ЛР2

Цель работы: Решить задачу линейного программирования графическим способом

Ход работы:

Условие задачи:

При откорме каждое животное должно получать не менее 9 ед. белков, 7 ед. углеводов и 13 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 8 д.е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

Решение задачи:

Пусть х1 – количество кг 1 корма, х2 - количество кг 2 корма.

Чтобы добиться минимальных затрат на дневной рацион, нужно общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции:

= 4 1 + 8 2 →

Дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений:

3 1 + 2 2 ≥ 9,1 + 4 2 ≥ 7,1 + 6 2 ≥ 13,1 ≥ 0,

{2 ≥ 0.

Заменим х1 на х, х2 на у, а «неравенство» на «равенство» и получим 6 уравнений прямых.

3 + 2 = 9,

+ 4 = 7,

+ 6 = 13,= 0,

{= 0.

Решим уравнения:

1 = 9 − 3 , 2

7 −2 = 4

3 = 13 − 6

= 0,

{= 0.

Найдем координаты точек каждой из уравнений и построим по данным точкам 3 прямые: y1, y2, y3 (рис.1).

Рисунок 1. График прямых в Excel

Теперь определим ОДЗ и построим вектор целевой функции (рис.2).

Рисунок 2. График прямых с ОДЗ и вектором целевой функции в Excel

ОДЗ – многоугольник решений ABC.

Построим перпендикуляры к вектору с и будем передвигать эту прямую по направлению вектора, пока она не коснется крайней точки многоугольника решений (рис. 3).

Рисунок 3. График прямых с ОДЗ и вектором целевой функции в Excel

Крайняя точка многоугольника решений – точка В.

Найдем его координаты, взяв с систему 1 и 3 уравнения прямых.

3 + 2 = 9 { + 6 = 13

3 + 2 = 9 { = 13 − 6

3(13-6y)+2y=9

39-18y+2y=9

39-9=18y-2y

30=16y

y= 3016

y=1,875

x= 13-6y=13-6*1,875=1,75

(1,75 ; 1,875) – координата точки В.

Подставляем координаты в линейную функцию:

= 4 1 + 8 2 →

Z=4*1,75+8*1,875=22

Ответ: чтобы обеспечить минимум затрат (22 ед. в день), необходимо дневной рацион составить из 1,75 кг корма 1 и 1,875 кг корма 2.

Вывод: была решена задача линейного программирования графическим способом

1. В чем экономический смысл найденных координат точки оптимальности?

Экономический смысл найденных координат, заключается в минимизации стоимости рациона с учетом ограничений белков, углеводов и протеина – 36 е.д.

2. Как найти область допустимых решений?

Для этого необходимо найти последовательно множества решений каждого неравенства и рассмотреть их пересечение.

3. Какова методика построения направляющего вектора и область его использования?

Направляющий вектор указывает направление улучшение целевой функции F(x) и строится по точкам (0;0) и (с1;с2), где с1, с2 – коэффициенты ЦФ

F(x)=с1*х1+с2*х2.

4. Какие ограничения накладываются на вводимые переменные и почему?

≥ 0,

≥ 0.

Они вводятся, так как колчисетво корма не может быть отрицательным.

5. В чем различия в решении задач в случае максимизации и в случае минимизации целевой функции?

В случае минимизации вектор ЦФ стремится к координате (0;0) в левый нижний угол, а в случае максимизации направление вектора направлено в правый верхний угол.