1 семестр Малышев БТС / ИДЗ / 0501_Конунников Г
.pdfФедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
им. В.И. Ульянова (Ленина)»
кафедра физики
ОТЧЕТ
по индивидуальному домашнему заданию № 7
«Термодинамика»
Выполнил : Конунников Г. А.
Группа № __0501______
Преподаватель:_Богачев Ю. В._
Вопросы |
|
|
Задачи ИДЗ |
|
|
Даты |
Итог |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коллоквиума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
22 |
|
38 |
|
54 |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Санкт-Петербург, 2020
2
Ход работы.
Вариант – 8.
Задание 8.
В политропическом процессе давление идеального одноатомного газа изменяется пропорционально Т2. Найти молекулярную теплоемкость газа при этом процессе.
Решение.
Молярную теплоемкость, которую можно определить по формуле (1):
С |
dQ |
, |
(2) |
|
vdT |
||||
|
|
|
где Q – теплоемкость, v – концентрация, T – температура газа.
Теплоемкость газа можно определить по формуле (2):
dQ |
i |
vRdT PdV , |
(2) |
|
2 |
||||
|
|
|
i = 3, т.к. газ одноатомный, тогда:
dQ 32 vRdT d PV VdP 32 vRdT vRdT VdP 52 vRdT VdP
Таким образом получим, что теплоемкость газа в дальнейшем можно определить по формуле (3):
|
|
|
|
|
|
dQ |
5 |
vRdT VdP , |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходя |
из условия, |
|
что |
P constT 2 |
получим |
P |
const . |
||||||||||||
|
T 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцировав это уравнение получаем: |
dP |
|
2PdT |
0 |
|
|
|||||||||||||
T 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 3 |
|
|
||
Тогда давление газа можно определить по формуле (4): |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dP |
2PdT |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совместив формулы (2) и (4) получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dQ |
5 |
vRdT 2 |
PVdT |
|
5 |
vRdT 2vRdT |
1 |
vRdT |
|
|
|
|
|
||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3
Тогда теплоемкость газа можно определить по формуле (5):
dQ |
1 |
vRdT , |
(5) |
|
2 |
||||
|
|
|
Совместив формулы (1) и (5) получим:
|
|
1 |
vRdT |
|
|
|
|
||
|
dQ |
|
|
|
|
1 |
|
R |
|
С |
2 |
|
R |
||||||
vdT |
|
|
vdT |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем молярную теплоемкость в соответствии с условием,
которую можно определить по формуле (6):
С |
R |
, |
(6) |
|
2 |
||||
|
|
|
Ответ: С R2
Задание 19.
Определить изменение энтропии при изобарическом нагревании 10 г
кислорода от 27°С до 327°С.
Решение.
Энтропия определяется по формуле (7):
S dQT ,
Т.к. изменение энтропии - это разность, тогда
|
|
|
|
2 |
dQ |
|
2 |
dU A |
S S |
2 |
S |
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
где U - теплоемкость газа, A – работа газа.
Теплоемкость газа определяется по формуле (8):
dU m Cv dT ,
Работа газа определяется по формуле (9):
dA dV m RT dV ,
V
(7)
(8)
(9)
4
Тогда
Тогда, разность энтропии для изобарического процесса можно записать по формуле (10):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
m |
|
C p ln |
T2 |
, |
(10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|||
C |
|
|
i 2 |
|
R |
5 2 |
8.314 29.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
m |
|
|
|
T |
|
10 10 3 |
29.1 ln |
600 |
12.6 |
Дж |
||||||||||
|
C |
|
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
T |
16 10 3 |
300 |
К |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: S 12.6 ДжК
Задание 38.
Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изотерм и двух изохор. Найти КПД цикла, если отношение наибольшего и наименьшего объема вещества равно 2, а cp/cv = 1.4.
Решение.
Построим график.
График 1 – Цикл задачи №38.
КПД данного цикла определяется по формуле (10):
|
Q1 |
Q2 |
, |
(10) |
|
|
|||
|
|
Q1 |
||
|
|
|
Теплоемкость в процессаx будет записана следующим образом:
5
Q12 A12 vRT1 ln V2 0 , U12 0 ;
V1
Q23 U 23 vCv T2 T1 0 , A23 0 ;
Q34 A34 vRT1 ln V1 0 , U34 0 ;
V2
Q41 U 41 vCv T1 T2 0 , A41 0 ;
Учитывая условие задачи V2 2 для процессов 1-2 и 3-4 получим:
V1
Q12 A12 vRT1 ln 2 0
Q34 A34 vRT1 ln 0,5 0
Подставив эти выражения в формулу (10), получим:
|
Q1 Q2 |
|
|
Q1 |
|
|
Q2 |
1 |
Q2 |
|
1 |
Q23 Q34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
Q |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Q Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
vCv T2 |
T1 vRT2 ln 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
T |
T1 |
T2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
RT2 Cv |
T2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vRT ln 2 vC T T |
|
|
|
|
|
RT C T T |
|
T1 |
T1 T2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
v |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
v |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая условие задачи |
|
СP |
|
1.4 получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
СV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
T T1 T2 |
|
|
|
|
|
T T1 T2 |
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
10 T1 T2 |
|
|
|
|
4T2 10T1 10T2 |
|
|
10T1 9T2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1.4 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
T1 |
T T |
|
T1 |
|
T T |
|
T |
|
|
10 T T |
|
|
|
4T 10T 10T |
|
11T |
10T |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
1.4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
10T1 9T2 |
|
|
11T1 10T2 |
|
|
|
|
10T1 9T2 |
|
|
|
|
|
T1 T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
11T 10T |
|
|
11T 10T |
|
|
|
11T 10T |
|
|
11T 10T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 54.
При изобарном нагревании 1 кмоля азота его температура повысилась в 1,5
раза. Найти изменение энтропии при этом процессе.
Решение.
Изменение энтропии в процессах идеального газа можно записать следующим образом.
|
|
|
2 m |
|
dT |
|
2 |
m |
|
dT |
|
2 m |
|
T |
|
dV |
|
m |
|
|
T |
|
V |
|
|||
S S |
|
S |
|
|
C |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
C |
ln |
2 |
R ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
1 |
V T |
|
|
T |
|
|
T |
|
V |
|
|
V |
|
T |
|
V |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
Таким образом изменение энтропии определяется по формуле (11):
6
|
m |
|
|
T |
|
V |
|
, |
|
S |
|
C |
ln |
2 |
R ln |
2 |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
V |
|
T |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
При P = const
Уравнения Менделеева-Клапейрона определяется по
pV m RT ,
Отношение температуры описывается уравнением:
(11)
формуле (12):
(12)
|
T2 |
|
|
p2V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
p1V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда используя формулу (11) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
T |
|
V |
|
|
m |
|
p V |
|
V |
|
|
m |
|
|
p |
2 |
|
V |
|
V |
|
||
S |
|
|
C |
ln |
2 |
R ln |
2 |
|
|
|
C |
ln |
2 2 |
R ln |
2 |
|
|
|
C |
ln |
|
C ln |
2 |
R ln |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
T |
|
V |
|
|
V |
|
p V |
|
V |
|
|
|
V |
|
p |
V |
V |
|
V |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
S |
m |
C |
ln |
T2 |
103 |
5 |
2 |
8.31ln1.5 11793 |
Дж |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V |
|
T1 |
2 |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
Ответ: S 11793 ДжК
Задание 63.
Найти КПД обратимого цикла, изображенного на рис.2, как функцию максимальной Т1 и минимальной Т2 температур вещества в этом цикле. Цикл совершает машина с идеальным газом в качестве рабочего тела. Найти также количества тепла, получаемые рабочим веществом на каждом этапе цикла.
Рисунок 2 – КПД обратимого цикла.
Решение.
Понятно, что максимальная температура в цикле – это температура T1
(именно для точки 1 произведение р на V будет самым большим), а минимальная
– Т2.
7
Так же ясно, что КПД проще находить с помощью формулы с работой за цикл, поскольку площадь треугольника найти легко.
Все величины выражать через температуру достаточно сложно, поэтому лучше делать через давление и объем, величины которых есть на графике.
|
p1 |
|
V1 |
k . Тогда p |
kp |
; V |
kV |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
p2 |
V2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но тогда из уравнения |
p V |
|
p V |
|
p V |
|
k 2 p V |
|||||||||
1 |
1 |
|
2 2 |
1 1 |
2 2 |
|||||||||||
p1 |
|
|
p2 |
p1 |
p2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражения для значений давления и объема для точки 1 через параметры точки 2, мы получаем коэффициент k:
T k 2T ; k 2 |
|
T1 |
k |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
T2 |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что отношение |
T1 |
4 , т.к. показано на графике, тогда |
|
T2 |
|||
|
|
p1 2 p2 ; V1 2V2
Найдем работу за цикл:
A0 p3 p2 V1 V2 2 p3 p3 2V3 V3 p3V3
Найдем количество теплоты, полученное газом от нагревателя. При этом подсчитаем количества теплоты в каждом процессе отдельно:
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
Q Q Q U |
|
U |
|
A |
|
|
vR T T |
|
|
vR T T |
p V V |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Н |
23 31 |
23 |
|
31 |
31 |
|
2 |
2 1 |
2 |
1 3 |
1 1 3 |
|
Все произведения νRT заменяем через произведения рV (на основании уравнения состояния идеального газа) и подставляем значения давления и объема, выраженные через параметры точки 1 согласно графику:
Q |
|
|
3 |
p V p V |
3 |
p V p V |
p V V |
|
|
3 |
2 p V p V |
|
|||||||||||||
Н |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
3 3 |
2 2 |
|
1 1 |
3 3 |
|
|
1 1 3 |
|
2 |
3 3 |
1 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
2 p |
|
2V 2 p V |
2 p |
2V V |
|
|
3 |
p V 3 p V 2 p V |
|
13 |
p V |
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 3 |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
2 |
3 3 |
|
3 3 |
3 3 |
2 |
3 3 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КПД будет определяться по формуле (13):
|
A0 |
, |
(13) |
|
|||
|
QН |
||
|
|
|
|
p3V3 |
|
|
2 |
0.15 15% |
|
13 |
p3V3 |
13 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|