lektsia_2_kurs_ITF

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Определение. Числовым рядом называется выражение вида

a1 a2 ... an ...,

(1)

где a1,a2,...,an,...- числа, принадлежащие некоторой определенной числовой последовательности.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования, а именно

a1 a2 ... an ... an .	(2)

n 1

Определение. Числа a1,a2,...,an,... называются членами ряда (2); an называется общим членом ряда.

Иногда общий член удобнее записывать так, чтобы индекс n принимал значения n 0,1,2,...

Определение. Ряд

a aq aq2	... aqn ... aqn	(3)

n 0

называется рядом геометрической прогрессии, а его сумма, как известно из школьного курса математики, равна

S 1aq .

Пример. Если взять a 1 и q							1		, то получим ряд
							2
1 1			1						1					1
				...							...				,	(4)
		22							2n					2n
2													n 0
			S				1				2.
					1 1 2
Определение. Ряд
	1	1			1		1 ...					1	...,			(5)
n 1 n					2			3				n

1

составленный из чисел, обратных натуральным числам, называется гармоническим рядом.

Примерами других рядов являются ряды

	1					1					1						1
				1										...							...,
			2					2			2								2
n 1 n						2											n
											3
				1						1			1						1				1
n 1																						...			... и другие.
		n(n 1)							1 2					2 3				3 4						n(n 1)
				Определение.												Сумма							первых		n членов ряда называется n-ой

частичной суммой ряда и обозначается Sn .

СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ

Определение.	Ряд	(1)	называется	сходящимся,	если
последовательность	его частичных сумм S1, S2, ...,Sn,...сходится,				то есть
если существует конечный предел
		limSn S .			(6)
		n

Число S при этом называется суммой ряда. Если предел (6) не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и ему не приписывают никакое числовое значение.

Пример. Исследовать на сходимость ряд lnn 1.

n 1 n

Решение. Для n-ой частичной суммы имеем:

	Sn ln2 ln	3	... ln	n 1		ln	2	3 ... (n 1)	ln(n 1).
		2		n			1	2 3 ... n

Следовательно, limSn limln(n 1) . То есть данный ряд расходится.

n n

		1
	Пример. Исследовать на сходимость ряд		.
	n 1 n(n 1)

Решение. Для n-ой частичной суммы имеем:

2

				S	n				1					1			...					1
							1 2						2 3									n(n 1)
		1		1					1				1					1				1			1				1
	1																				...							1			.
		2				2			3					3				4							n 1				n 1
																						n

				1
	Отсюда	limSn lim 1					1. Следовательно, данный ряд сходится и его
				n 1
		n	n

сумма равна 1.

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Свойство 1. Если ряд (2) сходится и его сумма равна S , то для произвольного числа c ряд

can ca1	ca2	... can ...	(7)

n 1

также сходится и его сумма равна cS . Если же ряд (2) расходится и c 0, то и ряд (7) расходится.

Пример. Если известно, что ряд (4) сходится, то показать, что и ряд

24 23 22 2 1 12 212 ... 2n14 ...

сходится.

Решение. В самом деле, если умножить ряд (4) на c 24, то получится наш данный ряд.

Свойство 2. Если ряды

an a1	a2	... an ...	(8)
n 1
и
bn b1	b2	... bn ...	(9)

n 1

сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то и каждый из двух рядов

(an bn) (a1	b1) (a2	b2) ... (an bn) ...	(10)

n 1

3

сходится и сумма каждого равна соответственно S1 S2 .

Пример. Исследовать на сходимость ряд 2n n3n и если он сходится,

n 0 6

найти его сумму.

Решение. Данный ряд может быть представлен в виде

	2n 3n			1				1				1			1
																	.
	6	n			3	n		2	n			3	n		2	n
n 0			n 0								n 0			n 0

Так как два последние ряда являются рядами геометрической прогрессии со знаменателями меньшими единицы, то они сходятся и их суммы

соответственно равны S1 32 и S2 2. Следовательно, наш данный ряд сходится и его сумма равна S S1 S2 23 2 72.

Следствие. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Свойство 3. Если в ряде (1) добавить и отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму добавленных или отброшенных членов.

Определение. Ряд

an k an 1 an 2 ...	ak	(11)
k 1	k n 1
называется n-м остатком ряда (1) и обозначается через rn .
Если ряд (1) сходится и его сумма равна S , то сумма rn ряда (11) равна
rn S Sn .
Следствие. Если ряд (1) сходится, то его остаток rn		стремится к нулю
при n .

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю.

4

Следствие. Если nliman 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

		1 n
Пример. Ряд 1			расходится, так как
n 1		n

nliman nlim 1 1n n e 0.

Эта теорема дает лишь необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно привести пример расходящегося ряда, общий член которого стремиться к нулю. Примером такого ряда может служить гармонический ряд (5).

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ Определение. Положительным рядом называется ряд, члены которого

неотрицательны.

Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда

an a1	a2	... an ...,	(1)
n 1
bn b1	b2	... bn ....	(2)

n 1

Если bn an для любого n, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит сумму ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

	1	1		1		1
n 2						...		....
	lgn		lg2		lg3		lgn

Решение. Сравниваем данный ряд с гармоническим. Имеем: lg1n 1n, n.

Следовательно, данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

5

Пример. Исследовать на сходимость ряд

	1		1		1		1	1
n 1								...		...
	n2n		1 2		2 22		3 23		n2n

Решение. Сравниваем данный ряд с рядом геометрической прогрессии (4), который является сходящимся рядом. Имеем:

n12n 21n , n.

Следовательно, данный ряд сходится.

Признак Даламбера. Пусть дан положительный ряд (1). Допустим, что

lim an 1 существует и

n an

lim an 1 l . (3)

n an

Тогда: 1) если l 1, то ряд (1) сходится;

2)если l 1, то ряд (1) расходится;

3)если l 1, то нужно использовать другой признак, так как на этот вопрос, данный признак не дает ответа.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

n

1

2

3

n

n 1

2

...

....

2n

22

23

2n

Решение. Имеем: an

n

,

an 1

n 1

. Откуда

2n

2n 1

lim

a

n 1

lim

n 1

:

n

lim

n 1

2n

lim

n 1

1

1.

an

2n 1

2n

n

2n

2

n

n

n 2n 1

n

Следовательно, данный ряд сходится.

Признак Коши. Пусть дан положительный ряд (1). Допустим, что

limn an существует и

n

	limn	an	l .	(4)
	n
Тогда: 1)	если l 1, то ряд (1) сходится;
2)	если l 1, то ряд (1) расходится;

6

3) если l 1, то нужно использовать другой признак, так как на этот вопрос, данный признак не дает ответа.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

n

n

1

2

2

3 3

n

n

...

....

3

2n 1

n 1

2n 1

5

7

n

n

Решение. Имеем: an

. Откуда

2n 1

limn

n

n

lim

n

1

1.

limn

an

2n 1

2

n

n

n 2n 1

Следовательно, данный ряд сходится.

Интегральный признак. Пусть дан положительный ряд (1), причем a1 a2 ... an ... и f (x) - такая непрерывная монотонно убывающая функция, что f (n) an . Тогда данный ряд и несобственный интеграл

f (x)dx

1

одновременно сходятся и расходятся.

Пример. Исследовать на сходимость гармонический ряд

	1 1				1	...			1	....
1
n 1 n			2		3				n
Решение. Так как 1	1		1 ...				1	..., то можем воспользоваться
	2		3				n

интегральным признаком. Рассмотрим функцию f (x) 1x , x 1. Имеем:

1x dx lnx1 ln ln1 ln .

1

Итак, гармонический ряд расходится.

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Определение. Ряды, содержащие как положительные, так и

отрицательные члены, называются знакопеременными.

7

Пусть дан знакопеременный ряд

an a1	a2	... an ....	(1)

n 1

Если в ряде (1) имеется лишь конечное число отрицательных (или положительных) членов, то отбрасывая их, получим ряд, члены которого имеют постоянный знак. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только ряды, которые среди своих членов содержат бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Обозначим через

p1 p2 ... pn ...

(2)

ряд, полученный из (1) заменой всех отрицательных членов нулями, при этом расположение положительных членов оставлено без изменения и через

q1 q2 ... qn ...

(3)

ряд, полученный из (1) заменой всех положительных нулями, а отрицательных – своими модулями. Рассмотрим также ряд, составленный из модулей всех членов ряда (1):

					a1					a2				...			an			....			(4)
Теорема. Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (3), (2) и (1). При
этом сумма S данного ряда (1) равна разности суммы S1																							ряда (2) и суммы S2
ряда (3), то есть
					S S1						S2.												(5)
Пример. Исследовать на сходимость ряд
	( 1)	n 1		1		1								1				( 1)			n 1
			1												...								...
	n2										42
n 1			22		32															n2

Решение. Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда

n12 1 212 312 ... n12 ...

n 1

сходится, следовательно, и данный ряд является сходящимся.

8

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4), составленный из модулей его членов.

Пример. Предыдущий пример является примером абсолютно сходящегося ряда.

Определение. Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (4), составленный из модулей его членов расходится.

Замечание. Если один из рядов (2) или (3) расходится, а другой сходится, то ряд (1) расходится, и если ряд (1) условно сходится, то каждый из рядов (2) и (3) расходятся.

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ Определение. Ряд называется знакочередующимся, если

положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно. При исследовании вопросов сходимости можем ограничиться

знакочередующимися рядами вида

a1 a2 a3 a4 ... ( 1)n 1an ...,

где a1,a2,...,an,... - положительные числа.

Теорема (Лейбница). Знакочередующийся ряд (6) сходится, если: 1) его члены убывают по модулю

a1 a2 a3 ... an ...; 2) его общий член стремится к нулю

nliman 0.

При этом сумма S ряда (6) удовлетворяет неравенствам

0 S a1.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

	( 1)	n 1	1	1		1		1	...	( 1)	n 1
											....
n 1	n			2		3		4		n

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Решение. Так как ряд (10) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница:

9

1) 1 12 13 ... 1n ...;

2) lim 1 0,

n n

то данный ряд сходится, причем его сумма меньше a1 1.

Ряд (9) является примером условно сходящегося ряда, так как ряд, составленный из модулей его членов

	1	1	1		1	...	1	...,
n 1 n			2		3		n

является гармоническим рядом, который, как известно, расходится.

ОЦЕНКА ОСТАТКА ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩЕГОСЯ РЯДА Теорема. Остаток rn знакочередующегося ряда имеет знак первого

своего члена ( 1)n an 1 и по модулю не превосходит модуль первого члена, то есть an 1.

Пример. Вычислить сумму S ряда

	( 1)	n 1	1	1		1		1	...	( 1)	n 1
											...
n 1	n			2		3		4		n

с точностью до 0,1.

Решение. В качестве приближенного значения суммы S мы должны взять ту частичную сумму Sn , для которой

rn 0,1.

Согласно теореме имеем:

rn an 1 n11,

Следовательно, достаточно положить

	1		0,1;	1				1	;	n 1 10; n 9.
	n 1			n 1			10

Тогда

10