Аппроксимация– это замена экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента).
Метод наименьших квадратов (МНК)
- математический метод, основан на определении аппроксимирующей функции, которая строится так чтобы сумма квадратов
отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой P(x) должна быть наименьшей.
ВЫВОД ФОРМУЛ (МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПОЛИНОМ 1 СТЕПЕНИ)
Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi} из n=5 точек
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
y |
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
|
|
|
|
|
Аппроксимировать точки полиномом 1
Пусть аппроксимирующий полином P(x)=a0 +a1x, тогда сумма квадратов отклонений будет равна
( ) |
∑( |
( |
) |
|
|
) |
Задача заключается в нахождении коэффициентов a0 , a1.
Функция двух переменных ( ) принимает наименьшее значение, когда
( )
{ ( )
{
т.е.
∑( |
( |
) |
|
) |
∑( |
( |
) |
|
) |
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
{
∑ ∑
∑ ∑ ∑
{
Суммы можно определить, так как xi и yi
известны. Переменная n (количество точек) – известна. Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Решаем, находим а0 и а1, записываем полином и вычисляем отклонения в каждой точке.
РУЧНОЙ СЧЕТ
Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
0,2 |
0,4 |
0,7 |
0,85 |
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
0,1 |
0,5 |
0,6 |
0,9 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
Аппроксимировать (Методом наименьших квадратов) точки полиномом 1 и 2 степени -Выполнить ручной счет.
-Реализовать в программе MCAD -Реализовать в программе MS Excel (тренды)
Аппроксимация полиномом 1 степени
Зададим общий вид полинома 1 степени P1(x)=a0+a1*x. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений,
где i= 0..4
|
n a0 a1 xi yi |
|
||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
a |
x 2 |
x y |
|
x a |
0 |
i |
||||
|
i |
1 |
i |
i |
||
i |
|
|
|
i |
i |
|
Вычислим значения xi , xi2 , yi , xi yi
i i i i
.
xi x0 x1 x2 x3 x4
i
xi 0,2 0,4 0,7 0,85 1 3,15
i
xi2 x02 x12 x22 x32 x42 i
xi |
2 0,22 0,42 0,72 0,852 12 |
2,413 |
i |
|
|
yi y0 y1 y2 y3 y4 |
|
|
i |
|
|
yi |
0,1 0,5 0,6 0,9 0,7 2,8 |
|
i |
|
|
xi yi x0 y0 x1y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4
i
xi yi 0,2 0,1 0,4 0,5 0,7 0,6 0,85 0,9 1 0,7 2,105
i
Получаем систему:
|
5 a0 |
3,15a1 2,8 |
|
|
2,413a1 2,105 |
3,15 a0 |
||
Запишем систему в матричном виде.
|
5 |
3,15 |
a |
0 |
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,15 |
2,413 |
a1 |
|
2,105 |
|||
Решим систему методом Гаусса.
|
|
|
|
Это запись |
|||
5 |
3,15 |
|
2,8 |
|
|||
(1):5 (1) |
|||||||
|
|
|
|
|
означает |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
3,15 |
2,413 |
|
2,105 |
(2):3,15 (2) |
следующее. |
|
|
|
||||||
Выполним деление 1-е уравнение на 5,а 2-е уравнение на 3,15. В результате получаем систему.
1 |
|
||
0,63 |
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,766 |
|
0,668 |
|
|||
(1) (1)
(2)-(1) (2)
|
|
|
|
|
||
1 |
0,63 |
0,56 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,136 |
0,108 |
|
. Запишем полученные |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
данные в виде системы линейных
|
a0 0,63a1 0,56 |
|||||
уравнений: |
0,136a |
0,108 |
. Из 2-го |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
уравнения найдѐм |
a 0,108 |
. Получим |
||||
1 |
|
0,136 |
|
|||
a1 0,797 .
Из 1-го уравнения найдѐм a0 0,56 0,63 a1 .
a0 0,56 0,63 0,797 |
a0 0,058 . |
Запишем полином Р1(х)
P1(x) 0,058 0,797 x ОТВЕТ
Найдѐм отклонения полученного полинома P1(x) от заданных точек y.
В 0-ой точке
O0 P1( x0 ) y0
P1(x0 ) 0,058 0,797 x0
P1(0,2) 0,217
O0 0,217 0,1 0,117
В 1-ой точке
O1 P1( x1 ) y1
P1(x1 ) 0,058 0,797 x1
P1(0,4) 0,377
O1 0,377 0,5 0,123
В 2-ой точке
O2 P1( x2 ) y2
P1(x2 ) 0,058 0,797 x2
P1(0,7) 0,616
O2 0,616 0,6 0,016
В 3-ей точке
O3 P1( x3 ) y3
P1(x3 ) 0,058 0,797 x3
P1(0,85) 0,735
O3 0,735 0,9 0,165
В 4-ой точке
O4 P1( x4 ) y4
P1(x4 ) 0,058 0,797 x4
P1(1) 0,855
O4 0,855 0,7 0,155
Построим график функции P1( x ) и отметим исходные точки на этом же графике.
Реализация метода в Mcad
Реализация в MS Excel
Построение аппроксимирующей функции с помощью тренда
Построение аппроксимирующей функции с помощью команды Поиск решения Формулы
1.Данные/Поиск решения
2.Целевая ячейка $F$7-минимальное значение
3.Изменяемая ячейка $C$2:$D$2
4.Выполнить
Результат
Ручной счет.
Аппроксимация полиномом 2 степени
Зададим общий вид полинома 2 степени
P1(x)=a0+a1*x+a2*x2.
Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений