DiffEq

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

11

2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

2.1. Основные сведения

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F ( x, y, y′, y′′) = 0 , где y = y( x) – неизвестная функция, которую надо найти. Общее решение такого ДУ зависит от двух произвольных констант С1 и С2, значения которых можно найти, если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке:

y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y1 ,		получится частное решение.				Дифференциальное уравнение вида
y′′ = f ( x, y, y′) , где	f	– известная функция	трех			переменных, вместе с начальными
условиями называется задачей Коши.
Теорема Коши. Если в некоторой (трехмерной)					окрестности3 точки M 0 ( x0 ; y0 ; y1)
функция f ( x, y, y′)	и её частные производные		∂f	и		∂f		непрерывны, то найдется такая
						∂y′
			∂y

(одномерная) окрестность точки x0 , в которой решение задачи Коши y′ = f ( x, y, y′) , y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y1 , существует и единственно.

Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F ( x, y, y′, y′′, ..., y(n ) ) = 0 , где y = y( x) – неизвестная функция. Общее решение такого ДУ зависит от п произвольных констант C1, C2 , ..., Cn , значения которых можно найти, если заданы начальные условия:

значение искомой функции и её производных порядка от 1 до (n − 1) включительно в некоторой точке: y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y1, ..., y(n −1) ( x0 ) = yn −1 , получится частное решение.

2.2. Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков.

1) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид y( n) = f ( x) , где f ( x) – известная функция. Решение такого дифференциального уравнения находится п- кратным последовательным интегрированием функции f ( x) , при каждом интегрировании возникает аддитивная постоянная.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′ = sin 2 x . Решение. Последовательно находим:

y′′ = ∫ y′′′( x)dx = ∫sin 2 xdx = − 12 cos 2 x + C1 ,

y′ = ∫ y′′( x)dx = ∫(− 12 cos 2 x + C1 )dx = − 14 sin 2 x + C1x + C2 ,

y = ∫ y′( x)dx = ∫(− 14 sin 2 x + C1x + C2 ) = 18 cos 2 x + 12 C1x2 + C2 x + C3

Общее решение содержит три произвольные константы ( C1 = 12 C1 ): y = 18 cos 2 x + C1x2 + C2 x + C3 .

Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые с помощью подходящей замены сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка.

3 Окрестность точки M 0 в пространстве – это внутренность шара или куба с центром в данной точке M 0 .

	С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения			12
2) ДУ второго	порядка	F ( x, y, y′, y′′) = 0	не содержит явно у,	т.е. имеет вид
F ( x, y′, y′′) = 0 .	Метод	решения: ввести	новую переменную	p = p( x) , тогда

y′′ = d 2 y dx2

которое,

=	d ( y′)	=	dp	= p′ .	Получится ДУ первого порядка F ( x, p, p′ ) = 0 , решив
	dx		dx	x		x
находим функцию					′	(зависящую от константы С1), затем с помощью
					p( x) = yx

интегрирования находим y( x) = ∫ p( x)dx (при этом появится вторая константа С2).

Пример 4: Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′sin x − y′ cos x = cos 2 x − cos 4 x .

Решение: Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно у,

положим p = p( x) ,

тогда

y′′ = p′ ,

получится

линейное ДУ первого порядка относительно неизвестной

x

функции p( x) :

p′sin x − p cos x = cos 2 x − cos 4 x p′ = p ctg x + 2 sin 3x

(поскольку cos 2 x − cos 4 x ≡ 2 sin x sin 3x ≡ 2 sin2 x (3 − 4 sin2 x) ≡ 2 sin2 x (1 + 2 cos 2 x) .

Здесь A( x) = ctg x, B( x) = 2 sin 3x .

Решая это ДУ, находим:

p = u( x) v( x) , u( x) = e

∫ A( x ) dx

= e

∫ctg x dx

= e

ln(sin x )

= sin x ,

v( x) =

B( x)

dx =

2 sin 3x dx = 2 (1 + 2 cos 2 x) dx = 2 x + 2 sin 2 x + C

,

∫ u( x)

∫

sin x

∫

1

y′ = p = sin x(2 x + 2 sin 2 x + C1) = 2 x sin x + 2 sin x sin 2 x + C1 sin x .

Теперь находим и саму функцию

y( x) = ∫ y′dx = ∫(2 x sin x + cos x − cos 3x + C1 sin x ) =

= −2 x cos x + 2 sin x + sin x − 13 sin 3x − C1 cos x + C2 Ответ: y = −2 x cos x + 3sin x + 13 sin 3x − C1 cos x + C2 .

3) ДУ второго порядка F ( x, y, y′, y′′) = 0 не содержит явно х, т.е. F ( y, y′, y′′) = 0 . Метод решения: ввести новую переменную p =

производной сложной функции, y′′ =		d ( y′)	=	dp	=	dp		dy	= p′	p .
		dx		dx		dy		dx	y
порядка F ( y, p, p′	p) = 0 , решив которое, находим функцию									p(
y

имеет вид

p( y) , тогда, по формуле

Получится ДУ первого

y) = y′	=	dy	(она будет
x		dx

содержать также произвольную константу С1). Последнее уравнение есть ДУ первого

	порядка с разделяющимися переменными, интегрируя его dx =	dy	∫dx = ∫	dy	,
		p( y)		p( y)

получаем искомое решение (в неявной форме) содержащее вторую произвольную константу.

Замечание. Если заданы начальные условия и не требуется получить общее решение (а только частное), то значения каждой константы следует находить сразу после её появления подстановкой начальных условий.

Пример 5: Найти частное решение для ДУ второго порядка y y′′ = ( y′)2 − y 2

с начальными условиями: y(0) = 1, y(0) = −2 .

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

13

Решение. Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно х, положим y′ = p( y) ,

тогда y′′ =

p′

p . Получим дифференциальное уравнение первого порядка с однородной

y

правой частью (которое одновременно является и ДУ типа Бернулли с параметром

α = −1 ) относительно неизвестной функции p( y) :

ypp′ = p2

− y2

p′

=

p

−

y

.

(3)

y

y

y

p

Первый способ. Решим уравнение (3) как ДУ с однородной правой частью: Положим

u =

p

p = y u p′

= u + y u′ .

y

y

y

Подставив это в уравнение (3) получим ДУ с разделяющимися переменными:

u + y u′

= u − 1

y du

= − 1

u du = −

dy

.

y

u

dy

u

∫

∫

y

Интегрируя, получаем

p

1

u2 = C − ln

y

= u = ± 2C − 2 ln

y

y′ = p = ± y 2C − 2 ln

y

.

2

1

y

1

1

Подставив в последнее равенство начальные условия y(0) = 1, y(0) = −2 , определим

нужный знак и значение константы С1: −2 = ±1

2C1 − 0 C1 = 2 , перед корнем должен

стоять знак «минус», и тогда

dy

= y′

= − y 4 − 2 ln

y

.

dx

Последнее уравнение есть ДУ с разделяющимися переменными, решим его:

∫

dy

= −∫dx . В левом интеграле сделаем замену t = 4 − 2 ln

y

dt = −2

dy

,

y

y

4 − 2 ln

y

получим

4 − 2 ln

y

= x + C2 , подставим сюда начальное условие x = 0, y = 1 , получим,

4 − 0 = 0 + C2 C2 = 2 , следовательно, частное решение (в неявной форме) имеет вид:

= x + 2 , откуда 4 − 2 ln

= ( x + 2)2 ln

= 2 −

1

( x + 2)2 y = ±e2−

1

( x + 2)2 .

4 − 2 ln

y

y

y

2

2

Подставляя сюда еще раз начальное условие выбираем знак «плюс».

Ответ: y = e

2−

1

( x + 2)2

2

.

