Савчук підручник

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Для знаходження невідомих s, A1, A2 використовують отримані вище формули для прямої геодезичної задачі. При цьому для

	обчислення A , A достатньо знайти															A				1		(A A								180o )
																			2
	1	2														m								1				2
	та a A 180o A . Тоді отримаємо
	2	1
		A A						1					a
		1			m		2
										1
		A A											a 180o
		2			m		2
	Для знаходження Am представимо формули (3.60) та
	(3.61) у виді
	scos A	Q bM			1				l2 sin2							Bm					l2
	m				m		24												12
																															(3.64)
																													.
	ssin A	P lN			cosB						1				l	2 sin2			Bm								b2
			m
	m						m
																24											24
	Розділивши ці два рівняння, отримаємо
				tgA							P			.																	(3.65)
					m						Q
	Величину a знаходимо на основі формули (3.62)
	a lsin B				1		l2 sin2									Bm			b2							l2		.			(3.66)
				m			24												12					12

Довжину геодезичної лінії sлегко знаходимо із рівнянь

(3.64)

132

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

s Qcos A	Psin A		Q2 P2 .		(3.67)
m	m

3.6.2. Розв’язування прямої геодезичної задачі методом допоміжної точки (формули Шрейбера).

Нехай на рис.3.8 PQ1Q2 – сфероїдний полярний трикутник, який потрібно розвязати за такими даними: широтою B1 і довготою L1, довжиною s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q1 i Q2, а також азимутом A1 цієї лінії в точці Q1 (прямий азимут).

а) б)

P

C

y

2

l

C(B0=B1+b) 900

(d)

b(x)

A1

1(B1)

Розділимо

xs

1

y 900-a

2(B2=B0-d) A2

s

Рис. 3.8

трикутник PQ1Q2 (рис.3.8.а) на два

сфероїдних прямокутних трикутника геодезичною лінією Q2С, яка перпендикулярна меридіану PQ1 початкової точки. Широту

133

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

точки С позначимо через Bo B1 b, а різницю широт

Bo B2 - через d.

Вивід формул Шрейбера буде складатись із наступних

етапів.

Із прямокутного сфероїдного трикутника Q1С Q2 за даними A1 і s визначають катети x і y, використовуючи теорему Лежандра та сферичний надлишок цього трикутника. На рис. 3.8.б представлений трикутник Q1’Q2’C’, який відповідає сфероїдному трикутнику Q1 С Q2.

Застосовуючи формули розкладу в ряд (3.32) можна розв’язати пряму геодезичну задачу для точок Q1 і С. Поскільки для цієї пари точок A1=0 і s=x, то все зводиться тільки до визначення різниці широт b.

За тими ж формулами розв’язують пряму геодезичну задачу з точки С , широта якої Bo B1 b тепер вже відома, на

точку Q2 , тобто при азимуті A1=90o та відстані s=y.

Отже, замість прямого застосування рядів (3.32) до точок Q1 і Q2 їх застосовують послідовно до точок Q1 і С , а потім до точок С і Q2, тобто у випадках, коли A=0o і A=90o.

В результаті	отримаємо:		B2 B1	b d	та
L2 L1 l.
Сума всіх кутів навколо точки Q2 дасть
A2 90o	A1	90o	a 360o ,
звідки
A2	A1	180 a .			(3.68)

Розглянемо детальніше вивід основних формул. Із плоского трикутника Q1’С’Q2’, використовуючи теорему Лежандра, за формулою синусів отримаємо

134

	Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач
	cos(A	2	)			sin(A	)
x s	1	3		;	y s	1	3	,
	cos					cos			(3.69)
	3					3

де сферичний надлишок може бути достатньо точно обчислений за формулою

P

1

1

xy

s2 cos A sin A

xycos

1 1

. (3.70)

R2

2

3 MN

2MN

2MN

Для визначення широти Bo, використаємо першу формулу системи (3.32), в якій при підстановці похідних (до

третього порядку) врахуємо, що A 0o ,s x:

1

B

B b B

x

3

x2

2tgB

1 x3

2 (1 tg2B ).(3.71)

M

2 M

o

1

1

1

2 M

N

1

1

N 2 1

1

1

1

1

1

Аналогічно поступають і при визначенні широти B2,

тільки в цьому випадку вже A

90o

,s y:

o

B2

Bo

1

y2

tgBo .

(3.72)

2 Mo No

Застосуємо тепер другу і третю формули системи (3.32) для визначення приростів довготи l та азимута a відповідно. При

цьому враховуємо, що Ao 90o ,s y:

135

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

l

y

1

y3

tg2 Bo ,

No

cosBo

No

3

3 cosBo

(3.73)

y

1

y3

a

tgB

tgB

(1 2tg2 B

2 ).

No

o

6 No

3

o

o

o

Відповідно

L2	L1	l,
A		(3.74)
	A 180o a .
2	1

3.6.3. Розв’язування головних геодезичних задач методом переходу на поверхню сфери (формули Бесселя).

