Астахов Физика. Конспект лекций и задач для 8 класса 2011

l =

L(v1 + v2 )

−

v2 (L + v2 t0 )

+

v2 t0 (v1 + v2 )

.

v

+ v

2

v

+ v

2

v

+ v

2

1

1

1

Раскроем скобки и приведем подобные:

Lv + Lv		2	− Lv	2	− v2 t	0	+ v		v t	0	+ v2 t	0
l =	1				2				2 1		2		.
				v1 + v2
Вынесем v1 за скобку:
			l = v		L + v2 t0			.
			1		v1 + v2

(П7.10)

(П7.11)

(П7.12)

Проведем проверку единиц, предварительно выразив все величины в одних и тех же единицах, например, скорость v1 в км/ч: v1 = 54 км/ч, а время t0 в часах: t0 = 1/6 ч:

км +

км

ч/

[l] =

км

ч/

=

км

км + км

= км.

(П7.13)

км

км

ч

+

км

ч

ч

ч

ч

Рассчитаем числовое значение:

72 +

72

1

72 +12

84

l = 54

6

= 54

= 3 54

=

72 + 54

126

126 7

(П7.14)

=

3 84 12

=

3 12

= 36 км

7 1

1

Ответ:

l = v

L + v2 t0

= 36 км.

(П7.15)

1

v1 + v2

71

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА

§1. Равномерное движение

1.1.Первый участок пути ∆S1 = 300 м велосипедист проехал за промежуток времени ∆t1 = 30 с, второй участок ∆S2 = 600 м за ∆t2 = 40 с, а оставшийся участок ∆S3 = 400 м за ∆t3 = 25 с. Определить среднюю путевую скорость велосипедиста на всем пути.

1.2.Школьник, опаздывая в школу, бежал ∆t1 = 5 мин со скоростью v1 = 10 км/ч. Потом остановился на ∆t2 = 1 мин, чтобы завязать шнурок, и оставшийся промежуток времени ∆t3 = 3 мин бежал со скоростью v3 = 15 км/ч. Определить среднюю путевую скорость школьника на всем пути.

1.3. Автомобиль проехал половину времени со скоростью v1 = 54 км/ч, остальное время — со скоростью v2 = 20 м/с. Найти среднюю путевую скорость за все время движения.

1.4.Пешеход часть пути прошел со скоростью v1 = 3 км/ч, затратив на это две трети времени движения. За оставшуюся треть

времени он прошел остальной путь со скоростью v2 = 6 км/ч. Определить среднюю путевую скорость движения пешехода за все время движения.

1.5.Первую часть пути автомобиль двигался со скоростью v1 = 80 км/ч, затратив на это 1/3 времени движения. Затем он попал

впробку и половину оставшегося времени двигался со скоростью

v2 = 10 км/ч. Последний промежуток времени автомобиль ехал со скоростью v3 = 100 км/ч. Определить среднюю путевую скорость автомобиля за все время движения.

1.6. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v1 = 15 м/с, оставшийся участок пути — со скоростью v2 = 72 км/ч. Найти среднюю путевую скорость на всем пути.

1.7.Поезд двигался на подъеме со скоростью v1 = 10 м/с и затем на спуске со скоростью v2 = 25 м/с. Какова средняя путевая скорость поезда на всем пути, если длина спуска в 2 раза больше длины подъема?

1.8.Первую четверть пути до кормушки хомяк прошел со скоростью v1 = 1 м/с. Одну треть оставшейся части пути он пробежал

72

со скоростью v2 = 2 м/с, остальную часть пути – со скоростью v3 = 3 м/с. Найти среднюю путевую скорость хомяка на всем пути.

1.9.Весь путь автомобиль проехал со средней путевой скоро-

стью <vs> = 80 км/ч. Скорость на первой четверти пути равнялась v1 = 120 км/ч. Какова была скорость v2 на оставшейся части пути?

1.10.Первую половину пути автобус прошел со скоростью в n = 8 раз большей, чем вторую. Средняя путевая скорость автобуса

на всем пути равна <vs> = 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

1.11.Из одного пункта в другой мотоциклист двигался со ско-

ростью v1 = 72 км/ч, на обратном пути первую половину времени он двигался со скоростью v2 = 14 м/с, вторую — со скоростью v3 = 10 м/с. Определить среднюю путевую скорость мотоциклиста за все время движения.

1.12.По условиям задачи 1.4, постройте графики зависимостей

путевой скорости от времени vs(t) и пути от времени S(t), если все время движения tдв = 80 с.

1.13.По графику зависимости пути от времени, представленному на рисунке, написать зависимость S(t).

			S,м											S,м
	6											6
													1
	5											5
	4											4					2
-	3										-	3
	2											2							3
	1											1
				2		4		6		t,с			2				4		6		t,с
				К задаче 1.13											К задаче 1.14

1.14.Какие линии, состоящие из отрезков прямых (см. рисунок), являются графиками зависимостей пути от времени? Написать, используя найденные графики, зависимости S(t).

1.15.Первый участок дистанции ∆S1 = 240 м бегун пробежал за

время ∆t1 = 30 с, второй участок ∆S2 = 140 м за ∆t2 = 20 с, а оставшийся участок пути ∆S3 = 150 м за ∆t3 = 25 с. Построить гра-

73

фики vs(t) и S(t), если на всех участках бегун бежал равномерно, и определить его среднюю путевую скорость за 0,8 всего времени движения.

1.16.Путь S1 = 300 км между городами автомобиль проехал со скоростью v1 = 60 км/ч. Обратно он возвращался со скоростью v2 = 30 км/ч. Построить графики vs(t) и S(t) автомобиля и определить его среднюю путевую скорость на первых 3/4 всего пути.

1.17.Из пункта A выбежал бегун. Через τ = 45 мин за ним из того же пункта выбежал второй бегун. Скорость первого бегуна

v1 = 10 км/ч. Скорость второго бегуна v2 = 15 км/ч. Определить, используя зависимости S(t) бегунов, через какое время tв после начала движения первого бегуна, второй бегун догонит его. Решить задачу также графически.

1.18. Из точки A по направлению к точке B вышел жук со скоростью v1 = 2 см/с. Одновременно навстречу ему из точки B выбежал таракан со скоростью v2 = 5 см/с. Расстояние между т. A и т. B L = 49 см. Определить, используя зависимости S(t), через какое время встретятся жук и таракан после начала их движения. Решить задачу также графически.

§2. Векторы

2.1. Начертить следующие векторы (см. рисунок): а) h1 = a + b ,

б) k1 = a − b , в) w1 = a + c , г) n1 = b − c , д) p1 = d + f , е) v1 = g −q.

у
6	а		e		f
4	b			d
2	q				g
				c
2	4	6	8	10	12	14 х

К задачам 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.7

74

2.2. Построить следующие векторы: а) h2 = 2e , б) k2 = − 12 d ,

в) w 2 = q − 53 c , г) n 2 = 0,4(d−q), д) p2 = 43 (f − g) , е) v2 = −3e − 2a.

2.3.Какой из представленных на рисунке векторов может быть радиус-вектором. Определите его проекции на оси координат.

2.4.Найти проекции векторов a, b, c, e, f на оси Ox и Оу.

2.5.Найти проекции векторов, построенных в задаче 2.1, на ось

Ox.

2.6.Найти проекции векторов, построенных в задаче 2.2, на ось

Oу.

2.7.Построить вектор m = 23 a + b − 2(d − g + 2f ) и найти его

проекции на оси Ox и Oy.

2.8. Проекции векторов k, l, p на ось Oy имеют следующие значения: ky = −4, ly = 2, py = 3. Найти проекцию hy вектора h = 2l − p + 12 k .

§3. Равномерное прямолинейное движение

3.1.Тело движется из точки, координата которой x0 = –350 м со скоростью, проекция которой vx = 72 км/ч. Определить координаты и изобразить радиус-векторы точек, в которых находилось тело в моменты времени t1 = 0,25 мин и t2 = 0,5 мин, если tн = 0.

3.2.По условию задачи 3.1 найти путь S3, пройденный телом за время t3 = 20 с после начала движения.

3.3.По условию задачи 3.1 написать зависимость и построить график v(t) тела от t1 до t2, выразив модуль скорости в м/с.

3.4.По условию задачи 3.1 написать зависимости и построить графики х(t) и S(t) от t1 до t2.

3.5.Тело движется из точки с координатой x0 = 500 м в направлении противоположном направлению оси Ox со скоростью, мо-

дуль которой v = 36 км/ч. Найти координаты тела в моменты вре-

мени t1 = 0,75 мин и t2 = 1,5 мин, если tн = 0.

75

3.6.По условию задачи 3.5 найти путь S3, пройденный телом за время t3 = 15 с, после начала движения, через его координаты.

3.7.По условию задачи 3.5, построить графики зависимостей от

времени проекции скорости vx(t), координаты x(t), модуля скорости v(t) и пути S(t) тела от t1 до t2, выразив проекцию и модуль скорости в м/с.

3.8. Тело двигалось по оси Ox с постоянной скоростью. В момент времени t1 = –3 с координата тела была x1 = –9 м, а в момент времени t2 = 2 с — координата x2 = 11 м. Написать зависимость координаты тела от времени х(t), если tн = −5с. В какой момент времени t3 координата тела x3 = 0?

3.9. Синее тело начало движение из точки с координатой xс0 = 10 м в положительном направлении оси Ox. Одновременно с ним начало двигаться красное тело из точки с координатой xкр0 = –2 м со скоростью vкр = 2м/с. Найти скорость синего тела vс, если красное тело догнало синее через время t1 = 24 с после начала своего движения.

3.10.По условию задачи 1.18 написать зависимости координаты от времени х(t) жука и таракана, если ось Ох направлена противоположно скорости таракана. Определить, используя эти зависи-

мости, через какое время tв после начала движения произойдет встреча жука и таракана. Решить задачу также графически.

3.11.Пункты A и B находятся на расстоянии L = 120 км друг от друга. Из этих пунктов навстречу друг другу выезжают автомобиль

и велосипедист, причем велосипедист выехал из пункта B на τ = 40 мин позже автомобиля. Скорость автомобиля vа = 60 км/ч. Скорость велосипедиста vв = 15 км/ч. Найти расстояние между ними в момент времени t1 = 1 ч и t2 = 2 ч после начала движения автомобиля.

3.12.По условию задачи 3.11 определить промежуток времени, через который встретятся автомобиль и велосипедист после начала движения велосипедиста, используя их зависимости x(t). Решить задачу также графически.

3.13.По условию задачи 1.11 построить графики зависимостей

от времени проекции скорости vx(t), координаты x(t) и пути S(t) мотоциклиста, если все время его движения tдв = 40 мин.

76

§4. Равнопеременное прямолинейное движение

4.1. Поезд, движущийся с постоянным ускорением, через промежуток времени t1 = 10 с после начала движения приобретает скорость v1 = 0,6 м/с. Через сколько времени после начала движения скорость поезда будет v2 = 3 м/с?

4.2. Велосипедист движется под уклон с ускорением a = 0,3 м/с2. Какую скорость v1 приобретает велосипедист через время t1 = 20 с, если его начальная скорость равна vн = 4 м/с?

4.3.Уклон длиной S1 = 100 м лыжник прошел за время t1 = 20 с, двигаясь с ускорением a = 0,3 м/с2. Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона?

4.4.Шарик, скатываясь по наклонному желобу из состояния

покоя, за первую секунду прошел путь S1 = 10 см. Какой путь S2 он пройдет за первые три секунды?

4.5.Поезд, двигаясь под уклон, прошел за время t1 = 20 с путь S1 = 400 м и развил скорость v1 = 21 м/с. С каким ускорением двигался поезд и какой была его скорость v0 в начале уклона?

4.6.С горы длиной S1 = 60 м санки скатились за время t1 = 10 с.

Скаким ускорением двигались санки и какую скорость они приобрели в конце горы?

4.7.Ружейная пуля при вылете из ствола длиной S1 = 60 см имела скорость vк = 300 м/с. С каким ускорением и сколько времени двигалась пуля в стволе?

4.8.Тело одну четвертую часть пути двигалось с постоянной

скоростью v1, затем третью часть оставшегося пути — с постоянной скоростью v2 = 1 м/с, а остальной путь — с постоянным ускорением и в конце пути имело скорость v3 = 7 м/с. Определить весь

пройденный телом путь Sк, если известно, что на последнем участке ускорение а = 1 м/с2.

4.9.При скорости v1 = 15 км/ч тормозной путь автомобиля равен S1 = 1,5 м. Каким будет тормозной путь S2 при скорости v2 = 90 км/ч? Ускорение в обоих случаях одно и то же.

4.10.При аварийном торможении автомобиль, двигавшийся со

скоростью vн = 72 км/ч, остановился через время t1 = 5 с. Найти тормозной путь автомобиля.

77

4.11. Имея начальную скорость vн = 36 км/ч, автобус за время

t1 = 10 с проехал путь: а) S1 = 120 м; б) S2 = 100 м; в) S3 = 80 м. С

каким ускорением двигался автобус в каждом случае и какие скорости он приобретал в конце пути?

4.12. В течение времени t1 = 2 с после начала движения тело двигалось равноускоренно с ускорением a1 = 2 м/с2, затем равнозамедленно с ускорением a2 = 0,5 м/с2. Найти среднюю путевую скорость тела за промежуток времени от начала движения (tн = 0) до t3 = t2/2, где t2 время движения тела до остановки.

4.13.Материальная точка движется в противоположном на-

правлении оси Ox. Зависимость пути м.т. от времени задана уравнением: S(t) = 10t + 0,4t2. Написать зависимости v(t) и vx(t) и построить графики этих зависимостей.

