Лекции_по_дисциплине

Компьютерное моделирование

Лекции по дисциплине:

Компьютерное моделирование

физико-математический факультет, 10 семестр

СТАНДАРТ:

Понятие модель, моделирование как метод познания, натурные и абстрактные модели. Виды моделирования в естественных и технических науках. Компьютерная модель.

Абстрактные модели и их классификация. Вербальные модели. Информационные модели. Объекты и их связи. Основные структуры в моделировании. Примеры информационных моделей. Математические модели.

Имитационное моделирование.

Модели динамических систем. Инструментальные программные средства для моделирования динамических систем.

Модель популяции. Геометрическое моделирование и компьютерная графика.

Различные подходы к классификации математических моделей. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые модели. Системный подход в научных исследованиях.

Численный эксперимент. Его взаимосвязи с натурным экспериментом и теорией. Достоверность численной модели. Анализ и интерпретация модели.

Моделирование стохастических систем. Метод статистических испытаний. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины.

Моделирование систем массового обслуживания. Переход детерминированных систем к хаотическому поведению.

Примеры математических моделей в химии, биологии, экологии, экономике. Учебные компьютерные модели. Программные средства для моделирования предметно-коммуникативных сред. Специфика использования КМ в педагогических программных средствах.

1

Тарова Инна Николаевна
Содержание
СТАНДАРТ: ....................................................................................................................	1
ЛЕКЦИЯ 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИНФОРМАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ......................	5
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .....................................................................................	23
ЛЕКЦИЯ 2. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ КОМПЬЮТЕРНОМ
МОДЕЛИРОВАНИИ........................................................................................................	25
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРЫ ....................	25
2.2. ЭТАПЫ И ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ....................	26
МОДЕЛИРОВАНИЯ ....................................................................................................	26
2.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ...................................	30
2.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................	35
Организация диалога человек – ЭВМ. .............................................................. 35
Компьютерная научная графика .......................................................................	39
Построение движущихся изображений...........................................................	42
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .....................................................................................	44
ЛЕКЦИЯ 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ....................................	45
3.1. ФИЗИКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ..........................................................................	45
3.2. СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛА С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ .....	46
3.3. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ ЗАКОНЫ
ПОДОБИЯ ....................................................................................................................	54
Программа: Реализация модели «Полет тела, брошенного под углом к
горизонту» .............................................................................................................	60
3.4. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ: ВЗЛЕТ РАКЕТЫ ...............	64
3.5. ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ...........................................................................	67
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .....................................................................................	71
ЛЕКЦИЯ 4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОЛОГИИ ...........................	73
4.1. ЭКОЛОГИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ......................................................................	73
4.2. МОДЕЛИ ВНУТРИВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ...............................................	75
Формальная модель..............................................................................................	76
Компьютерная модель.........................................................................................	77
Биологические модели развития популяций (в электронных таблицах) ...	80
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .....................................................................................	82
ЛЕКЦИЯ 5. ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА.......................	83
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .....................................................................................	86
ЛЕКЦИЯ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ......................................	87
6.1. ТЕХНИКА СТОХАСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ...................................	87
6.2. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ)..................	89

2

Компьютерное моделирование
Типичная задача: очередь к одному «продавцу» ..............................................	91
Моделирование очереди .......................................................................................	93
Программа Моделирование очереди ..................................................................	94
Программа. Имитационное моделирование очереди .....................................	98
6.3. РАЗЛИЧНЫЕ РИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ............................	99
ПРОЦЕССОВ ................................................................................................................	99
Вычисление площадей. ........................................................................................	99
Задача Бюффона. ................................................................................................	100
Модель «пьяницы» (случайного блуждания)..................................................	100
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ...................................................................................	102
ЛЕКЦИЯ 7. КОМПЬЮТЕРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ...........................................	104
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ ..........................................................................	104
7.1. ЛИНЕЙНОЕ, НЕЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ .........................................	104
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ...........................................................................................	104
Линейное программирование ............................................................................	104
Нелинейное программирование (планирование)............................................	106
Динамическое программирование (планирование) .......................................	107
7.2. СИМПЛЕКС-МЕТОД .........................................................................................	109
Транспортная задача.........................................................................................	113
7.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ В EXCEL ..............................................	116
7.3.1. Задачи оптимизации ...............................................................................	116
7.3.2. Решение уравнений с одним неизвестным ...........................................	117
7.3.3 Линейное программирование ...................................................................	118
7.3.4. Аппроксимация экспериментальных данных Одна независимая
переменная...........................................................................................................	121
7.3.5. Аппроксимация экспериментальных данных Несколько независимых
переменных ..........................................................................................................	125
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ...................................................................................	127
ЛЕКЦИЯ 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.......................................	128
8.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ..............................................................................	128
8.1.1.Случайная величина с дискретным распределением ...........................	128
8.1.2. Непрерывная случайная величина .........................................................	130
8.1.3. Числовые характеристики распределения вероятностей ...............	133
8.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.............................................	137
8.2.1. Биномиальное распределение .................................................................	138
8.3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.....................................................	141
8. 4. ДРУГИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ............................................................	145
8.4.1. Равномерное распределение ....................................................................	145
8.4.2. Распределение Пуассона ..........................................................................	146
8.4.3. Показательное распределение................................................................	147

