Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
128
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
42.84 Кб
Скачать

Лекция 3 Исчисление высказываний

При описании алгебры высказываний, использовались логическими значениями высказываний (истина, ложь). Но понятия истинности и ложности не математические. Эти понятия во многих случаях субъективны и скорее относятся к философии.

В связи с этим желательно построить математическую логику, не пользуясь понятиями истинности и ложности. Необходимо также при этом построении не применять самих законов логики.

Определение 3.1. Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.

Понятие формулы исчисления высказываний

Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.

Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий:

1) символы первой категории: х, у, ..., x1, x2, .... Эти символы будем называть переменными высказываниями;

2) символы второй категории: , Ù, , ¬. Они носят общее название логических связок;

3) третью категорию составляет пара символов ( ), называемая скобками.

Других символов исчисление высказывания не имеет. Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний. Для обозначения формул будем пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.

Определение 3.2. Определение формулы исчисления высказываний.

1. Всякая переменная х, у, z, ... является формулой.

2. Если А и В – формулы, то слова (АÙВ), (AВ), (АВ), ¬А – также формулы.

3. Никакая другая строчка символов не является формулой.

Переменные высказывания будем называть элементарными формулами.

Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.

Определение 3.3.

  1. Подформулой элементарной формулы является только она сама.

  2. Если формула имеет вид А, то ее подформулами являются: она сама, формула А и все подформулы формулы А.

  3. Если формула имеет вид (А*В) (здесь и в дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех символов Ú, Ù, ), то ее подформулами являются: она сама, формулы А и В и все подформулы формул А и В.

Введем в запись формул некоторые упрощения. Будем опускать в записи формул скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.

Определение доказуемой формулы

Следующим этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых формул.

Определение доказуемых формул имеет тот же характер, что и определение формулы.

Сначала определяются исходные доказуемые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.

Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода, называется выводом данной формулы из аксиом.

Система аксиом исчисления высказываний.

Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом, которые делятся на четыре группы.

I1 х→(yх);

I2 (х→(yz))→((хy)→(хz));

II1 х Ù yx;

II2 х Ù yy;

II3 (zx)→((zy)→(zxÙy));

III1 ххy;

III2 yxy;

III3 (xz)→((yz)→(xy→z));

VI1 ;

VI2 ;

VI3 .

Соседние файлы в папке Мат. логика все лекции