строки |

1

2 ...

k

... n

столбцы

1

a1 1

a1 2 ...

a1k

...

a1n

0

0

0

a2 2 ...

...

[oik

0] нулевая матрица

02 x 3

2

a2 1

a2 k

a2 n

0mxn

0

0

0

...

... ... ...

...

... ...

xn |1xn матрица строка;

A

X 1 xn

x1

x2

...

mxn

i

ai1

ai 2 ...

a

ik

...

ain

Ri

y1

...

... ... ...

...

... ...

матрица столбец

m

am1

am 2 ...

amk

...

amn

Ymx1

...

Ck

ym

mx1

RI/CK –I строка / K столбец матрицы

2. Квадратная матрица порядка “n” AN=ANXN .

aii , i 1 n - диагональные элементы,

a11 a22 ... ann -главная диагональ матрицы..

0

0

1

Dn

[dii

i di ,k i 0 ] diag( 1 , 2 ,..., n ) D3 diag(1, 2,3)

0

2

0

diag(1,1,...,1) -

единичная матрица

0

0

0

0

3

3

1

I

n

0

0

1

I3=

0

1

0

2

3

1

An [aik aki ] - симметричная матрица 

2

4

5

3

5

6

3

a1 1

a1 2

a1 3

U

[u : u

0]

U

3

0

a2 2

a2 3

n

ik i k ,k

0

0

a3 3

[lik : lik i 0]

- верхняя (up) и нижняя (law) треугольные матрицы

Ln

a1 1

0

L2

a2 1

a2 2

Аmxn = Bmxn aik=bik; Аmxn Bmxn = [aik

bik];

 Аmxn

λ∙Bmxn = [aik

λ∙bik];

2

1

0

2

4

3

4

1

4 / 3

Пример.

B

1

I 2B

3

2 x 2

3

4

2

0

1

6

8

6

9

2

3

3.2 элементы cik матрицы Cmxp

вычисляются по правилу «i строка Ri(A) -на- k столбец Ck(B)»:

элемент cik равен сумме “n” произведений элементов I-строки матрицы А на

соответствующие элементы K- столбца матрицы В:

cik " R i ( A)

Ck ( B)"

a

b

a

b

... a

b

j

n

n

aij b jk

i1

1k

i2

2k

in

nk

j 1

Ck ( B)

k

b

1k

Ri ( A)

b2 k

i

ai1 ai2

...

ai n

...

cik

mxn

bn k

ai1 b1 k ai2 b2 k ... ain bnk

cik

Например:

2

1 1 2 0

0 2

2 2

1)

1 0

C

2x3

1 2 0

1 2

2 3

2 x 2

0 1 1

2x 3

2 1 3 0

0 3

4 3

2

3 1

2)

B2 x3 A2x 2 НЕ определено!!!

Свойства произведения матриц.

Если соответствующие произведения определены, то

1)

случае, A B

≠

B A :

2

5

6

19

22

5

6

1

2

23

34

1

2)

В общем: (

)=(

∙=

∙ ).

3

4

7

8

43

50

7

8

3

4

31

46

3)

α С α А∙В

αА)∙В А∙(αВ

n

5

B)

C

A

(B

C) ;

4

) I

A

n

A

I

(A

B)

C

A

C

B

(A

A; ) C

A [a

]

AT [at

a

]

R ( AT ) : C ( A) C ( AT ) : R ( A), i 1 n; k 1 m .

ik mxn

ik

ki

nxm

i

i

k

K

Свойства операции транспонирования:

(1) AT T

A;

(2) C : A T

AT ;

(3) A B T

AT

BT ;

(4) A B T BT AT

(5) AсиммT

A;

(6) A AT и AT A симметричные матрицы;

Примеры.

B13 = -2

bt

2 b

31

13

2

1

3

1 0

2

1

0

1

3

A

1

AT

; B

BT

0

1

; BT AT

2 4

3

4

2

4

0

1

1

2 x 3

2

1

0 2

3 x 2

3 x 2

2

5

2

1

0

1

2

0

; A B T

1

3

B BT

; BT B

0

1

1

;

A B

2

4

2 2

3 4

2

2 x 2

2

1 5

3 x 3

2 x 3

0

2

3 x 2

См. (3.11 Упражнения) Учебного пособия «Линейная алгебра в примерах и задачах».

A

1

2

B

3

2

;

2

3

1

2