Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

КЧ-2-3-4-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

424.96 Кб

Скачать

☆

§2 Множество комплексных чисел.

Числовые множества

Законы

- N Z Q R;

вещественное число x RM(x) на ЧП;

замкнуто относительно

R :

арифметических операций

a,b,c R: (a b, a∙b, a/b≠0)

действий: a b = b

a ∙ b = b ∙ a;

(b )

∙

(a b)

∙

c = a

∙

C = A

(b c);

a ∙(b c) = a ∙b A c;

определено линейное уравнение ax=b  : x

x R(a b 0) (a 0 b 0) ;

a≥0 определён n

0 ,

n N

но…. в

не имеет решений

алгебраическое уравнение x2=a<0.

Введём новое числовое множество C={z}

так, чтобы: 1) R C; 2) C было замкнуто

	привычные» законы действий над
относительно всех арифметических операций и сохранились «
числами и 3)	n N a С имело решения уравнение zn=a : Определение→свойства→приложения

Определение.

Множеством C комплексных чисел z называется множество упорядоченных пар вещественных чисел

C {z (x, y) : x, y R } X=RE(Z), Y=JM(Z) – вещественная и мнимая части к.ч. z

, для которых определены аксиомы:

(а1)	равенства: z1 z 2		x1	x 2 ,	(а2) сложения: z1 z2 (x1 x2 , y1 y 2 )
(а1)	равенства: z1 z 2			;	(а2) сложения: z1 z2 (x1 x2 , y1 y 2 )
		y1		y 2
(а3)	умножения к.ч. на вещ. число: c R z (x, y) C : z c (c x, c y)
(A4)	умножения к.чисел:
(x1 , y1 ) (x 2 , y 2 ) (x1 x2 y1			y 2 ,	x1 y 2	y1 x2 ) (1, 2) (2, 1) (0, 5) ,
(1,-2)●(2,-1)=(0,-5)

Следствия.

Аксиомы а1-а4 определены через операции над вещественными числами x,y R так, что

для комплексных чисел справедливы «привычные» законы действий над

числами:

1) z1+z2= z2+z1; z1∙z2=z2∙z1;

2) z1+z2+z3=(z1+z2)+z3;

z1∙(z2∙z3)= (z1∙z2)∙z3;

3) z1 (z2+z3)= z1 z2+ z1 z3;

! 0 =(0,0) z C: z+0 =z;

-1

! ∙1C=(1,0) ∙z C: z∙∙1C=z;

! противоположное” число

“–

Z =(-x,-y): z+(-z)=0C

”



вычитание к.ч.: z1-z2=z1+(-z2)=(x1-x2,y1-y2)

C\{0}

! ”обратное” число “z

: z z

= 1C =(1,0)

 деление к.ч.: z=

z1 z z2 1

z2 z2 0

	i (0,1)	i 1		( x, y) : i i 1 (0,1)		( x, y) 1	(1,0)
						C
	0 y 1		i	1 (0, 1)	(0,1) (0, 1) (1,0)		1C
Например,			i	1 (0, 1)	(0,1) (0, 1) (1,0)		1C
Например,	x 0

	z	(4,3)

ЭКЗ-3 Найти (-3,4)-1 и вычислить		( 3,4) .

§3 Комплексная плоскость. Модуль и аргумент к.ч.

Определение 1.

Комплексной плоскостью “C” называется координатная плоскость с вещественной X=Re(z) и мнимой Y=Jm(z) осями. Каждому к. числу z=(x,y) поставим в соответствие на “C” точку M(x,y) и

	OM(x, y) C	координатами «x» и y».
её радиус-вектор r	OM(x, y) C	координатами «x» и y».
	Y=Jm(z)
		(2,3)
(-3,1)
		(2,0)
		x
	O	X=Re(z)

	y
	M(x,y)r	=OM(x,y)z=(x,y)
(0,-3)	OM(x,y)
(0,-3)

Рассмотрим множество к. чисел A={(x,0)} C с нулевой мнимой частью y=0: 1) Комплексные числа z=(x,0) A на к. плоскости изображаются точками

на числовой прямой X=Re(z).
2) Арифметические операции с числами z=(x,0) A					принадлежат множеству А:
	x1,x2: (x1,0) ± (x2,0) = ((x1 ± x2,0)		A	(x1,0) ∙ (x2,0) = ((x1 ∙ x2,0)		A
	(x1,0) : (x2,0) = ((x1 : x2,0)	A

Определение 2. (Аксиома а5).