3

Тарова Инна Николаевна
8.4.4. Распределение хи-квадрат ......................................................................	147
8.4.5. Распределение Стьюдента .....................................................................	148
8.4.6. F-распределение (Фишера)......................................................................	148
8.4.7. Другие распределения в Excel..................................................................	149
8.5. ГЕНЕРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ .................................................................	149
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ...................................................................................	151
ЛЕКЦИЯ 9. УЧЕБНЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ.............................................	152
9.1. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ................................	152
ПРЕДМЕТНО-КОММУНИКАТИВНЫХ СРЕД .....................................................	152
9.2. СПЕЦИФИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВАХ ...........................................	153
9.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ......................................................................................................	167
Приложения: к спецкурсу «Компьютерное моделирование......................	174
Темы исследовательских рефератов ..........................................................	178
Темы для математических сочинений.......................................................	178
Тема: «Графическое решение систем уравнений» ........................................	179
Тема: «Преобразования фигур» ........................................................................	181
Тема: «Преобразование графиков функций» .................................................	182
Тема: «Координатная плоскость» ..................................................................	185
Тема: «Квадратичная функция»......................................................................	186
Тема: «Линейная функция» ..............................................................................	188
Тема: «Решение треугольников»......................................................................	190
9.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
ЭКОЛОГИИ................................................................................................................	191
ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ ..................................................................................................	198
МЕДИАТЕКА ..............................................................................................................	200

4

ЛЕКЦИИ по дисциплине: «Компьютерное моделирование» Физико-математический факультет, 10 семестр, всего 33 часа

ЛЕКЦИЯ 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИНФОРМАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Модели и моделирование используются человечеством с незапамятных времен. С помощью моделей и модельных отношений развились разговорные языки, письменность, графика. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных инструментов познания.

Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они помогают разумно планировать, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, разрешать удачно различные жизненные ситуации.

Модель это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Экземпляром будем называть представление предмета реального мира с помощью некоторого набора его характеристик, существенных для решения данной информационной задачи. Множество экземпляров, имеющих одни и те же характеристики и подчиняющиеся одним и тем же правилам, называется объектом. Каждый объект в модели должен быть обеспечен уникаль-

ным и значимым именем. Объекты делятся на:

Реальные объекты – абстракции физически существующих предме-

тов;

Роли – абстракции цели или назначения человека, части оборудования или учреждения;

События – абстракции чего-либо случившегося;

Взаимодействия – объекты, получаемые из отношений между другими объектами;

Объекты-спецификации – используются для представления правил, стандартов или критериев качества.

Как уже отмечалось, человек применяет модели с незапамятных времен при изучении сложных явлений, процессов, конструировании новых сооружений. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: не допустимы, например, эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принци-

Тарова Инна Николаевна

пиально не осуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы… Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта.

В реальном мире между объектами существуют отношения. Если предметы моделируются как объекты, то отношения, которые возникают между различными видами объектов, отражаются в информационных моделях как связи. Каждая связь задается в модели определенным именем. Связь в графическом виде представляется как линия между связанными объектами и

обозначается идентификатором связи.

Существует три вида связи: один-к-одному (рис. 1.1), один-ко-многим

(рис.1.2) и многие-ко-многим (рис. 1.3).

Связь один-к-одному существует, когда один экземпляр одного объекта связан с единственным экземпляром другого. Связь один-к-одному обозначается стрелкам и .

Рис. 1.1. Пример связи «один-к-одному»

Связь один-ко-многим существует, когда один экземпляр первого объекта связан с одним (или более) экземпляром второго объекта, но каждый экземпляр второй объекта связан только с одним экземпляром первого. Множественность связей изображается двойной стрелкой .

6

Компьютерное моделирование

Рис. 1.2. Пример связи «один-ко-многим»

Связь многие-ко-многим существует, когда один экземпляр первого объекта связан с одним или большим количеством экземпляров второго, и каждый экземпляр второго связан с одним или многими экземплярами первого. Этот тип связи изображается двусторонней стрелкой >

Рис. 1.3. Пример связи «многие-ко-многим»

Помимо множественности, связи могут подразделяться на безусловные и условные. В безусловной связи для участия в ней требуется каждый экземпляр объекта. В условной связи принимают участие не все экземпляры объекта. Связь может быть условной как с одной, так и с обеих сторон.

Все связи в информационной модели требуют описания, которое, как минимум включает:

идентификатор связи;

формулировку сущности связи;

вид связи (ее множественность и условность);

способ описания связи с помощью вспомогательных атрибутов объек-

тов.

Дальнейшее развитие представлений информационного моделирования связано с развитием понятия связи, структур, ими образуемых, и задач, которые могут быть решены на этих структурах. Нам уже известна простая последовательная структура экземпляров - очередь. Возможными обобщениями информационных моделей являются циклическая структура, таблица, стек (см. рисунок 1.4).

Очень важную роль играет древовидная информационная модель, являющаяся одной из самых распространенных типов классификационных структур. Эта модель строится на основе связи, отражающей отношение

7

Тарова Инна Николаевна

части к целому: «А есть часть М» если «М управляет А». Очевидно, древо-
видная связь является безусловной связью типа один-ко-многим и графиче-
ски изображена на рис. 1 .4, в. На этом же рисунке для сравнения приведены
схемы информационных моделей типа «очередь» (а) и «цикл» (б).	'

Рис. 1.4. Информационные модели типа «очередь» (а), «цикл» (В), «дерево» (в)

Еще более общей информационной моделью является, так называемая, графовая структура. Графовые структуры являются основой решения огромного ячества задач информационного моделирования. Многие прикладные задачи информационного моделирования были поставлены и изучены достаточно давно, в 50-60-х годах, в связи с активно развивавшимися исследованиями и разработками по научным основам управления в системах различной природы и в связи с попытками смоделировать с помощью компьютеров психическую деятельность человека при решении интеллектуальных творческих задач. Научное знание и модели, которые были получены в ходе решения этих задач, объединены в науке под названием «Кибернетика», в рамках которой существует раздел «Исследования по искусственному интеллекту».

Процесс построения модели называется моделированием. Различают материальное и идеальное моделирование.

При материальном моделировании реальному объекту противопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и

8

Компьютерное моделирование

модели, а на аналогии идеальной, мыслимой. Основным типом идеального моделирования является знаковое моделирование. Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов.

Классификация видов моделирования

Физическое – используется сама система, либо подобная ей (летательный аппарат в аэродинамической трубе).

Натурное – используется сама система или ее часть в натуральную величину.

Масштабное – используется сама система или ее часть в масштабе к реальной величине.

Аналоговое – используется аналог другой физической природы вместо самой системы.

Математическое – процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы.

Аналитическое – процессы функционирования элементов записываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и т.д.). Аналитическая модель может быть исследована методами:

а) аналитическим (устанавливаются явные зависимости, получаются, в основном, аналитические решения);

б) численным (получаются приближенные решения); в) качественным (в явном виде можно найти некоторые свойства реше-

ния).

9

Тарова Инна Николаевна

Компьютерное – математическое моделирование формулируется в виде алгоритма (программы для ЭВМ), что позволяет проводить над ней вычислительные эксперименты.

Численное – используются методы вычислительной математики (отличается от численного аналитического тем, что возможно задание различных параметров модели).

Статистическое – обработка данных о системе (модели) с целью получения статистических характеристик системы.

Имитационное – воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функционирования исследуемой системы, соблюдая логическую и временную последовательность протекания процессов, что позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в определенные моменты времени.

Применение математического моделирования позволяет исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны (дорого, опасно для здоровья, однократные процессы, невозможные из-за физических или временных ограничений – находятся далеко, еще или уже не существуют и т.п.).

Классификация моделей

Каждому виду моделирования соответствует свой тип моделей. Создание модели связано с большей или меньшей степенью абстрагирования от реальной системы. Степень абстрагирования зависит от целей моделирования.

Простейшим по уровню абстрагирования является класс физических моделей. Физической моделью называется установка, устройство или приспособление, позволяющее исследовать системы путем замещения изучаемого физического процесса подобным ему процессом той же или другой физической природы. При этом в порядке повышения уровня абстракции выделяют три вида моделей: натурные, масштабные и модели аналоги.

Натурные модели это реальные изучаемые системы или их части. Общим критерием выбора класса или вида модели является минимум затрат на получение ресурсов на получение требуемой информации о системе или процессе при выполнении заданных ограничений на ее точность и достоверность. Такой подход ограничивает область применения натурных моделей. С одной стороны это системы, для которых в настоящее время в силу различных причин невозможно построить более абстрактную модель, обеспечивающую требуемую точность и достоверность результатов моде-

10