41_Astakhov_v._M._Mekhanika_

30

Используя условия задачи, запишем:

Y	F	+ Y F	.	> сi внутр..
(\ {	всех сил	внеш. /

значит

(2.5)

А если изменение физической величины по времени равно нулю, значит, эта величина не меняется со временем.

Итак, для замкнутой системы

L = const; L = mvr = const.

Это правило используется фигуристами при вращении: при одной и той же массе М фигуриста можно увеличить скорость вращения V, уменьшая расстояние г частей тела относительно оси вращения, то есть, прижав руки к телу. И наоборот, чтобы затормозить вращение, следует раскинуть руки в стороны.

2.11Моменты инерции тел различной формы

Вобщем случае моменты инерции вращающихся тел зависят от их формы. Приведём наиболее типичные случаи.

Обруч (полый цилиндр)

Рисунок 19

J =mxR2.

(2.30)

Рисунок 20

	J = mxR				(2.31)
Шар
		s j	Z
		Рисунок 21
Jг		2=-mxR2.			(2.32)
		5
Стержень
	'	/	I
f> / /	f	/	/ t	i h
		Рисунок 22
л		1			(2.33)
/	=—mxi		.
	12
формы равсМн°ЖНО С К а 3 а Т Ь ' Ч Т 0 M 0 M C H T И Н е р ц и и т е л Р ^ и ч н о й					геометрической

J = к - т - г2,	(2.34)

32

где k — безразмерный коэффициент, задаваемый формой тела. Эти формулы записаны для случаев, когда ось вращения проходит через центр масс вращающегося тела.

Но может быть ситуация, когда ось вращения не проходит через центр масс и существует теорема Штейнера, задающая момент инерции такого тела.

Теорема Штейнера

Если тело массы т вращается вокруг произвольной оси, то момент инерции тела:

JA=J0+ml2,

(2.35)

где JА — момент инерции тела относительно реальной (например ОО ) оси вращения;

J 0 — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Определение

Момент инерции относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела умноженной на квадрат расстояния между осями (оси параллельны).

33

Применение		теоремы	Штейнера
		I	I
ь	-	I /	И
^ > > > > > Д > / / / / 7 - т !				^
		|	®	Реальная ось вращения (Ja)
		Jo
		'О		А

Рисунок 24 Если взять стержень, ось вращения которого проходит через край, то:

JA=J0+ ma2,

где ./0 — момент инерции стержня, если бы его ось вращения проходила через ось О; a — расстояние между осями А и О.

	1	/2		I
	= — ml		\a = — ;
0	2			2
получаем
,	1	,,		/2
./,	= — тг +т			— ;
л	2			4
и окончательно:
	,	3	; 2	(2.36)
	J А = — ml.

2.72 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим энергию тела, обусловленную лишь вращением, то есть при вращении считаем, что положение тела относительно поверхности земли не меняется и поступательного движения тело при вращении не совершает.

w	=	mv2	т(й) -г)2			m-r2 - a)2	=	J • of	(2S)
			= —	2	— =	2		2
	кип_вращ 2

Для вращающихся тел различной геометрической формы значение момента инерции подставляется с соответствующими числовыми коэффициентами к .

34

Если тело перемещается в пространстве произвольно одновременно с вращением, то:

Wполи. =Wгп +Wiк поступ. пост.		+Ж.квращ. =
mv*		. Jar2 •	<2'38>
= mg(h2-hl)+—^	2	+ 2

считаем, что тело движется как материальная точка.

2.13 Работа при вращении тела

Незамкнутая		система
Пусть	тело	перемещается по	дуге окружности на малое расстояние
dS —> 0,	при этом радиус-вектор		г поворачивается соответственно на ма-

лый угол d(p —» 0 .

Закон движения тела произвольный.

Тогда при разбиении траектории (т.е. окружности) на участки dS подразумеваем, что в пределах этих участков действующая сила постоянна.

Рисунок 25
Тогда работа на каждом участке:
dA =	FdS
Используя кинематические соотношения:
		dS
F = т-а; а =	fir; d(p -	г—;
Запишем:
F -т-/3-г;	dS = г • dq>.

Тогда работа по перемещению тела из 1 в 2, выраженная во вращательных характеристиках:

	35
dA-m-fi-r-r-	d<p -m-r2 • ft • d(p - J • f3cl(p — M • d(p.

Чтобы найти полную работу при изменении положения точки на окружности на любое расстояние, соответствующее произвольному изменению

радиус-вектора г от	до (р2,	просуммируем работу:
	<Рг
	$Md<p = Mjd<p = M((p2-<pl).		(2.39)
	<?i .	<Pi

Если <рг - 4 0 , то А — М • (р — для вращательного движения;

A - F • S — для поступательного движения.

36

3 Обобщение

Проведём сравнение основных формул механики поступательного и вра-

щательного движения.
Поступательное							Связь характеристик	Вращательное
s (путь)							S = <pR	Ф (угловое перемещение)
V (скорость)							V-COR	(О (угловая скорость)
а (ускорение)							а = /3R	/3 (угловое ускорение)
						Основные законы кинематики
							равномерное	ф = СЛ
							движение
S =	v0t±			at2			равнопеременное	,,	* _l fit2
					г*		движение	q> = a)0t ±
S = A+Bt+Ci				+ D?		+	неРавномеРное	<p=A+Bt+Cr	+Dt> +...
				-rLsi		-г...	движение	^
							Первый закон Ньютона
i								2 > , . = o
								' 0 = 0
a = 0
v =			const				Второй закон Ньютона	со = const
_			F						Л£_
a		=	—						/
			m				Кинетическая энергия
W		= mv						WL	/йГ
кин				2
								L = mvr = Jсо
P = mv
(импульс)							Мера инертности	(момент импульса)
Ш (масса)								J (момент инерции)
F (сила)							работа, сила, энер-	М (момент силы)
А =			FS					А =	Мер
							гия

37

4 Единицы измерения в механике

Поступательное движение

Вращательное движение

dim S ~ [м]

dim ср ~ [рад]

dim v

г

м

dim а) -

рад

_

1

с

с

с

dim а

м

dim /3

=

рад

'

1

О

J

с"

с"

(иногда рад, как единица измерения, не пишется)

dim m = [кг]

dim J

=

\кг-мг\

F - та

М = FR

dimF =

кг • м

[Я]

dim М =

кг- м

[Н-м]

~2

С

Р = mv

L

=

JOJ =

MR'CO

dim Р •

кг • м

dimL =

кг- м

= mv

2^ ,2

W

W.,

Jco

mR(о

кип

2

2

2

dimW

кг - м2

dim Ж

=

кг- м

= {Дж]

= \Дж\

с

А = FS - maS

А = М(р

dim Л =

кг- м

• = \Дж]

dim А

кг- м2

Адж]

Мощность

t

t

V

1

t

t

dimN -

кг

м

\Вт\

dim N

-

кг-

м

>п

3

с \

Владимир Максимович Астахов

Елена Анатольевна Шишикина

МЕХАНИКА

Учебное пособие

Редактор: А.П.Шерстяков Корректор: Д.С.Шкитина

Подписано в печать 8.01.2003

Формат бумаги 62x84/16, отпечатано на ризографе, шрифт № 10, изд. л. 2,1, заказ № 25, тираж — 700 экз., СибГУТИ.

630102, г.Новосибирск, ул. Кирова, 86