Комплексное число z = (x,0) с нулевой мнимой частью отождествляют с

вещественным числом х и пишут (x,0) = х:
( x1		,0) ( x2 ,0) x1							x2
( x ,0)			( x			,0) x		x		2
	1		2			1				2
		,0) ( x2 ,0) x1					x2
( x1		,0) ( x2 ,0) x1					x2
	( x	,0)				x
	1					1
	2				2	0
	2	,0)			2
	( x	,0)		x

вещественных чисел R={(x,0)}						С отождествляют с			множеством
вещественных чисел R={(x,0)}			C.			С отождествляют с
	Множество комплексных чисел			{(x,0)}
Замечание. Точками числовой прямой – мнимой оси Y=JM(Z) изображаются к. числа вида (0,Y), но множество
B={(0,Y)}	C не замкнуто, например, относительно произведения:						(0, Y1)∙ (0, Y2) = (-Y1∙		Y2,0)	B.	называют
					мнимыми числами.						называют
Комплексные числа вида (0,y) называют								К. число (0,1)
мнимой единицей и обозначают i=(0,1). Из аксиом а1-а5 следует:
			i2 = i∙i = (-1,o)=-1; i3 = i2∙I = -i; i4 = 1

				i, m 1
					1, m 2
		k Z : i4k m			1, m 2
		k Z : i4k m					 i35 = i8∙4+3	= i3 = -i
				i, m 3			 i35 = i8∙4+3	= i3 = -i

				1, m 4
		(0, y) y (0,1)		i y

§4 Алгебраическая форма к. числа и операции с к. числами.

z=(x,y): (x,y) = (x,0) + (o,y) =x +iy

Равенство z=(x,y)=x +iy называется алгебраической формой записи к. числа.

Следствие.

Операции сложения, вычитания, умножения и возведения в степень выполняются по правилам действий с двучленами с учётом степеней мнимой единицы.

Известно:

Формулы сокращенного умножения:

(a+b)(a-b)=a2-b2; (a±b)2 = a2 – b2; (a±b)3 = a3±3a2b+3ab2 ± b3

Например

(-1+3i)(2-5i) = -2+5i+6i-15i2 = (-2+15) +i(5+6) =13 +11i=(13,11)

(1+2i)3 = 13 +3∙12∙2i +3∙1∙(2i)2+(2i)3 = (1 - 12) +i(6 – 8) = -11 – 2i = (-11,-2)

К. числа Z=(x,y) и Z* =(x,-y) называются комплексно-сопряжёнными, изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно оси X=Re(z) и

z + z* =2x=2Re(z); z - z* =2y=2Im(z); z ∙ z* = x2 + y2 ≥ 0;

Деление к. чисел в алгебраической форме сводится к умножению к.чисел предварительным умножением числителя и знаменателя дроби на к. число, сопряжённое знаменателю:

z 1 3i	( 1 3i)(2 5i)	1	( 1 3i)(2 5i)	1	(13 11i) RE( z)	13	; IM( z)	11
		22 52
2 5i	(2 5i)(2 5i)			29	29		29

§5 Модуль и аргумент к. числа. Тригонометрическая форма к. числа.

Введём на комплексной плоскости две системы координат: прямоугольную OXY: X=Re(z), Y=Jm(z) и полярную: полюс О и полярный луч ОХ. Каждому к. числу z=(x,y) поставим в

соответствие точку М(х,у) и её радиус-вектор

	r(x, y) OM(r, ) :


	OM	x 2	y 2 0,

r


			r SIN( )
x r COS( ); y			r SIN( )

Y=Jm(z)

y M(x,y)=M(r,φ)z=(x,y)

	r	φ	φ=arg(z)	; R=\|Z\|-

0		x		X=Re(z)
				X=Re(z)

Определения

Модулем |z|

к. числа z=(x,y) называется неотрицательное (вещественное !!) число

x2 y 2 0 ,

(1)

равное длине r =OM радиус-вектора точки M(x,y).

≠

SIN( )

|| z ||

Аргументом

к. числа z=(x,y)

называется любой угол φ=Arg(z):

COS( )

|| z ||

(2)

) называется главным значением аргумента,

Значение аргумента из интервала [0,2

обозначается φ

0 = arg(z)

[0,2 )

полярному углу точки

М(х,у)

на к. плоскости.

π и равно

Очевидно, что

, k

Arg(z) = arg(z)+2k

arccos(x/

), если у 0 z [I II четверть];

arg(z) [0;2π)

2π arccos(x/

), если у 0 z (III IV четверть) ;

/ 6 rad 30o

/ 4 rad 45o

/ 3 rad 60o

/ 2 rad 90o

ARCCOS( x / | z |)

x / | z |

COS(t)

3 / 2

2 / 2

1 / 2

SIN(t)

1 / 2

2 / 2

3 / 2

arccos( t) π arccos(t)

	Например (*):			√	π	√	π π/4=7 π/4 ≈ 5.498 рад
z1	√	√			2; arg(z1)=2 - arccos( 1/		π	2π/3	π π	;
	= 1- i → Re(z)=1; y=Jm(z)=-1<0; \|z\| =					2)= 2 -
z2	= -1+ i 3 → Re(z)=-1; y=Jm(z)=		3 >0;		\|z\| = 2; arg(z2)= arccos(-1/2)=		- arccos(1/2)=		- /3=2π/3;
					arg(z2)= arccos(-1/2)=2.094395=			рад = 1200

Следствие. ≠

Комплексное число z=(x,y)=x+iy 0 может быть записано в тригонометрической форме:

z x iy	(*)		\| z \| cos(Arg(z) i sin Arg(z) \| z \| cos(arg(z) i sin arg(z)
									(3)
	z 0
Из (1,2,3) и формул для cos(α± ) и sin(α±				) следуют	\|∙(		φ ∙	φ
Свойства операций с к.			β	β
		числами в тригонометрической форме z=\| z				cos(	)+i sin(	):
1) равенство: z1=z2  =\| z1\|=\| z2\| φ1= φ2+2kπ, k (модули равны, аргументы отличаются на 2Kπ);

2)при умножении/делении к. чисел их модули перемножаются / делятся,

ааргументы складываются / вычитаются:

				z=z1∙z2 =(\| z1\|∙\| z2\|) ∙(cos(φ1+ φ2)+i ∙sin(φ1+ φ2));																	(4)
				z=z1 z2 =(\| z1\| \| z2\|) ∙(cos(φ1- φ2)+i ∙sin(φ1- φ2));
3) при возведении к. числа в степень модуль к.ч. возводится в степень, а аргумент
умножается на показатель степени:											π	zn = \|z\|n ∙(cos(n∙ φ)+i ∙sin(n∙ φ))
3)						√					π					π
Для примера (*):			\|z1\| =				2; φ1=7 /4; \|z2\| = 2; φ1=2									/3;
						3)							7		7				2		2)
Z12 Z 23 (1 i)2 ( 1 i			3)3			[(			2	)2	(COS(		7	2) i SIN(	7		)] [23	(COS(	2	3) i SIN(2 )]
Z12 Z 23 (1 i)2 ( 1 i			3)3			[(			2	)2	(COS(			2) i SIN(			)] [23	(COS(		3) i SIN(2 )]
												4				2		3
(2 8) (COS(	7	2 ) i SIN(			11			)) 16(0 i) 16i
(2 8) (COS(		2 ) i SIN(						)) 16(0 i) 16i
2						2

Равенство к. чисел z=x+iy=|z|∙(cos(φ)+isin(φ))

x1		x2 ,
		y2
y1
z1=z2 \| z		\| \| z	2	\|,
	1
					2 2k , k Z

Arg( z1 ) 1

Следствие. Решение уравнения zn = a, n N.

zn = a  |z|ncos(nφ)+ |z|nsin(nφ) = |a|cos(φa )+ |a|sin(φa)∙I 

!| z

| n

!| z

| n

| a |

| a

| 0

| z |

SIN/ COS(t 2 ) SIN/ COS(t )

0,1,..., (n 1)

zn a z {z

2π

n | a | cos(

) i sin(

) , k 0,1,...,(n 1)}



уравнение zn a

в С имеет n

решений.

ЭКЗ-4: Найти и изобразить на к. плоскости решения уравнения z3=-8.

Найти решения уравнения x3=-8 x3+23=(x+2)(x2-2x+4)=0 во множестве R.

Соседние файлы в папке Множества и комплексные числа

#
28.05.2022237.88 Кб17 Основная теорема алгебры.pdf
#
28.05.2022331.76 Кб2Глава I-1.pdf
#
28.05.2022424.96 Кб1КЧ-2-3-4-5.pdf
#
28.05.2022222.51 Кб1КЧ-5.pdf