Второй семестр (вечерка) / Практика / 9. Правильная рациаональная дробь и полиномы

3

[I] Полином степени n: (0) (1)

Два полинома тождественно равны ( , если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Например,

(1) В С: - полином степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть равные (кратные).

(2) (2) представляется в виде произведения, в котором корню кратности r соответствует множитель (x-a)^r.

(3) Следствие. (Теорема Виета) (3)

 Целые корни полинома с целыми коэффициентами являются делителями коэффициента с_{0 («угадывание» целых корней полинома)}:

(4) В R: корни полинома с вещественными коэффициентами - либо вещественные числа , либо попарно-сопряженные комплексные корни:

(4)

В представлении (2)

- однократному вещественному корню соответствует множитель  (x-a);

- к-кратному вещественному корню множитель (x-b)^k ;

- паре комплексно сопряженных корней x_1,2=α ± j∙β кратности k ≥ 1 соответствует множитель – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом



[II] Рациональная дробь (РД)

• Правильная ПРД: n<m; неправильная НРД:

(5) Неправильная рациональная дробь делением полинома числителя на полином знаменателя («уголком») приводится к сумме полинома («частное») и соответствующей правильной рациональной дроби:

(5)



(6) ПРД представляется в виде суммы «простейших РД» вида

;

В разложении правильной рациональной дроби на простейшие - множителю (x-a) (однократному корню) знаменателя Q_m(x) соответствует слагаемое ;

- множителю(x-b)^r (r-кратному корню), r>1 знаменателя Q_m(x) соответствуют “r” слагаемых

;

- множителю (x²+px+q), D<0 знаменателя Q_m(x) соответствует слагаемое ;

- множителю (x²+px+q)^r , r>1, D<0 знаменателя Q_m(x) соответствуют “r” слагаемых

Алгоритм нахождения коэффициентов разложения ПРД на простейшие: (a) по знаменателю Q_m(x) ПРД записывается разложение на простейшие с неопределёнными коэффициентами А,B_k,M_k,N_k;

(b) сумма простейших приводится к общему знаменателю  ;

(c) коэффициенты разложения находятся из условия равенства коэффициентов полиномов P_n(x) и при одинаковых степенях “x^k”, k=0,1.2,…,n  решается СЛАУ (n+1 уравнений с n+1 неизвестными).





Замечание. Коэффициент А, соответствующий множителю (х-а), и коэффициент В_r , соответствующий множителю (х-b)^r знаменателя Q_m(x), можно вычислить до решения СЛАУ по формулам:

==========================================================================

Типовой расчёт ТР-2.3 по теме «Интегрирование рациональныхдробей».

Задание.

1. Выделить целую часть НРД, разложить на простейшие соответствующую ПРД, найти неопределённый интеграл

2. Разложить РД на простейшие и найти неопределённый интеграл

3. Разложить РД на простейшие, найти неопределённый интеграл и

вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: