В.1.Предел и непрерывность функции одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Пусть функция задана на множестве X за исключением б.м. точки . Возьмем на множестве X последовательность точек, отличных от . (1). Значения функций в этих точках также образуют посл-ть: (2)

Опр.1: Число A называется пределом функции в точке если для любой посл-ти точек (1) из X, отличных от и сходящихся к , посл-ть соот-их значений функции (2) сх-ся к числу A. .

Опр.1.1: Число A называется пределом функции в точке , если для любого существует из нер-ва

из

Опр.2.:Функция называется непрерывной в точке ,если выполняется тождество

Рассмотрим последовательномть точек . Обозначается .

Пусть функция определена на некотором множестве и точка или , но обладает тем свойством, что в окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от .

Опр.3.:Число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек соответствующая последовательность значений функции сх-ся к A.

Опр.4.: Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке сущ-ет и равен значению функции в этой точке, т.е. или .

Свойства функций непрерывных на отрезке.

1)Т. Больцано – Коши. Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Причем на концах отрезка она имеет значения разных знаков. Тогда на существует по крайней мере одна точка .

2) 2-я Т. Больцано – Коши. Пусть на определена непрерывная функция , принимающая на концах отрезка различные значения тогда какое бы число C находящееся между A и B мы ни взяли, на найдется такое число c, что .

3) Т. Вейерштрасса. Если функция непрерывна на , то она ограничена на , т.е. существует и .

4) 2-я Т. Вейерштрасса. Пусть функция непрерывна на . Тогда среди всех значений есть наибольшее и наименьшее значение.

Замечательные пределы:

В.2. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

Пусть функция определена в промежутке X. Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение , не выводящее его из промежутка X, так что и новое значение . Тогда заменится новым значением , т.е. .

Опр.: Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной , при стремлении к 0,т.е. , то он называется производной функции по независимой переменной x при данном её значении (или в данной точке) .

Пусть имеем функцию , определённую на X и непр. в точке . Тогда приращению аргумента отвечает приращение , беск. малое вместе с . При А=0 наличие равенства (1) показывает, что беск. малая (линейная относительно беск. малая, ) эквивалентна беск.малой и значит служит для последней её главной частью, если за основную беск.малую взять .

Опр.: Дифференциалом функции в точке называется главная линейная относительно часть приращения функции в этой точке: .

Формула Лейбница для n-ой производной произведения 2-х функций:

…

Для n-го дифференциала функции справедлива формула .

Утверждение: Для того чтобы функция в точке была дифференцируема , Н. и Д., чтобы для неё в этой точке существовала конечная производная . При выполнении этого условия равенство (1) имеет место при значении постоянной A, равной именно этой производной: