Расчетные задания (Кузнецов) / 8-Векторный анализ

§8.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Скалярное поле. Производная по направлению.

2)Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.

3)Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл.

4)Формула Остроградского.

5)Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.

6)Соленоидальное поле, его основные свойства.

7)Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и физический смысл.

8)Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.

9)Формула Стокса.

10)Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное определение ротора.

11)Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

12)Потенциальное поле. Условия потенциальности.

§ 8.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1)Найти производную скалярного поля u = u(x, y, z) по направлению градиента скалярного поля

v= v(x, y, z).

2)Найти градиент скалярного поля U = Cr , где C — постоянный вектор, а r — радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к вектору C ?

3)Доказать, что если 5 — замкнутая кусочно-гладкая поверхность и C — ненулевой постоянный вектор, то

∫∫cos(n^ C)dS = 0,

S

где n —вектор, нормальный к поверхности S . 4) Доказатьформулу

∫∫ϕan0 dS = ∫∫∫(ϕdiva + agradϕ)dV ,

S V

где ϕ =ϕ(x, y, z) ; S — поверхность, ограничивающая объем V ; n0 — орт внешней нормали к поверхности

S. Установить условия применимости формулы.

5)Доказать, что если функция u(x, y, z) удовлетворяет уравнению Лапласа

∂2U2 +		∂2u2	+	∂2u2 = 0, то ∫∫∂u dS = 0,
∂x		∂y		∂z	S ∂n
где	∂U	— производная по направлению нормали к кусочно-гладкой замкнутой поверхности S .
	∂n

6) Доказать, что если функция u(x, y, z) является многочленом второй степени и S — кусочно-гладкая

∂u

замкнутая поверхность, то интеграл ∫∫S ∂n dS пропорционален объему, ограниченному поверхностью S .

7) Пусть a = Pi +Qj + Rk , где P, R,Q — линейные функции от x, y, z , и пусть Г — замкнутая кусочно-

гладкая кривая, расположенная в некоторой плоскости. Доказать, что если циркуляция ∫Гadr отлична от нуля,

то она пропорциональна площади фигуры, ограниченной контуром Г .

8) Твердоетеловращаетсяспостояннойугловойскоростьювокругнеподвижнойоси, проходящейчерезначало координат. Вектор угловой скорости w = wxi + wy j + wz k . Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей v = [wr]точек тела (здесь r — радиус-вектор).

§ 8.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке М по направлению проходящей через эту

точку нормали к поверхности S , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz .

1.

u = 4 ln(3 + x2 ) −8xyz, S : x2

−2 y2

+ 2z2

=1, M (1,1,1).

2.

u = x

y + y

z, S : 4z −2x2

− y2 =8, M (2,4,4).

3.

u = −2 ln(x2

−5) −4xyz, S : x2

+ y2 −2z 2

=1, M (1,1,1).

1

2

2

2

2

2

2

1

4. u =

x

y −

x

+5z

, S : z

= x

+ 4 y

−4, M

−2,

,1 .

4

2

5.

u = xz 2 −

x3 y , S : x2 −2 y 2

−3z +12 = 0, M (2,2,4).

6.

u = x y − yz2 , S : x2

+ y2 = 4z +9, M (1,1,1).

1

2

2

2

2

7.

u = 7 ln

+ x

−4xyz, S : 7x

−

4 y

+ 4z

= 7, M (1,1,1).

13

y

2

2

8.

u = arctg

+ xz, S

: x

+ y

−2z =10, M (2,2,−1).

x

9.

u = ln(1 + x2 ) − xy z , S : 4x2

− y2

+ z 2

=16, M (1,−2,4).

10. u =

x2

+ y 2 − z, S : x2

+ y 2

= 24z +1, M (3,4,1).

11. u = x y −(z + y) x, S : x2 − y2 + z2 = 4, M (1,1,−2).

12. u = xy − 4 − z 2 , S : z = x2 − y 2 , M (1,1,0).

13. u = (x2 + y2 + z2 )3 / 2 , S : 2x2 − y2 + z 2 −7 = 0, M (0,−3,4).

14. u = ln(1 + x2 + y2 ) − x2 + z 2 , S : x2 −6x +9 y2 + z 2 = 4z + 23, M (3,0,−4).

Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке М по направлению вектора I .

15. u = (x2 + y2 + z2 )3 / 2 , I = i − j + k, M (1,1,1).

16. u = x +ln(z 2 + y2 ), I = −2i + j −k, M (2,1,1).

17.u = x2 y − xy + z 2 , I = 2 j − 2k, M (1,5,−2).

18.u = y ln(1 + x2 ) −arctgz, I = 2i −3 j −2k, M (0,1,1).

19.u = x(ln y − arctgz), I = 8i + 4 j +8k, M (−2,1,−1).

20.u = ln(3 − x2 ) + xy2 z, I = −i + 2 j −2k, M (1,3,2).

21.u = (sin(x +2 y) + xyz, I = 4i +3 j, M (π / 2,3π / 2,1).

22.u = x2 y 2 z −ln(z −1), I = 5i −6 j + 2 5k, M (1,1,2).

23.u = x3 + y 2 + z 2 , I = − j − k, M (1,−3,4).

24.u = yx − x +yz y , I = 2i + k, M (4,1,−2).

