Второй семестр (вечерка) / Практика / 2. Элементарные функции и их свойста

6

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ из курса средней школы.

ЭКЗ+1: По графику y=f(x) «элементарной функции»:

(1) степенные: y=x², у= x³; y=1/x; y=√х; (2)показательная y=a^x(0<a<1; a>1); (3) логарифмическая y=ln(x); 4)тригонометрические: y=sin(x), cos(x), tg(x); 5) обратные тригонометрические: y=arcsin/arcos/atctg

указать и записать свойства функции: 1) D_f=?,E_f=?; особые свойства – чётность/нечётность?,периодичность? 2) точки разрыва и интервалы непрерывности; 3) корни и интервалы знакопостоянства: f(x)=0 ; f(x)>0; f(x)<0; 4) интервалы возрастания и убывания: f(x)↑; f(x)↓ ; 5) стационарные точки и точки локальных экстремумов: f’(x)=0; f(x_min); f(x_max); 6) точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости: f_ВЫП(x); f_ВОГН(x); f(x_ПЕР); 7) прямолинейные асимптоты на бесконечности: y_AC =kx+b , (x→∓∞).

[I] Степенная функция

Графики: y= x²ⁿ – «четная парабола»; || y= x^2n-1 – «нечетная парабола»;

: Свойства функции f(x):

1.: D_f=R ; E_f=[0;+∞); f(-x)=f(x)- чётная 1. D_f=R ; E_f=R; f(-x)= -f(x) - нечётная 2. f непр.на D_f ← т. р. не имеет→ 2. f непр.на D_f ; 3. ∃! X₀= 0: f(0) = 0 ∧ f(x≠0)>0; 3. ∃! X₀= 0: f(0)=0; f(x<0)<0; f(x>0)>0 4. f(x<0)↓ ; f(x>0)↑ ; 4. f(x≠0)↑ - монотонно возрастает; 5. ∃! X_CT=0: y_kac(0)=0 ∧ ∃!x_min=0: f_min=f(0)=0 5. ∃! x_СТ= 0: y_kac(0)=0 ∧ ∄ЛЭ; 6. ∄x_пер: f(x) вогн. 6. ∃! x_пер=0: f(x<0)- вып.; f(x>0)- вогн;

7. ∄ y_AC -----------------------------------------------------------------------------------

1. D_f = (-∞;0)U(0;+ ∞); E_f = R\{0}; f(-x) = -f(x)- нечётная 2. f непр.∀x∊ D_f ; x=0 – т.р. 2 рода:

A_ЛЕВ(0)= ; A_ПР(0)= 3. ∄x₀:f(x₀)=0 ∧ f(x<0) < 0 ∧ f(x>0)> 0;

4. f(x<0)↓ ∧ f(x>0)↓;

5. ∄x_CT ∧ ∄ ЛЭ ;

6. ∄x_пер: f(x<0) вып. ∧ f(x>0)>0 – вогн. 7. ∃y_AC=0 при х→∓∞

[II] Показательная функция

a<1; a=1

a>1; a=1

: Свойства функции f(x):

1.a>1: D_f=R ; E_f=(0;+∞); 1. a<1: D_f=R ; E_f=(0;+∞) 2. f непр.на D_f ; 2. f непр.на D_f ;

3. f(x)=0 ⇔∅ - корней не имеет 3. f(x)=0 ⇔∅ - корней не имеет

4. f(D_f)↑ - монотонно возрастает; 4. f(D_f)↓ - монотонно убывает ; 5. ∄x_CT ∧ ∄ ЛЭ ; 5. ∄x_CT ∧ ∄ ЛЭ ;

6. f(D_f) вогнутая. 6. f(D_f) вогнутая 7. ∃y_AC=0 при х→-∞ 7. ∃y_AC=0 при х→-∞

a=1: f(x)≡1

[III] Логарифмическая функция

Основное Логарифмическое Тождество (ОЛТ):

: Свойства функции f(x) = log_a(x) : 1. D_f = (0;+∞); E_f = R; 2. f непр. 3. ∃! X₀= 1: f(1) = 0

5. ∄x_CT ∧ ∄ ЛЭ ;

[III] Тригонометрические функции

;

g(x) ≡ 0

: Свойства функции f(x):

x∊[-𝛑/2;+ 𝛑/2] x∊[0;+ 𝛑]

1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

6. 6.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

: Свойства функции f(x):

x∊(-𝛑/2;+ 𝛑/2) x∊(0;+ 𝛑)

1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

6. 6.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[IV] Обратные тригонометрические функции

: Свойства функции f(x): 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

6. 6.

======================================================================

arctg: D_f= R

|| ctg(arcctg(x))=x

: Свойства функции f(x): 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

6. 6.

7. 7.