Воснові способа Бесселя лежать умови:

1)геодезична лінія sміж точками Q1 і Q2 еліпсоїда (рис.3.9.а) зображується на сфері дугою великого кола між точками

Q1' і Q2' (рис.3.9.б);

2)у відповідних точках геодезичної лінії і дуги великого кола азимути рівні;

	Еліпсоїд	P	Сфера
		l
		dl	0u
			-	2
			0
			9

P

				-	u	1
	0	9	0

ds A1 m 1(B1,L2)

n

s

A2

2(B2 ,L2)

A1 md n

1

A2

2

а) б)

Рис. 3.9

136

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

3) широта будь-якої точки на сфері рівна приведеній широті відповідної точки на еліпсоїді, тобто сторони сферичного трикутника Q1' P' і Q2' P' відповідно рівні доповненням

до 900 приведених широт точок Q1 і Q2 на еліпсоїді.

Цими умовами забезпечується вище поставлена вимога однозначної відповідності між геодезичною лінією на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Така відповідність називається ще бесселевим зображенням.

Залишається встановити зв’язки між різницею довгот l L2 L1 точок на еліпсоїді і аналогічною величиною - на

сфері; довжиною геодезичної лінії s на еліпсоїді і дугою великого кола на сфері. Хід отримання математичних формул цих зв’язків:

1.Вивід диференційних рівнянь, що встановлюють зв’язки між l і , s і .

2.Інтегрування отриманих диференційних рівнянь.

При наявності всіх необхідних зв’язків між відповідними величинами на еліпсоїді і сфері головні геодезичні задачі способом Бесселя розв’язуються за наступним планом:

а) перехід від елементів сфероїдного трикутника Q1PQ2 до елементів сферичного трикутника Q1' P'Q2' (рис. 3.9 а) і б));

б) розв’язування геодезичних задач (прямої чи оберненої) на сфері; с) перехід від обчислених елементів сферичного трикутника,

стосовно розв'язування прямої чи оберненої задачі, до відповідних елементів на еліпсоїді.

Вивід диференційних рівнянь Бесселя

Позначимо (рис. 3.9 ):

ds - нескінченно малий елемент mn геодезичної лінії sна еліпсоїді, якому відповідає елемент d m' n' в бесселевому зображенні на сфері; - азимут елемента ds ;

B і u - геодезична і приведена широти точки m; du і dl - різниці широт і довгот точок m і n; d - різниця довгот точок m' і n' на сфері.

137

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

З цими позначеннями, прийнявши радіус одиницю, матимемо

du d cos MdB dscos ,

d cosu d sin N cosBdl dssin ,

звідки отримуємо

сфери за

(3.75)

(3.76)

	du	M			d	,		(3.77)
					ds
	dB
N cosB dl						ds	.	(3.78)
cosu d
						d

На основі (2.19)

	sinu			1 e2		sinB		,
		1 e2			sin2 B

отримаємо

					cosB								e2 sin2 BcosB
cosudu	1 e	2
																				dB. (3.79)
										1								3
				(1	e	2	sin	2	B)				(1 e	2	sin	2	B)
										2								2
Із (2.17) отримаємо

cosB						1	e2
	V	1 e2
										.	(3.80)
cosu
				1 e			2 cos2 u

138

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

На основі (3.79) з врахуванням (3.80), а також помноживши чисельник і знаменник в (3.79) на a, отримуємо

du		M	1				.	(3.81)
dB		a
				1 e2 cos2 u

Вираз (3.81) з врахуванням (3.77) буде

M	1				M	d	,
a						ds
		1 e2 cos2 u

звідки

ds a	1 e2 cos2 ud .		(3.82)

На основі (3.78) і (3.82)

N cosBdl acosu1 e2 cos2 u d ,

а, враховуючи, що acosu r N cosB , отримуємо

dl	1 e2 cos2 u d		(3.83)

Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя

Інтегруючи диференційні рівняння (3.82) і (3.83) уздовж дуги великого кола між її точками Q1 і Q2 , отримуємо

Q2
s a	1 e2 cos2 u d ,		(3.84)
Q1

139

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

	Q2
l L2	L1	1 e2 cos2 u d ,		(3.85)
	Q1

- еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, поскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.

Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки, доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди, що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.

Почнемо з інтегралу (3.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент - приведену широту – через змінну .

Звернемось до рис.3.10, на якому із точки P' проведено дугу великого кола перпендикулярно до продовження дуги

Q1'Q2 '.

Утворився прямокутний трикутник P'Q1'Q3 ', катети якого P'Q3 ' k і Q1'Q3 ' 90o M знайдуться за формулами

sinm sin A1 cosu1,				(3.86)
tgM		tgu1	.	(3.87)
		cos A
	1
Із прямокутного трикутника Q2 'P'Q3 ', розглядаючи
точку Q2 ' як точку на дузі	великого кола			Q1'Q3 ', тобто з
широтою u, запишемо
sinu cosmsin(M ),				(3.88)
звідки

140

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач
cos2 u 1 cos2 msin2 (M ).	(3.89)

P

m

A2

A1

900-(M+ )

90 -M

Рис. 3.10

Тепер перетворимо рівняння (3.84)

Q2

2 e2 cos2

msin2 (M ) d

s a 1 e

Q1

Q

e

2

a 1 e2 2

1

cos2 msin2 (M ) d .

1 e

2

Q1

e2

Враховуємо, що

e'2 , a 1 e2 b, де b мала

e2

1

піввісь еліпсоїда; тоді

Q

s b 2

1 e'2 cos2

msin2(M ) d .

Q1

141