002. ЛЕКЦИИ 1-6 (ОПУТ) (МТП) (курсант) / Лекции / лекция 2 / лекция 2

3. Модели и методы математического программирования в управлении морским транспортом

3.1. Основные понятия. Сущность моделирования

В общем виде экономико-математическое моделирование это описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей.

Экономико-математическая модель это математическое описание экономического процесса или объекта, произведенное в целях их исследования и управления ими, т.е. математическая запись решаемой экономической задачи.

Модель может быть представлена в виде набора графиков, таблиц или системы математических уравнений и неравенств, с помощью которых можно однозначно определить значения одних переменных по известным значениям других переменных.

Переменные модели (факторы) – это переменные величины, которые характеризуют структуру и состояние экономической системы.

Экзогенные (независимые) переменные – это переменные, значения которых формируются вне модели.

Эндогенные (зависимые) переменные – это переменные, значения которых формируются внутри модели, в зависимости от значений экзогенных переменных.

Параметры модели – числовые константы, которые участвуют в модели с целью обеспечения ее адекватности.

Моделирование сводится к тому, чтобы с помощью математических функций установить вид связи между эндогенными и экзогенными переменными системы

Y = f(x₁, x₂,…,x_k, a₁,a₂,…,a_n)

где Y – эндогенная переменная;

x_i – экзогенные переменные;

a_i – параметры модели

Модель, в конечном счете, – некоторая функциональная связь между независимыми и зависимыми переменными.

В области управления морским флотом часто возникают задачи оптимизационного типа, когда из многих вариантов возможного ис­пользования технических средств или других ресурсов желательно вы­брать наилучший. Такие задачи обычно выражают стремление достигнуть максимума или минимума некоторого показателя, характеризующего в качество выполняемой работы. Например, задача может выражать стремление достигнуть максимума провозной способности флота, ми­нимума себестоимости перевозок и т. д.

Предметом дисциплины ЭММ является моделирование процесса транспортировки грузов и пассажиров, работы отдельных элементов морского транспорта (флота, портов, СРЗ). Изучение транспортного процесса при этом базируется на методах прикладной математики – теории моделирования сложных систем и исследований операций.

Теоретической основой решения оптимизационных задач является - математическое программирование. Она изучает методы отыскания таких ко­личественных значений некоторых параметров (так называемых па­раметров управления), которые обеспечивают достижение оптимума выбранного показателя качества. Эти значения параметров управ­ления составляют оптимальный план.

Оптимизационная задача возникает из-за ограниченности ресурсов, так что оптимальный план разыскивается среди тех планов, которые не нарушают ограничений, наложенных на­личными ресурсами на параметры управления.

Рассмотрим, для примера, как оптимизационная задача возникает в процессе планирования работы флота.

Известно, что использование различных типов судов с разными технико-эксплуатационными и экономическими характеристиками на одних и тех же линиях дает различный экономический эффект. Раз­личные экономические результаты получаются и при работе одного и того же судна на разных линиях. Эффектив­ность работы флота в значительной степени обеспечивается правильной расстановкой судов по линиям и направлениям.

При расстановке судов зачастую исходят из наличия свободного тоннажа, редко обосновывая целесообразность, а тем более оптималь­ность того или иного решения. Составление плана расстановки флота по линиям - сложная и многогранная задача, где требуется, учитывая наличные (как правило, ограниченные) ресурсы тоннажа, используя определенные производственные возможности флота, портов и смеж­ных видов транспорта, применяя различные способы организации, построить план, обеспечивающий выполнение заданного объема пере­возок. Несмотря на наличие многих ограничивающих условий, почти всегда существует большое число допустимых вариантов решения данной задачи, т. е. различных возможных планов расстановки.

Есте­ственно, что конечная цель должна состоять не просто в построении какого-нибудь допустимого (т. е. совместного с ограничениями) плана, а в выборе из всех возможных вариантов оптимального плана, например плана, обеспечивающего максимум провозной способности или максимум доходов, минимум расходов или минимум времени на перевозку и т. д.

На рисунке 3.1 изображен общий вид структуры оптимизационной задачи.

Рис. 3.1 - Структура оптимизационной задачи

Известно, что во многих оптими­зационных задачах показатель качества, кото­рый также называют целевой функцией или критерием оптимально­сти, достаточно хорошо выражается линейной зависимостью от пара­метров управления. Кроме того, ограничения, наложенные запасами ресурсов, также выражаются линейными зависимостями от парамет­ров управления. Оптимизационная задача при таких линейных ус­ловиях называется задачей линейного программирования, а методы решения этой задачи составляют предмет математической дисциплины, которую называют линейным программированием.

Задачи линейного программирования подразделяются на общую задачу и специальные задачи, к которым относятся транспортная и распределительная задачи линейного программирования.

3.2. Этапы построения математических моделей. Прежде чем рассматривать на конкретных примерах, как возникает задача линейного программирования и как выглядит ее математиче­ская модель, важно предварительно получить представление об общем ходе рассуждений при постановке и решении задач математического программирования.

Этапы построения математических моделей.

Первый этап - выбор параметров управления. Задача ис­следователя состоит в том, чтобы выделить основные, определяющие факторы и второстепенные. Важно выбрать только те параметры, ко­торые существенны для конечной цели планирования, управления. Что касается прочих, малосущественных параметров, то достаточно иметь общее представление об их возможном влиянии.

Второй этап - выбор показателя качества (целевой функции). При выборе целевой функции следует исходить из конкретной обстанов­ки, в которой рассматривается данная задача. То, что выгодно опти­мизировать в одних условиях, может быть невыгодно в других. На­пример, обстановка может подсказать, что оптимизировать следует объем выполняемой работы (выпускаемой продукции, перевозок и др.). Но в других условиях мы можем стремиться минимизировать расход ре­сурсов (когда, например, они остро дефицитны) или времени, затрачи­ваемого на выполнение срочной работы, и т. д.

Первый и второй этапы не могут выполняться последовательно и в указанном порядке. Выбор параметров управления тесно связан с вы­бором показателя качества, оба эти этапа выполняются одновременно.

Третий этап - подготовка и обработка исходной информации.

Четвертый этап - выбор метода для решения задачи ма­тематического программирования.

Пятый этап - анализ полученных результатов и со­ставление рабочей программы. Этот этап наступает после того, как задача уже решена тем или иным методом и оптимальный план получен. Но следует иметь в виду, что оптимальный план не всегда может быть реализован на практике. Для практического использования в него ча­сто необходимо вносить поправки: во-первых, надо в какой-то мере учесть ограничения, которые по тем или иным мотивам не были вве­дены в математическую модель. Затем может оказаться, что оптималь­ный план привел к большому дроблению ресурсов по отдельным звень­ям производственного или транспортного процесса.

Могут возникнуть и другие, специфические для данной задачи тре­бования, которым полученный оптимальный план не удовлетворяет. Все это приводит к необходимости подвергнуть оптимальный план некоторому анализу. В результате обнаруживается необходимость внести поправки, после учета, которых возникает рабочая программа; ее можно рекомендовать к реализации.