Второй способ. Решим ДУ p′

=

p

−

y

как ДУ типа Бернулли с параметромα = −1 .

y

y

p

Умножим обе части этого ДУ на множитель (1 − α ) p−α = 2 p и положим z = p1−α = p2 .

Тогда z′ = 2 pp′ . Получим 2 pp′ =

1

2 p2 − 2 y z′ =

2

z − 2 y . Решим это линейное ДУ:

y

y

y

y

y

y

∫

2

dy

2 ln( y )

2

, v( y) = ∫

−2 y

z = u( y) v( y) , u( y) = e

y

= e

= y

dy = −2 ln

y

+ C1 , поэтому

y2

p2 = z = u v = y 2 (C − 2 ln

) y′

y

= p = ± C − 2 ln

y

) .

1

x

1

Далее решение такое же, что и первым способом.

4) Порядок ДУ можно понизить, используя формулы

( y y′)′ = ( y′)2 + y y′′, ( yn y′)′ = nyn −1( y′)2 + yn y′′,

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

14

y′ ′

y′′y − ( y′)2

(

′)′

′

′

′′

=

y2

,

g( x)

y

= g ( x)

y

+ g( x)

y , и.т.д.

y

Тогда, если в ДУ удалось представить левую и правую части в виде полных производных (по x) выражений F ( x, y, y′) и G( x, y, y′) , т.е. в виде

dxd F ( x, y, y′) = dxd G( x, y, y′) , то тогда F ( x, y, y′) = G( x, y, y′) + C1 .

Пример 6: Найти общее решение ДУ второго порядка y′′y = ( y′)2 + y 2 sin x . Решение. Это ДУ второго порядка содержит явно и х, и у, и y′ и y′′ . Перепишем его в

виде

y′′y − ( y′)2

= sin x

и заметим что левая часть есть производная (по х) дроби

y′

, т.е.

y

2

y

y′ ′

y′

1

dy

данное ДУ имеет вид

= sin x . Следовательно,

=

= sin x = C − cos x ,

откуда

y

y

y

dx

∫

1

∫ dyy = ∫(C1 − cos x)dx ln y = C1x − sin x + ln C2 y = C2eC1x −sin x .

Ответ: y = C2eC1x −sin x .

2.3.Задачи для самостоятельного решения .

1.Найти общее решение дифференциальных уравнений:

(а) y IV =	1		yy′′ + ( y′)3 = ( y′)2 ; (в)		y′
		; (б)		xy′′ = y′ ln		; (г)	xy′′ + y′ = x + 1;
	x2
					x

(д) yy′′ + ( y′)2 = x .

2.Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

(а) (1 + x2 ) y′′ + ( y′)2 + 1 = 0 , y(0) = y′(0) = 1 ; (б) y′′ = e2 y , y(1) = 0, y′(1) = 1 ; (в) 2 yy′′ + y 2 = ( y′)2 , y(2) = y′(2) = 1 .

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

3.1. Основные сведения

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка имеет вид a( x) y′′ + b( x) y′ + c( x) y = f ( x) ,

где a( x) 0. Если f ( x) ≡ 0 , это ЛДУ называется однородным, а если f ( x) T 0 , то оно

называется неоднородным. Общее решение однородного ЛДУ (ОЛДУ) второго порядка a( x) y′′ + b( x) y′ + c( x) y = 0

имеет вид

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

15

yоо = C1ϕ1( x) + C2ϕ2 ( x) ,

где ϕ ( x) , ϕ		2	( x) – два линейно независимых4 частных решения этого уравнения,
1
образующее его фундаментальную систему решений (ФСР). Общее решение
неоднородного ЛДУ
	a( x) y′′ + b( x) y′ + c( x) y = f ( x)
имеет вид	yон = yoo + yчн ., где
yон – общее решение неоднородного ЛДУ,				yчн – какое-то частное решение
неоднородного ЛДУ yoo – общее решение соответствующего однородного ЛДУ.
			3.1. Построение общего решения ОЛДУ второго порядка
			с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
			ay′′ + by′ + cy = 0, (a ≠ 0) ,	(4)

aλ 2 + bλ + c = 0 – соответствующее характеристическое уравнение, имеющее вещественные или комплексные корни λ1, λ2 . Тогда общее решения ОЛДУ (4) имеет

следующий вид (в зависимости от знака дискриминанта D = b2 − 4ac ): (а) если D > 0 и λ1, λ2 – различные вещественные корни, то

yоо = C1eλ1x + C2eλ2 x ; (б) если D = 0 и λ1 = λ2 = α R , то

yоо = C1eα x + C2 xeα x ;

(в) если D < 0 и корни λ1, 2 = α ± iβ – комплексные, причем, α R, β R + , i – мнимая

единица ( i2 = −1 ), то

yоо = C1eα x cos β x + C2 xeα x sin β x .

Пример 7. Найти общее решение ОЛДУ:

(а) 2 y′′ − y′ − 3 y = 0 ; (б) y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 ; (в) y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 .

Решение. Составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим корни.

(а) 2λ 2 − λ − 3 = 0 , λ = −1, λ = 3							y			= C e− x + C			e	3	x
					2				oo					2		;
		1	2							1		2
(б) λ 2 − 6λ + 9 = 0, λ = λ = 3 y						oo		= C e3x + C			2	xe3x ;
		1	2						1
(в) λ 2 + 2λ + 5 = 0,		λ = −1 ± 2i y					oo	= C e− x cos 2 x + C							e− x sin 2 x .
									1				2
4 функции y ( x), ..., y	n	( x) называются линейно зависимыми на промежутке (α ; β ) , если тождественное
1

равенство λ1 y1( x) + ... + λ1 y1( x) ≡ 0 на (α ; β ) выполняется при некоторых λ1, ..., λn , не равных одновременно нулю. В противном случае, т.е. если тождественное равенство λ1 y1( x) + ... + λ1 y1( x) ≡ 0 на

(α ; β ) возможно только при λ1 = ... = λn = 0 , функции y1( x), ..., yn ( x) называются линейно независимыми

на промежутке (α ; β ) . Две функции y1( x) и y2 ( x) линейно независимы тогда и только когда, когда они не

пропорциональны, т.е. y2 ( x) ≠ const . y1( x)

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

16

3.2. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

Этот метод позволяет находить общее решение любого неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ), если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ). Рассмотрим подробно ЛДУ второго порядка.

Теорема . Пусть для однородного ЛДУ второго порядка a( x) y′′ + b( x) y′ + c( x) y = 0

нам известно его общее решение: yоо = С1ϕ1( x) + С2ϕ2 ( x) ,

Тогда для неоднородного ЛДУ

a( x) y′′ + b( x) y′ + c( x) y = f ( x)

общее решение можно найти в виде yон = С1( x) ϕ1( x) + С2 ( x) ϕ2 ( x) ,

где производные C

′ ( x) и C

′ ( x)

являются решениями системы двух линейных уравнений

1

2

с расширенной матрицей:

ϕ ( x)

ϕ

( x)

0

f ( x)

1

2

и f

( x) =

.

0

ϕ ′ ( x) ϕ

′ ( x)

f0 ( x)

a( x)

1

2

Эта система всегда имеет единственное решение на любом промежутке, где

непрерывны все коэффициенты ОЛДУ и a( x) ≠ 0 .

Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения

4 y′′ + y =

8

.

(5)

1 + cos x

Решение. Напишем соответствующее однородное ЛДУ:

4 y′′ + y = 0 ,

составим

для

него

характеристическое уравнение

4λ 2 + 1 = 0 и

найдем

его

корни:

λ

= ± 1 i .

Общее решение

для ОЛДУ

имеет

вид

1,2

2

y

= C cos

x

+ C

sin

x

. Общее решение данного уравнения (5) будем искать в виде

оо

2

1

2

2

y

= C ( x) cos

x

+ C

( x) sin

x

.

(6)

2

он

1

2

2

В

данном

случае

ϕ ( x) = cos

x

, ϕ

( x) = sin

x

.Производные

функций C ′ ( x) и

C ′ ( x)

2

1

2

2

1

2

удовлетворяют системе линейных уравнений с расширенной матрицей:

cos

x

sin

x

0

2

2

1

x

1

x

2

−

2

sin

2

2 cos

2

1+cos x

Решим эту систему по формулам Крамера:

		cos	x		sin	x																			0		sin		x					2 sin	x			sin			x
											1		2 x			1		2 x			1								2
=		2			2					=		cos			+		sin			=		,	1	=									= −	2			= −			2					,
		1		x	1			x			2			2		2			2		2				2														2			x
	−	2 sin		2	2 cos		2																				1	cos		x				1 + cos x				cos		(		2		)
																									1 + cos x		2			2

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

17

		cos			x			0				2 cos		x
					2												1
2	=										=			2		=			.
								2					+ cos x					x
		−	1	sin			x				1						cos
																		2
								1 + cos x
		2 2

Следовательно, C1′( x)

Теперь, интегрируя,

2 sin x dx C1 ( x) = ∫ cos2 2( 2x ) =

2sin

x

2

.

=

1

=

2

, C ′( x) =

2

=

cos2 (

x

)

2

cos

x

2

2

находим:

4

2 dx

1 + sin

x

( x) = ∫

2

+ C1, C2

= 4 ln

+ C2 ,

(7)

x

cos

x

cos

cos

x

2

2

2

где C1, C2 = const . Подставляя полученные функции

C1 ( x) и C2 ( x) (7) в (6) получим

искомое общее решение неоднородного ЛДУ (5):

x

1 + sin 2

y

он

=

4

+ C1 cos

x

+ 4 ln

+ C

sin

x

=

x

2

x

2

2

cos

cos

2

2

x

= 4 + 4 sin

x

ln

1 + sin 2

+ (C cos

x

+ C sin

x

)

2

x

1

2

2

2

cos 2

yоо−

yчн −частное реш. неодн. ЛДУ

общее реш. однор. ЛДУ

(черту над настоящими константами уже можно опустить).

3.3.Задачи для самостоятельного решения.

1.Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

(а) 3 y′′ + y′ − 4 y = 0 ;		(б) 4 y′′ + 12 y′ + 9 y = 0 ; (в) y′′ − 5 y′ = 0 ; (г) y′′ − 9 y = 0 ;
(д) y′′ + 9 y = 0 ; (е) ; (ж) y′′ − 4 y′ + 13 y = 0 ;
2. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
(а)	y′′ + y′ − 6 y = 0 , y(0) = 1,			y′(0) = 4 ;
(б)	y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 ,	y(0) = −1, y′(0) = 2 ;
(в)	y′′ − 4 y′ + 5 y = 0 ,	y(0) = 1, y′(0) = 0 .
	Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка:
		1				ex			1
	(а) y′′ + 3 y′ + 2 y =		;	(б) y′′ − 2 y′ + y =				; (в)	y′′ + 9 y =		,
		ex + 1								sin x
						4 − x2

4.Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка

спостоянными коэффициентами

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид:

a ( x) y	(n) + a ( x) y(n−1)	+ ... + a	n−1	( x) y′ + a	n	( x) y = f ( x)	(8)
0	1
или, символически,
	L[ y] = f ( x) ,						(8*)

Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид

a ( x) y	(n) + a ( x) y(n−1)	+ ... + a	( x) y′ + a ( x) y = 0	(9)
0	1	n−1	n

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

18

или, символически, L[ y] = 0

Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка. Общее решение ОЛДУ (9)

с непрерывными коэффициентами имеет вид yоо = С1 ϕ1( x) + ... + С1 ϕ1 ( x) ,

где ϕ1 ( x), ..., ϕ1( x) – линейно независимые частные решения этого ЛДУ, образующие

фундаментальную систему решений этого ОЛДУ, C1, ..., Cn – произвольные константы.