4.14.Написать зависимость S(t) и построить график v(t) мате-

риальной точки, которая движется из точки с координатой x0 = 5 м.

Проекция начальной скорости v0x = –2 м/с. Движение равноускоренное с ускорением a = 3 м/с2.

4.15.Написать зависимости S(t) и построить графики v(t) и vx(t)

материальной точки, которая движется из точки с координатой x0 = –10 м в противоположном направлении оси Ox с начальной скоростью v0 = 20 м/с равнозамедленно с ускорением a = 2 м/с2.

4.16.Зависимость пути материальной точки от времени задана уравнением: S = 0,4t2. Написать зависимость v(t) и построить ее график. Показать на этом графике штриховкой площадь, равную пути, пройденному м.т. за время t = 4 с.

4.17.Пользуясь графиком зависимости v(t) (см. рисунок), найти

v,см/c			v,см/c	1
4			2
2			1	3		2
2	4	6 t,c	2	4	6	8 t,c
К задаче 4.17			К задаче 4.18
			78

модули начальной скорости, скорости в начале четвертой и в конце шестой секунд и написать зависимость v = v(t).

4.18.По заданным графикам (см. рисунок) написать зависимости v = v(t). Найти пути S1, S2 и S3 за все время движения.

4.19.По графикам зависимости aх(t), приведенным на рисунке а

иб, построить графики зависимости vх(t), считая, что в начальный

момент времени проекция скорости v0х равна нулю в случае а и −1 м/с в случае б).

				ах, м/с2					ах, м/с2
	1					2 t,c	1					3 t,c
				1					1		2
			1					1
			2
					a)						б)

Кзадаче 4.19

4.20.Скорость поезда за промежуток времени t1 = 20 с уменьшилась с v1 = 72 км/ч до v2 = 54 км/ч. Написать зависимость скорости поезда от времени v = v(t) и построить график этой зависимости, если начальная скорость поезда vн = 90 км/ч.

4.21.Мальчик съехал на санках с горы длиной S1 = 40 м за время t1 = 10 с, а затем проехал по горизонтальному участку длиной S2 = 30 м до остановки. Найти среднюю путевую скорость движения мальчика на всем пути. Начертить график v = v(t).

4.22.Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение времени t1 = 4 с двигался с ускорением а1 = 1 м/с2, затем в

течение t2 = 0,1 мин он двигался равномерно, а последний участок пути S3 = 20 м равнозамедленно до остановки. Найти среднюю путевую скорость за все время движения. Построить график v(t).

4.23. Скорость тела, движущегося с постоянным ускорением,

v1 = 3 м/с в момент времени t1 = 5 с, а в момент времени t2 = 6 с скорость тела равна нулю. Определить путь S, пройденный телом за

промежуток времени от tн = 0 до tк = 8 с.

79

4.24.Стрела, выпущенная вертикально вверх со скоростью

vн = 40 м/с, попадает в цель через t1 = 2 с. На какой высоте находилась цель и какова была скорость стрелы при попадании ее в цель?

4.25.Мяч был брошен вертикально вверх два раза. Второй раз ему сообщили скорость в n = 3 раза большую, чем в первый раз. Во сколько m раз выше поднимается мяч при втором бросании?

4.26.Сколько времени и с какой высоты свободно падало тело, если за последние две секунда оно прошло путь S1 = 60 м?

4.27.Тело свободно падает с некоторой высоты. Скорость тела непосредственно перед ударом о землю равна v1 = 40 м/с. Найти

путь тела за промежуток времени t1, равный последней секунде падения.

4.28.Над шахтой глубиной h = 40 м вертикально вверх бросили

камень со скоростью vн = 12 м/с. Через какой промежуток времени будет услышан звук от удара камня о дно шахты, если скорость звука равна vзв = 330 м/с?

4.29.Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением a = 2 м/с2. Через t1 = 5 с из него выпадает предмет. Через сколько времени после начала подъема аэростата предмет упадет на Землю?

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА

§5. Законы Ньютона

5.1.Неоднородное тело состоит из двух частей равных объе-

мов. Плотность первой части ρ1, второй — ρ2. Определить среднюю плотность всего тела.

5.2.Неоднородное тело состоит из двух частей равных масс.

Плотность первой части ρ1, второй — ρ2. Определить среднюю плотность всего тела.

5.3. Неоднородное тело состоит из трех частей. Плотность первой части, масса которой составляет половину массы всего тела, ρ1 = 2 г/см3. Плотность второй части ρ2 = 2ρ1, плотность третьей части ρ3 = 3ρ1. Объемы второй и третьей части тела одинаковы. Определить среднюю плотность всего тела.

80