экзамены и коллоквиумы / Вопросы к коллоквиуму 3

30. Уравнение непрерывности

Точки на слайде – это зарядики

Ставим условие что сумма зарядов в этом объеме остается неизменной (заряд там сохраняется)

Т.к. заряды двигаются, то плотность зарядов в любой точке пространства со временем может меняться, соответственно меняется и плотность тока

Из уравнений A и B можно получить уравнение T4 и T5

Вывод для T4

Найдем полную производную плотности тока (плотность тока – функция двух переменных (координат и времени))

В красных скобочках где – это мы вспоминаем, что плотность тока это ро на в (формула под буквой B на предыдущей картинке) и, соответственно, берём как производную произведения

Вывод для T5

Выражение из предыдущей картинки проинтегрируем по объему V (интегрируем по отдельности т.к. сумма)

Интеграл от плотности заряда по объему это величина заряда. Получаем силу тока, которая возникает в этом объёме за счёт изменения плотности заряда в любой точке этого пространства. То есть это указание на то как мы должны рассчитать силу тока в любой точке этого объема за счёт изменения плотности заряда в этой точке

2 уравнение (где про теорему остроградского) – стоит дивергенция вектора соответственно можно от интеграла от дивергенции по объему перейти к интегралу от той функции от которой берем дивергенцию (то есть от плотности заряда) по поверхности охватывающей этот объем V (то есть по замкнутой поверхности S) Интеграл от тока по площади это сила тока. И это как раз сила тока возникающая за счет плотности тока в любой точке пространства. Больше процессов меняющих заряд внутри обьема нет, значит эти две силы тока и создают изменение заряда в этом обьеме. Мы хотим чтобы в этом обьеме заряд сохранялся, следовательно сумма этих токов должна быть равна 0. Следовательно, возвращаясь обратно, сумма этих интегралов должна быть равна 0

Это уравнение есть закон сохранения заряда в заданном объеме

Самое нижнее уравнение (равенство) это левая часть нижнего уравнения с прошлой картинки, т.к. мы выяснили, что правая часть равна 0, то получаем это равенство.

Вопрос 31. Работа тока (вдоль произвольного контура, мощность тока и удельная мощность тока)

По определению ( ), плотность тока обеспечивает перенос зарядов из одной точки пространства в другую – т.е. совершает работу. Соответственно, на элементарном перемещении dr плотность тока j совершает

элементарную работу	, где	- удельное сопротивление вещества (в котором
течёт ток.)

Таким образом, работа тока вдоль произвольного контура L:

. Заметим, что работа зависит от формы контура L.

Работу в единицу времени называют мощностью – следовательно мощность тока =>

Мощность тока N – характеристика данной точки пространства (с радиус-вектором r, т.е. дифференциальная характеристика) – мощность, приходя-щуюся на элементарный объём dV,

называеют удельной мощностью .

Вопрос 32. Интегральные законы Ома.

Рассмотрим движение зарядов внутри проводника – согласно T6, элементарная работа плотности тока перемещению заряда (∂A = qρ0jdr)

Эту же работу можно рассматривать, как работу электрического тока ( = )

Как и любое силовое поле, электрическое поле можно разделить на две составляющие – потенциальное и не потенциальное ( = пт + нпт = − + нпт)

Тогда интегрируя выражения для работы, можно получить:

Т10	12 = 12 + 12 - Интегральный закон Ома для участка цепи,

содержащего ЭДС.

Величину = 12 – называют напряжением на участке цепи, соответственно, произведение IR12

– называют падением напряжения на сопротивлении R12 .

Здесь обозначено:

Т11 12		= ∫ 0		- сопротивление.
	= ∫ прт - ЭДС; 12

Частные случаи:

Для замкнутого проводника, очевидно 12 = 0, и мы получаем интегральный закон Ома для замкнутой цепи

	Т13 =
			+
		0

Здесь R12=R0+r, причем R0 – сопротивление внешней цепи, r – (внутреннее) сопротивление ЭДС, ε – алгебраическая сумма всех ЭДС в цепи.

Если ε12=0 – то получается интегральный закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС.

Т14 12

= 12

=

Отметим, что напряжение на участке цепи = 12 , в общем случае, не равно падению напряжения IR на сопротивление R (смотри формулу Т10).

Приложение 1.

33. Закон Ома в дифференциальной форме

Элементарная работа по перемещению зарядов внутри проводника может быть выражена через плотность тока:

Эту же работу можно рассматривать, как работу электрического поля:

В силу равенства элементарных работ плотности тока и электрического поля:

Закон Ома в дифференциальной форме:

= = , где 0 = 1/0 – удельная проводимость

Плотность тока в любой точке проводника пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке

34. Тепловое действие тока (закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной формах)

По формулам для мощности тока N и удельной мощности тока ω с учетом закона Ома в дифференциальной форме несложно получить

- закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Формулировка:

Удельная мощность тока, выделяемая в окрестности данной точки проводника (т.е. в элементарном объеме с радиус-вектором r) пропорциональна квадрату плотности тока в этой точке.

ДАЛЕЕ ВЫВОД:

Формула для удельной мощности тока ω с помощью з-на Ома в дифф.форме принимает вид

Если учесть, что j = ρ(r)v то последнюю формулу можно записать еще и так

Воспользуемся еще раз законом Ома

По смыслу, удельная мощность – это мощность, выделяемая в единицу времени dt в единичном объеме dV – следовательно, dQ = ωdVdt – элементарной количество тепла, выделяемое в объеме dV

Интегрируя, получим Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме

Формулировка:

Количество тепла Q, выделяемое в проводнике (во всем его объеме) по которому течет постоянный ток силой I за время t пропорционально разности потенциалов в Δϕ12 на концах проводника.

ДАЛЕЕ ВЫВОД:

Нам нужно вычислить интеграл

где

Получаем

Правило Кирхгофа

1.В каждом проводнике произвольно (и независимо от остальных) выбирают направление вектора плотности тока

2.Любая сложная электрическая цепь разбивается на отдельные замкнутые участки, называемые

контурами

•в каждом контуре произвольно (и независимо от остальных контуров) выбирают направление обхода

•в каждом контуре, содержащем ЭДС, выбирают ее положительное направление – например, от плюса к минусу (либо наоборот - но во всех контурах одинаково)

3. Любая точка электрической цепи, в которой сходится более 2 (двух) проводников, называется

узлом

1 закон Кирхгофа:

2 закон Кирхгофа: