , i 1,2,..., n,

DET ( A)

где матрица AI получена из матрицы A заменой в ней I столбца столбцом B.

Доказательство.

Домножим каждое уравнение системы A∙X=B на алгебраическое дополнение соответствующего элемента K столбца матрицы A и сложим все уравнения почленно:

... A

... a

| A

| {x

... x

}

i1 1

i 1

DET( A)

DET( A

)

1,2,..., n

k столбец

a1 1 ...

...

a1n

a2 1 ...

...

a2 n

D ET( A) 0

DET ( Ak )

! xk

; k

1,2,..., n;

... ...

...

... ...

DET ( A)

... ...

...

... ...

...

n n

Следствия

1)СЛАУ ANX=B с вырожденной матрицей DET(A)=0 не имеет единственного р ешения, т.е. либо имеет ∞ множество решений, либо решений не имеет.

2)Однородная СЛАУ (с нулевыми правыми частями) ANX=0 всегда имеет нулевое решение X=0. Поэтому

	DET( A) 0

	ANX=0
	DET( A) 0

		DET( A)


3) An B : СЛАУ	A X B
3) An B : СЛАУ	A X B	DET( A)

Пример 1.

! X 0				единственн ое нулевое решение ;
бесконечное множество решений , в т.ч. нулевое .
0				B 0
	! X				! X 0
0
0		B		0		бесконечное множество	решений
					X	бесконечное множество	решений

			0 X бесконечное множество				решений , в т.ч. нулевое .
	B		0 X бесконечное множество				решений , в т.ч. нулевое .

	1 2 3	x1			14				1 2 3							т. Крамера				x1				DET ( Ai	)
	4 5 6	x2				32	A		4		5 6		, DET ( A) 9 0				! X			x2		:	xi	DET ( Ai	)	; i 1,2,3
	4 5 6	x2				32	A		4		5 6		, DET ( A) 9 0				! X			x2		:	xi	DET ( A)		; i 1,2,3
	7 9 8	x3				49			7 9 8											x3				DET ( A)
	7 9 8	x3				49			7 9 8											x3
				2		3												DET ( A1 )
		14		2		3
DET ( A1 ) DET		32		5		6		(ф.Саррюса) 2012 2003 9 x1													1
DET ( A1 ) DET		32		5		6		(ф.Саррюса) 2012 2003 9 x1													1
		49		9		8													DET ( A)
		49		9		8
				14		3												DET ( A2 )
		1		14		3
DET ( A2 ) DET		4		32		6		1432 1414 18;								x2					2
DET ( A2 ) DET		4		32		6		1432 1414 18;								x2					2
		7		49		8													DET ( A)
		7		49		8
				2		14													DET ( A3 )
		1		2		14
DET ( A3 ) DET		4		5		32		1197 1170 27;								x3					3
DET ( A3 ) DET		4		5		32		1197 1170 27;								x3					3
		7		9		49													DET ( A)
		7		9		49
A X B X [1;2;3]T
								x1		0		D ET( A) 8 1			0
			1 2 3					x1		0		D ET( A) 8 1			0
Пример 2.			4	5		6		x2		0				! X	0
			7	9		8		x3		0					0

Пример 3.

1	2		3				x1			0				S2 1 ( 4 )			1	2
1	2		3
4	5		6

							x2			0		DET ( A)			DET		0	3
7	8		9				x3			0				S3 1( 7 )			0	6
DET			0				x3			0							0	6
DET			0
			1														x x
	M	2 (		3	)		x x		2	x	3		B				x x		3
	S1 2		( 2 )				1		2		3					1			3
PM						1 0				1			0 X {			x2 2 x3
							0	1		2			0					x3

======================================

, x3 R} Х 0 [0;0;0]T ; X 1 [1, 2,1]T

S3 2 ( 2 )

S3 2 ( 2 )

Соседние файлы в папке Матрицы и СЛАУ

#
28.05.2022405.59 Кб12-3 СЛАУ.pdf
#
28.05.2022355.17 Кб15 Т К 6-MY.pdf
#
28.05.2022246.96 Кб16 МУ 7 ОМ.pdf
#
28.05.2022175.71 Кб1АЛГЕБРА МАТРИЦ-1.pdf
#
28.05.2022375.29 Кб1М4-М5 det(A) и ф. Крамера.pdf
#
28.05.2022328.97 Кб1Матрицы-1.pdf
#
28.05.2022148.66 Кб2Метод Ж-Г MathCad.pdf
#
28.05.2022108.61 Кб1МУ и ОМ.pdf
#
28.05.2022392.11 Кб1ТР 1-1 СЛАУ.pdf
#
28.05.2022223.63 Кб1ТР 1.1 часть 1.pdf