002. ЛЕКЦИИ 1-6 (ОПУТ) (МТП) (курсант) / Практические занятия / 1 практическая / Практическая 1

Лабораторная работа № 1

«Построение линейной оптимизационной модели управления морским транспортом»

Цель работы:

Настоящая лабораторная работа ставит своей целью закрепить знания курсантов, полученные при изучении оптимизационных математических моделей теоретических основ моделирования транспортных процессов.

Методические рекомендации:

Построение математической модели задачи линейного программирования выполняется в три этапа.

Первый этап - выбор параметров управления. Основная задача - выделить основные, определяющие факторы и второстепенные. Важно выбрать только те параметры, ко­торые существенны для конечной цели планирования, управления.

Второй этап - выбор показателя качества (целевой функции). При выборе следует исходить из конкретной постановки задачи и цели, которую преследует исследователь при построении решении задач оптимизации.

Третий этап - построение математической модели задачи, подготовка и обработка исходной информации. В модель включается целевая функция и ограничения, вытекающие из условий задачи.

Рассмотрим процесс построения моделей задач линейного программирования на примерах функционирования экономических объектов.

Пример 1. Задача планирования производства (задача об использовании ресурсов).

Известно, что на заводе производят два вида краски I и II для судоремонтных работ. Стоимость краски I-го вида 10000 рублей за тонну, II-го вида – 15000 рублей за тонну. Для производства красок используют три вида сырья: А, Б и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 4, 5 и 6 тонн соответственно. Расходы сырья на производство 1 тонны красок приведены в таблице 1.1. Какое количество краски каждого вида необходимо производить заводу, чтобы доход от ее реализации был максимальным? Построить экономико-математическую модель.

Таблица 1.1.

Исходные данные задачи

Сырье	Расходы сырья на 1 тонну краски, тонн		Запас сырья, тонн
	I вид краски	II вид краски
А	0,7	1,2	4
Б	0,9	1,4	5
В	0,4	0,8	6

Решение:

1. Определим переменные задачи, т.е. осуществим выбор параметров управления.

В данной задаче необходимо установить, сколько краски каждого вида надо производить, поэтому переменными являются суточные объемы производства каждого вида красок:

- суточный объем производства краски I вида (тонн/сутки);

- суточный объем производства краски II вида (тонн/сутки).

2. Определим целевую функцию.

Критерием оптимальности для задачи служит суточный доход, который должен стремиться к максимуму.

Для того, что бы определить величину суточного дохода от продажи обоих видов красок, необходимо знать объемы производства красок, которые заданы как и и стоимость реализации которая дана по условию.

Тогда целевая функция примет вид:

(руб./сут.)

3. Построение математической модели задачи. В модель включается целевая функция и ограничения, вытекающие из условий задачи.

Объемы производства красок и ограничиваются следующими условиями:

1. Количество сырья А, Б и В, израсходованного в течение суток на производство красок, не может превышать суточного запаса этих ресурсов на складе:

При этом следует проверять размерность параметров левой и правой части каждого из ограничений, так как их несовпадение свидетельствует об ошибке при составлении ограничений.

2. Объем производства красок не может быть выражен отрицательными значениями:

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

Пример 2. Транспортная задача.

Из портов отправления А₁, A₂, А₃, A₄ перевозят к портам назначения В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ уголь. Запасы в портах отправления и потребности в портах назначения, а также тарифы перевозок представлены в таблице 1.2. Составить оптимальный план перевозок данного груза с минимальными транспортными затратами при условиях, что весь груз вывезен и потребности в портах назначения удовлетворены.

Таблица 1.2

Условия задачи

Порты назначения Порты отправления	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы
А1	50	40	15	20	35	350
A2	40	15	25	30	10	450
А3	30	20	10	15	40	500
A4	50	30	35	10	15	250
Потребности	250	300	100	400	500

Решение:

1. Обозначим - количество угля, перевозимого из i-го (i=1,2,3,4) порта отправления в j-ый (j=1,2,3,4,5) порт назначения (тонн).

Для уточнения формы ограничений модели необходимо проверить балансовое равенство:

Если данное равенство выполняется, то транспортная задача является закрытой, если нет – то открытой. Модель составляется к закрытой транспортной задаче.

Проверим балансовое равенство задачи:

Сумма запасов совпадает с суммой потребностей, имеем закрытую транспортную задачу.

2. Определим целевую функцию.

Цель задачи – минимизация транспортных затрат на перевозку.

Целевая функция имеет вид:

3. Количество угля, перевозимого из портов отправления в порты назначения должно удовлетворять следующим условиям:

1. необходимо вывести весь уголь из портов отправления

2. удовлетворить потребности портов назначения

3. количество угля не может быть отрицательным

(i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5)

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид: