Расчетные задания (Кузнецов) / 7-Кратные интегралы

§ 7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Определения двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2)Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3)Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4)Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5)Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6)Замена переменных в двойном интеграле.

7)Якобиан, его геометрический смысл.

8)Двойной интеграл в полярных координатах.

9)Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10)Тройной интеграл в сферических координатах.

§7.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1)Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

∫∫xm yn dxdy = 0 ,

x2 +y2 ≤R2

если m и n — натуральные числа и, по меньшей мере, одно из нихнечетно. 2) С помощью теоремы о среднем найти

				R→0	1	2		∫∫	f (x, y)dxdy ,
				lim	πR
							x2 +y2 ≤R2
где		f (x, y) — непрерывная функция.
'3) Оценить интеграл
		dxdydz		, x0	2 + y0			2 + z0		2 > R2 ,
∫∫∫		(x − x0 )2 +( y − y0 )2
			+(z − z0 )2

т. е. указать, междукакимизначениямизаключенаеговеличина.

4) Вычислить двойной интеграл ∫∫D f (x, y)dxdy , если область D — прямоугольник {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, а

f (x, y) = Fxy′′(x, y).

5) Доказать равенство

∫∫D f (x)g( y)dxdy = ∫b	f (x)dx∫d g( y)dy,
a	c
если область D —прямоугольник {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.

6)Доказать формулу Дирихле.

∫a dx∫x	f (x, y)dy = ∫a dy∫a	f (x, y)dx, a > 0.
0 0	0 y

7) Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

a y a

∫dy∫ f (x)dx = ∫(a − x) f (x)dx.

0 0 0

8) Какой из интегралов больше

1	1	1	1	1−x			1−x−y
∫dx∫dy∫ f (x, y, z)dz или			∫dx		∫	dy	∫ f (x, y, z)dz,
0	0	0	0		0		0
если		f (x, y, z) > 0?

Задача 1. Изменить порядок интегрирования.

1.

−∫1dy

∫0

fdx + ∫0

dy

∫0

fdx.

−2

− 2+y

−1

− −y

2.

∫1

dy ∫0

fdx + ∫2dy

∫0

fdx.

0

−

y

1

−

2−y2

1

y

2

2−y2

3.

∫dy

∫ fdx + ∫dy

∫ fdx.

0

0

1

2−y

∫1

y

fdx + ∫2 dy

2−y

4.

dy ∫

∫ fdx.

0

0

1

0

5.

−∫1dy

∫0

fdx + ∫0

dy∫0

fdx.

−

2

−

2−x2

−1

x

1 /

2

arcsin y

1

arccos y

6.

∫dy

∫

fdx +

∫dy

∫ fdx.

0

0

1 /

2

0

−∫1dy

2+y

fdx + ∫0

−y

7.

∫

dy ∫ fdx.

−2

0

−1

0

1

0

e

−ln y

8.

∫dy

∫

fdx + ∫dy

∫ fdx.

0

−

y

1

−1

−1			2−x2			0		x2
9.	∫dx		∫		fdy + ∫dx				∫ fdy.
−	2		0			−1			0
	−	3		0			0				0
10.	∫dx			∫	fdy + ∫dx						∫ fdy.
	−2		− 4−x2				− 3				4−x2 −2
11.	∫1	dx ∫1		fdy + ∫e		dx ∫1			fdy.
	0		1−x2		1		ln x
	∫1		3 y	fdx + ∫2 dy			−
12.		dy ∫					2∫yfdx.
	0		0		1		0
	π.4		sin y		π	/ 2		cos y
13.	∫dy ∫				fdx + ∫dy				∫ fdx.
	0		0		π / 4				0
14.	−∫1dx ∫0				fdy + ∫0 dx ∫0						fdy.
	−2		−(2+x)			−1			3 x
	π	/ 4	sin y		π / 2			cos y
15.	∫dy ∫				fdx +	∫dy ∫ fdx.
	0		0		π / 4				0
16.	∫1	dy ∫0		fdx + ∫2 dy					∫0	fdx.
	0		−	y	1		−		2−y

17.	∫1 dy ∫0			fdx + ∫2dy			∫0	fdx.
	0	−y			1	−	2−y2
	1		y3		2	2−y
18.	∫dy		∫	fdx + ∫dy ∫ fdx.
	0		0		1	0
19.	∫3dx			∫0	fdy + ∫2 dx					∫0	fdy.
	0		4−x2 −2				3		− 4−x2
20.	−∫1dy			∫0	fdx + ∫0 dy ∫0				fdx.
	−2		−(2+y)			−1	3 y
	1		y		e	1
21.	∫dy		∫	fdx + ∫dy ∫ fdx.
	0	−0			1	ln y
	1	x2			2	2	−x2
22.	∫dx		∫	fdy + ∫dx			∫	fdy.
	0		0		1		0
	π / 4		sin x			π / 2	cos x
23.	∫dx ∫ fdy +					∫dx		∫	fdy.
	0			0		π / 4		0
24.	∫1	dy		∫0	fdx + ∫0		dy∫0			fdx.
	−	2	−	2−y2		−1		y
Задача 2. Вычислить.
1. ∫∫(12x2 y2					+16x3 y3 )dxdy; D :

	1		x3		2 2−x
25.	∫dx		∫	fdy + ∫dx		∫	fdy.
	0		0		1	0
		3	2− 4−x2				2		4	−x2
26.	∫dx			∫	fdy + ∫dx					∫	fdy.
	0			0			3			0
27.	∫1	dx ∫0		fdy + ∫2 dx				∫0	fdy.
	0		−	x	1	−		2−x
	1		x		2	2−x2
28.	∫dx		∫	fdy + ∫dx			∫	fdy.
	0		0		1		0
	1		y		2		2−y2
29.	∫dy ∫			fdx + ∫dy			∫ fdx.
	0		0		1			0
	1		x		2	2−x
30.	∫dx		∫	fdy + ∫dx		∫		fdy.
	0		0		1	0
	−	3		4−x2		0			2− 4−x2
31.	∫dx			∫	fdy + ∫dx					∫	fdy.
	−2			0		−	3			0

x =1, y = x2 , y = − x.

D

2.	∫∫(9x2 y2 +48x3 y3 )dxdy; D : x =1, y =		x, y = −x2 .
	D
3.	∫∫(36x2 y2	−96x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = 3 x, y = −x3 .
	D
4.	∫∫(18x2 y2	+32x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −3		x.
	D
5.	∫∫(27x2 y2	+48x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = −3		x(x ≥ 0).
	D
6.	∫∫(18x2 y2	+32x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = 3	x, y = −x2 (x ≥ 0).

D

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

7.

∫∫(18x2 y2

+32x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −

x.

D

8.

∫∫(27x2 y2

+48x3 y3 )dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x3 .

D

9.

∫∫(4xy +16x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = − x.

D

10.

∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x2 .

D

11.

∫∫(8xy +9x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = 3

x, y = −x3 .

D

12.

∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −3

x.

D

13.

∫∫(12xy +27x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = −3

x(x ≥ 0).

D

14.

∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy; D : x =1, y = 3

x, y = −x2 (x ≥ 0).

D

4

9

2

2

3

15.

∫∫

xy +

x

y

dxdy; D : x =1, y = x

, y = −

x.

5

11

D

4

2

2

3

16.

∫∫

xy +

9x

y

dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x

.

5

D

17.

∫∫(24xy +48x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = −

x.

D

18.

∫∫(6xy + 24x3 y3 )dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x2 .

D

19.

∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = 3

x, y = −x3 .

D

20.

∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

D

21.

∫∫(44xy +16x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = −3

x(x ≥ 0).

D

22.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = 3

x, y = −x3 (x ≥ 0).

D

23.

∫∫(xy −4x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = − x.

D

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

24.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x3 .

D

2

2

25

3

3

2

25.

∫∫

6x

y

+

x

y

dxdy; D : x =1, y = x

, y = − x.

3

D

26.

∫∫(9x2 y2

+ 25x4 y4 )dxdy; D : x =1, y =

x, y = −x2 .

D

50

4

27.

∫∫

3x

2 y2

+

x4 y

dxdy; D : x =1, y = 3 x, y = −x3 .

3

D

28. ∫∫(9x2 y2 + 25x4 y4 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

D

29. ∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy; D : x =1, y = x2 , y = −3

x(x ≥ 0).

D

30. ∫∫(xy −9x5 y5 )dxdy; D : x =1, y = 3 x, y = −x2 (x ≥ 0).

D

31. ∫∫(54x2 y2 +150x3 y3 )dxdy; D : x =1, y = x3 , y = −

x.

D

Задача 3. Вычислить.

1.

∫∫yexy / 2 dxdy; D : y = ln 2, y = ln 3, x = 2, x = 4.

D

2.

∫∫y2 sin

xy

dy; D : x = 0, y = π , y =

x

.

2

D

2

3.

∫∫y cos xydxdy; D : y =

π , y =π, x =1, x = 2.

D

2

4.

∫∫y2 e−xy / 4 dxdy; D : x = 0, y = 2, y = x.

D

5.

∫∫y sin xydxdy; D : y =

π , y =π, x =1, x = 2.

D

2

6.

∫∫y2 cos

xy

dxdy; D : x

= 0, y =

π , y

=

x

.

D

2

2

2

7.

∫∫4 ye2 xy dxdy; D : y = ln 3, y = ln 4, x =

1

, x =1.

2

D

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

8.	∫∫4 y2 sin xydxdy; D : x = 0, y =			π	, y = x.
		D		2
9.	∫∫y cos 2xdxdy; D : y =		π , y =π, x =				1		, x =1.
		D	2		2
10.		∫∫y2 e−xy / 8 dxdy; D : x = 0, y = 2, y			=	x		.
		D			2
11.		∫∫12 y sin 2xydxdy; D : y = π , y =			π , x = 2, x = 3.
		D	4		2
12.		∫∫y2 cos xydxdy; D : x = 0, y =		π , y = x.
		D
13.		∫∫yexy / 4 dxdy; D : y = ln 2, y = ln 3, x = 4, x = 8.
		D

14. ∫∫4 y2 sin 2xydxdy; D : x = 0, y = 2π , y = 2x.

D

ππ

15.∫∫D 2 y cos 2xydxdy; D : y = 4 , y = 2 , x =1, x = 2.

16.	∫∫y2 e−xy / 2 dxdy; D : x = 0, y =	2, y = x.
	D
17.	∫∫y sin xydxdy; D : y =π, y = 2π, x =		1	, x =1.
	D	2
18.	∫∫y2 cos 2xydxdy; D : x = 0, y =	π , y		=	x	.
	D	2		2

11

19.∫∫D 8e4 xy dxdy; D : y = ln 3, y = ln 4, x = 4 , x = 2 .

20.	∫∫3y2 sin	xy	dxdy; D : x = 0, y =		4π				, y =						2	x.
		2			3
	D											3
21.	∫∫y cos xydxdy; D : y =π, y = 3π, x =									1		, x =1.
									2
	D
22.	∫∫y2 e−xy / 2 dxdy; D : x = 0, y =1, y =						x	.
	D				2
23.	∫∫y sin 2xydxdy; D : y = π , y =			3π		, x =							1	, x = 3.
				2								2
	D	2

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

24.

∫∫y2 cos xydxdy; D : x = 0, y =

π , y = 2x.

D

25.

∫∫6 yexy / 3 dxdy; D : y = ln 2, y = ln 3, x = 3, x = 6.

D

26.

∫∫y2 sin

xy

dxdy; D : x = 0, y =

π , y = x.

D

2

27.

∫∫y cos 2xdxdy; D : y =

π

, y =

3π

, x =

1

, x = 2.

2

2

2

D

28.

∫∫y 2 e−xy / 8 dxdy; D : x = 0, y = 4, y = 2x.

D

29.

∫∫3y sin xydxdy; D : y =

π

, y = 3π, x =1, x = 3.

D

2

30.

∫∫y2 cos

xy

dxdy; D : x = 0, y =

2π , y = 2x.

D

2

31.

∫∫12 ye6 xy dxdy; D : y = ln 3, y = ln 4, x =

1

, x =

1

.

6

3

D

Задача 4. Вычислить.

x = 0, y =1, y = x,

1.

∫∫∫2 y2 exy dxdydz;V

z = 0, z

=1.

V

∫∫∫x

2 z sin(xyz)dxdydz;V

x = 2, y =π, z =1,

2.

V

x = 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫y

2 ch(2xy)dxdydz;V

x = 0, y

= −2, y = 4x,

3.

z = 0, z = 2.

V

x

= −1, y

= 2, z =1,

4.

∫∫∫8y2 ze2 xyz dxdydz;V

V

x = 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫x

x =1, y = 2x, y = 0,

5.

2 sh(3xy)dxdydz;V

z = 0, z = 36.

V

6.

∫∫∫y

x

=1, y =π, z = 2,

2 z cos xyzdxdydz;V

V

x

= 0, y = 0, z = 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

π

x

∫∫∫y

2

xy

x = 0, y = −1, y

=

,

2

7.

cos

4

dxdydz;V

V

z = 0, z = −π

2

.

∫∫∫x2 z sin

xyz

x =1, y = 2π, z = 4,

8.

dxdydz;V

4

= 0, y = 0, z = 0.

V

x

x

= 0, y

= −2, y = 4x,

9.

∫∫∫y2 e−xy dxdydz;V

z = 0, z =1.

V

∫∫∫2 y2 zexyz dxdydz;V

x

=1, y =1, z =1,

10.

= 0, y = 0, z = 0.

V

x

∫∫∫y

x = 0, y =1, y = x,

11.

2 ch(2xy)dxdydz;V

z = 0, z = 8.

V

12.

∫∫∫x

x

= 2, y =1, z =1,

2 zsh(xyz)dxdydz;V

V

x

= 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫y

x = 0, y = 2, y = 2x,

13.

2 exy / 2 dxdydz;V

z = 0, z = −1.

V

∫∫∫y

2 z cos

xyz

dxdydz;V

x = 3, y =1, z = 2π,

14.

V

3

x = 0, y = 0, z = 0.

15.

∫∫∫y

2

πxy

x = 0, y = −1, y = x,

cos

2

dxdydz;V

z = 0, z = 2π

2

.

V

16.

∫∫∫2x2 zsh(xyz)dxdydz;V

x =1, y = −1, z =1,

V

x = 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫y

2 cos(πxy)dxdydz;V

x

= 0, y =1, y = 2x,

17.

z = 0, z =.π

2

V

1

1

2 , z

= 2 ,

18.

∫∫∫2x2 zsh(2xyz)dxdydz;V x = 2, y =

V

= 0.

x = 0, y = 0, z

∫∫∫x

x = −1, y = x, y = 0,

19.

2 sh(2xy)dxdydz;V

z = 0, z = 8.

V

∫∫∫x

2 z sin

xyz

x =1, y = 4, z =π,

20.

dxdydz;V

V

2

x

= 0, y = 0, z = 0.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

	∫∫∫y								x =	0, y = −1, y = x,
21.		2 ch(xy)dxdydz;V								z = 0, z = 2.
	V
22.	∫∫∫y								x =1, y =1, z =1,
		2 zch(xyz)dxdydz;V
	V								x	= 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x	2		π					x = 2, y = x, y = 0,
23.			sin	2		xy dxdydz;V				z = 0, z =π.
	V
	∫∫∫y	2 z cos			xyz				x = 9, y =1, z = 2π,
24.								dxdydz;V
	V					9			x = 0, y = 0, z = 0.
25.	∫∫∫x2 sin(πxy)dxdydz;V : x =1, y = 2x, y = 0, z = 0, z = 4π.
	V
	∫∫∫y	2	xyz
26.			zch				dxdydz;V : x = 2, y = −1, z = 2, x = 0, y = 0, z =
						2
	V
27.	∫∫∫y2 ch(3xy)dxdydz;V : x = 0, y = 2, y = 6x, z = 0, z = −3.
	V

1

28. ∫∫∫2 y2 zch(2xyz)dxdydz;V : x = 2 , y = 2, z = −1, x = 0, y = 0, z

V

	29.	∫∫∫x2 sin(4πxy)dxdydz;V : x =1, y =			x	, y = 0, z = 0, z = 8π.
		V		2
	30.	∫∫∫8y2 ze−xyz dxdydz;V : x = 2, y = −1, z = 2, x = 0, y = 0, z = 0.
		V
	31.	∫∫∫x2 sh(xy)dxdydz;V : x = 2, y =	x	, y = 0, z = 0, z =1.
			2
		V

0.

= 0.

Задача 5. Вычислить.

1.

∫∫∫xdxdydz;V : y =10x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.

V

2.

∫∫∫

dxdydz

;V :

x

+

y

+

z

=1, x = 0, y =

0, z = 0.

x

y

z

4

3

V

4

8

1 +

+

+

3

4

8

3.

∫∫∫15( y2

+ z 2 )dxdydz;V : z = x + y, x + y =1, x = 0, y −0, z = 0.

V

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

4.

∫∫∫(3x + 4 y)dxdydz;V : y = x, y = 0, x =1, z = 5(x2

+ y2 ).

V

5.

∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz;V : y = 9x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.

V

6.

∫∫∫(27 +54 y3 )dxdydz;V : y = x, y = 0, x =1, z =

xy, z = 0.

V

7.

∫∫∫ydxdydz;V : y =15x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.

V

8.

∫∫∫

dxdydz

;V :

x

+

y

+

z

=1, x = 0, y = 0, z = 0.

x

y

z

5

16

V

8

3

1 +

+

+

16

8

3

9. ∫∫∫(3x2

+ y2 )dxdydz;V : z =10 y, x + y =1, x = 0, y = 0, z = 0.

V

10.

∫∫∫(15x +30z)dxdydz;V : z = x2

+3y2 , z = 0, y = x, y = 0, x =1.

V

11.

∫∫∫(4 +8z3 )dxdydz;V : y = x, y = 0, x =1, z =

xy, z = 0.

V

12.

∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz;V : y = 36x, y = 0, x =1, z =

xy, z = 0.

V

13.

∫∫∫21xzdxdydz;V : y = x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

V

14.

∫∫∫

dxdydz

;V :

x

+

y

+

z

=1, x = 0, y = 0, z = 0.

x

y

z

6

10

V

8

3

1 +

+

+

10

8

3

15.

∫∫∫(x2

+3y2 )dxdydz;V : z =10x, x + y =1, x = 0, y = 0, z = 0.

V

16.

∫∫∫(60 y +90z)dxdydz;V : y = x, y = 0, x =1, z = x2 + y2 , z = 0.

V

∫∫∫

10

5

17.

x +

dxdydz;V : y = 9x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.

3

V

3

18.	∫∫∫(9 +18z)dxdydz;V : y = 4x, y = 0, x =1, z = xy, z = 0.
	V
19.	∫∫∫3y2 dxdydz;V : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

V