4.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим ОЛДУ:

a y(n) + a y(n−1)		+ ... + a		y′ + a y = 0 ,		(10)
0	1	n−1		n
где ai = const R, a0 ≠ 0 .
Многочлен
P(λ)	= a λ n + a λ n−1		+ ... + a λ + a			(11)
	0	1		1	0
	def

называется характеристическим для ОЛДУ (3). Алгебраическое уравнение P(λ) = 0 также называется характеристическим.

Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постоянными коэффициентами п-го порядка

Пусть λ1, λ2 , ..., λk – все корни (вещественные и/или комплексные)

характеристического уравнения (4), а натуральные числа r , r , ..., r – соответствующие
1 2	k

кратности этих корней. Это значит, что характеристический многочлен разлагается в произведение

		r	r	... (λ − λ	r
P(λ) = a (λ − λ ) 1 (λ − λ			) 2		) k ,
0	1	2		k

и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ, т.е.

r + r	+ ... + r = n .
1 2	k

Заметим также, что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны, и поэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены, т.е. если имеется корень λ = α + iβ кратности r, то имеется и корень λ = α − iβ той же кратности r.

(1°) Каждому вещественному корню λ j = γ R кратности r соответствуют ровно r

различных функций, составляющих ФСР уравнения (10):

ϕ1 ( x) = eγ x , ϕ2 ( x) = x eγ x , ..., ϕr ( x) = xr −1 eγ x

(2°) Каждой паре комплексно сопряженных корней λ j = α ± iβ , где α R, β R + ,

каждый из которых имеет кратность r, соответствуют r пар функций, составляющих ФСР уравнения (3) (а всего их 2r ):

ϕ1 ( x) = eα x cos β x, ϕ2 ( x) = x eα x cos β x, ..., ϕr ( x) = xr −1 eα x cos β x; ψ1( x) = eα x sin β x, ψ 2 ( x) = x eα x sin β x, ..., ψ r ( x) = xr −1 eα x sin β x .

Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (10) состоит из всех функций, построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения.

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

19

Пример 9. Найти общие решения следующих ОЛДУ:

(а) y′′′ − 8 y = 0 ; (б) y′′′ − y′′ − 5 y′ − 3 y = 0 ; (в) y(7) −16 y(3) = 0 .

Решение. Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P(λ) и разложим

его на множители:
	P(λ) = λ 3 − 8 = (λ − 2)(λ 2 + 2λ + 4) = 0 , корни λ = 2, λ
(а)																	= −1 ± i 3 , их кратности
											1				2,3
равны 1.		Поэтому y			= C e2 x + C e− x cos (x								) + C	e− x sin (x					) ;
												3						3
			оо			1	2				2
(б) P(λ) = λ 3 − λ 2 − 5λ − 2 = (λ +1)(λ 2 − 2λ − 3) = (λ + 1)2 (λ − 3) = 0 , корни и их кратности:
λ = −1, r = 2 ,			λ = 3, r			= 1, поэтому y				= C e− x + C				2	xe− x + C e3 x .
1		1	2	2				оо			1						3
(в)	P(λ) = λ 7 −16λ 3 = λ3 (λ 4 −16) = λ 3 (λ − 2)(λ + 2)(λ 2 + 4) , корни и их кратности:
λ = 0, r		= 3; λ	= 2, r	= 1, λ			= −2, r	= 1,		λ	= 0 ± 2i , r					= 1, общее решение
1	1	2	2			3	3			4,5					4,5
	y = С e0 x		+ С x e0 x + С x2 e0 x					+ C	e2 x + C e−2 x + C e0 x cos 2x + C e0 x sin 2x =
	оо	1	1				1	4			5				6		7

= С1 + С1x + С1x2 + C4e2 x + C5e−2 x + C6 cos 2x + C7 sin 2x.

Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Общее решение неоднородного ЛДУ

a ( x) y	(n) + a ( x) y(n−1)	+ ... + a	n−1	( x) y′ + a	n	( x) y = f ( x)	(8)
0	1

есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующего однородного ЛДУ

a ( x) y	(n) + a ( x) y(n−1)	+ ... + a	( x) y′ + a ( x) y = 0	(9)
0	1	n−1	n
Символически:			yон = yчн + yоо .

Теорема о наложении частных решений НЛДУ).

Пусть правая часть f ( x) неоднородного ЛДУ (1), т.е. L[ y] = f ( x) , является суммой других функций

f ( x) = f1( x) + ... + fm ( x) ,

а для каждого k = 1, ..., m функция yk ( x) является частным решением неоднородного ЛДУ

L[ y] = fk ( x) . Тогда функция yo ( x) = y1( x) + ... + ym ( x) является частным решением уравнения (8).

4.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и

правой частью специального вида.

Мы умеем строить общее решение yоо ( x) однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами:

a0 y(n) + a1 y(n−1) + ... + an−1 y′ + an y = 0

Для этого надо составить характеристического уравнения

a0λ n + a1λ n−1 + ... + a1λ + a0 = 0 ,

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения

20

найти его корни λ , λ , ..., λ		и определить их кратности r , r , ..., r (натуральные числа,
1 2	k	1 2	k
т.е. целые положительные).

Условимся считать, что если вещественное или комплексное число λ не является корнем данного характеристического уравнения, то мы все равно будем считать его

корнем кратности ноль.

Для нахождения общего решения yон( x) неоднородного ЛДУ a0 y(n) + a1 y(n−1) + ... + an−1 y′ + an y = f ( x)

надо знать его какое-нибудь частное решение yчн( x) , поскольку yон = yчн + yоо .

Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в том случае, если функция f ( x) имеет специальный вид первого или второго типа.

Специальный вид правой части 1-го типа: f ( x) = eα x P	( x) , где α R , P ( x) –
m	m
многочлен степени т.

Пусть число α является корнем кратности r характеристического уравнения. В этом случае частное решение можно найти в виде:

y = xr eα x P ( x) ,

чн m

где P( x) – многочлен степени т с неопределенными коэффициентами. Напомним, что многочлены степени 0, 1 и 2 с неопределенными коэффициентами имеют вид

A, Ax + B, Ax2 + Bx + D соответственно ( A, B, D, ... – неопределенные коэффициенты, которые надо найти).

Чтобы найти эти коэффициенты, следует:

(1)	найти первую, вторую и т.д. производные функции y				= x		r α x			( x) ;
				чн			e		P
									m
(2)	подставить их в данное НЛДУ a y	(n) + a y(n−1)	+ ... + a	n−1		y′ + a		n	y = eα x P( x) , привести
	0	1

подобные и сократить левую и правую части на eα x ;

(3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа; получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно (m + 1) – числу искомых неопределенных коэффициентов);

(4) Решить полученную систему уравнений.

Специальный вид правой части 2-го типа: f ( x) = eα x (P ( x) cos β x + Q ( x) sin β x ) ,
	m		k
где α R , β R + , P ( x) и Q ( x) – многочлены степени т и		k	соответственно (один из
m	k

этих многочленов может вовсе отсутствовать, т.е. быть нулевым). Нулевой многочлен будем считать имеющим степень минус один.

Пусть комплексные числа λ = α ± iβ являются корнями характеристического уравнения кратности r и N = max{m, k}. В этом случае частное решение можно найти в виде :

y

чн

= xr eα x (P

( x) cos β x + Q

( x) sin β x ) .

N

N

Чтобы найти коэффициенты многочленов P

( x) и Q

( x) , надо:

N

N

(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции

y

r α x

( x) ;

чн

= x e

P

m

(2) подставить их в данное НЛДУ

a y

(n) + a y(n−1) + ... + a

n−1

y′ + a y = eα x (P ( x) cos β x + Q ( x) sin β x ) , привести подобные и

0

1

n

m

k

сократить левую и правую части на eα x ;