Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / Множества и комплексные числа / 7 Основная теорема алгебры

P ( z) a

z n1 ... a z a

n

z n a

n1

0

a

i

z i , n N a

i

C a

n

0

n

n

1

i 0

(1)

0

( z) a

0

P

n

P

(Z ) AN (Z Z1 ) (Z Z 2 ) (...) (Z Z N ) an

( z z j )

(2)

N N

j 1

 Pn(z) = zn – a

zn = a = |a|∙exp(φa∙i/n)z {z(k)= n

( a 2 k )

a

e

, k 0,2,..., (n 1) )

n

i

= (z – z1)(z - z2)(z - z3): z1,2,3 {1∙e((0+2∙ ∙k)/3)∙i, k=0,1,2} = {1,

1 i

 P3(z) = z3 – 1

3

2

}

(*) корни P4(z): z1=1, z2=1, z3= i, z4= - i  P4(z)= (z-1) ∙(z - i)∙(z + i)= (z-1) (z +1)= z -2z +2z -2z+1

2

2

2

4

3

2

2) Полином Pn(z) с вещественными коэффициентами ((1):

ai

R) имеет

либо вещественные корни zi=xi

R, либо

попарно

комплексно сопряжённые корни

*

соответствует

(zi=xi+iyi,zi+1=zi = xi - iyi),

каждой паре которых в разложении

квадратичный множитель с

(2)

дискриминантом:

вещественными коэффициентами и отрицательным

(2): (z – zi) ∙ (z – zi*) = [z2 – 2xi∙z + (xi2+ yi2)] D= - 4yi2 <0

(3)

b

D

, D 0

z1,2

2a

2

2

z z

2

b

, D 0

 az +bz+c=a(z-z1)(z-z2), D=b -4ac R

1

2a

z

b | D | , D 0

1,2

2a

 P3(z) =

∙

-

в С существуют

3

корняполиномаи

решенияуравнения

(z-1) ∙(z2 + 1)

уравн ние Pn

z

ур.

i

n

3i

≠

k: z

i ≠

k

: {1,i , -i}.

в С

(z) = 0

{z : P (z )=0

i

z } .

х

х

∙

х

корняполинома

решенияуравнения

 P4(z) =

(z-1)2 (z2

–

решениеуравнения, НО

корняполинома

z {1,i, -i},

+1) ) -

: 4

z1,2=1, z3,4 =

i, но

3

 P4( ) =

(

-1)2 (

2 +1)

x

R

!xyp

=1

1

2

: х1,2=1