25.u = xy + 9 − z 2 , I = −2i + 2 j − k, M (1,1,0).

26.u = 2 x + y + yarctgz, I = 4i −3k, M (3,−2,1).

27.u = z 2 + 2arctg(x − y), I = i + 2 j −2k, M (1,2,−1).

28.u = ln(x2 + y2 ) + xyz, I = i − j +5k, M (1,−1,2).

29.u = xy − xz , I = 5i + j −k, M (−4,3,−1).

30.u = ln(x + y 2 + z 2 ), I = −2i − j + k, M (1,−3,4).

31.u = x2 −arctg( y + z), I = 3 j −4k, M (2,1,1).

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей u(x, y, z) и v(x, y, z) в точке М .

		x3													3															3											yz2																									1								1
1.	v =				+6 y												+				3 6z										,u =																	, M										2,													,							.
																																												2
		2																																								x																								2
																																																																												3
		4			6												6							3													2						3															1								3
	v =									−										+								, u			= x								yz						, M
2.																																																						2,					,										.
			x											9 y												z																																3								2
											3							y				3							4z				3													z			3										1															3
3.	v = 9			2x										−													−								, u =																		, M												,2,											.
																	2					2									3														xy					2									3															2
		3							4								1																		z																							1
4.	v =		+										−												, u =																	, M 1,2,																				.
																																		3				2
		x							y									6z														x				y
																																																										6
		x3													3															3												x2																								1								1
5.	v =				+6 y												+				3 6z										, u					=												, M										2,													,							.
																																													2
		2																																							yz																									2
																																																																												3
											2							y		2															2													z			2											1												2
	v = 3			2x										−											−						2z						,u =																		, M
6.																												3																																						,2,												.
																				2																										xy						2										3												3
	v = 6 6x										3						6 6 y											3				2z				3		, u										xz					2		, M											1								1
7.														−															+														=																										,									,1 .
																																																		y																6										6
			6											6										2										yz					2						3												1									1								1
8.	v =						−											+										, u =														z				, M															,									,								.
		2x										2 y 3z																									x
																																																										2 2 3

							2									y				2																						2																	xy						2																1														3
9. v = 3			2x							−														−														2z							,u =																										, M
																															3																																																							,2,																	.
																				2																																									z		2																		3														2
	v =	3					4													1								, u												x3 y									2				, M																									1
10.				+							−																									=																										1,2,																							.
		x					y													6z																									z
																																																																															6
	v = −		4				2														2															1							, u =																	1											, M																	1							1
11.											+																	+																																																						2,									,													.
																																																												2
						x											9 y																					3z																			x					yz																										3
																																																																																																				6
		6					2										3						3																							x			2																																												3
	v =			+							−																					,u =																									, M
12.																																																																										2,											2,															.
		x					y									2							2z																					y		2			z			3																																							2
	v = x		2		+9 y									2								6z									2		, u = xyz, M																																						1								1
13.																	+																																													1,												,												.
																																																																							3
																																																																																6
		2					3														6																					y			3																						2												3							1
	v =			+										−															, u							=														, M
14.																																																																									,										,								.
		x					2 y													4z																				x				2		z																					3												2							2
	v =		2x				2								3y						2																	2z							2	, u = xy																					2				z, M																		2										1
15.										−																−6																																																							1,												,												.
																				2																																																																					3
																																																																																																					6
	v = −					6												6														2						, u =													x											M												1												1									1
16.										+													−																																				,																						,												,												.
																																																							2
				2x											2 y 3z																																	yx
																																																																													2 2 3
		6					2										3						3																					y		2			z			3																																									3
	v =			+							−																					,u =																									, M
17.																																																																										2,											2,															.
		x					y									2							2z																							x			2																																										2
			1								2 2																					3 3																							y				2			z		3																					1
	v =								−																−																	, u =																												, M																																					3
18.																																																																																											,				2,														.
			2x														y																	2z																										x																										2																	2
	v = 6				6x					3														6 y									3				+ 2z									3		, u																	y									, M														1											1
19.													−6																																										=																																						,														,1 .
																																																																					2
																																																														xz																											6												6
	v = x		2		− y						2				−3z										2					, u											yz					2				, M																1													1											1
20.																																				=																																						,												,											.
																																												x																									2										2
																																																																																												3
		3x			2							y				2																						2																	z				2																				2																2
	v =						−													+												2z							, u =																											, M
21.																																																																																			,2,																		.
				2										2																																					x				2				y			2																	3																3
		x	3								y			3										8z								3																		x			2																																														3
	v =						−													−																, u =																									, M
22.																																																																														2,										2,															.
			2											2																	3															y				2			z				3																																						2
		3				2												2																	2																2													3																					1										3
	v =		x				+				3y											−2z																, u						= x											y, z												, M
23.																																																																															2,										,														.
		2																																																																																			3										2
										3										y			3														4z					3																	xy						2																1														3
	v = 9				2x								−																			−													,u =																										, M
24.																																																																																						,2,																	.
																	2								2														3																						z		3																		3														2
	v =		2x				2								3y						2																	2z							2	, u =																		1											, M																2										1
25.										−																−6																																																									1,												,												.
																																																																			2
																				2																																									xy										z																				3
																																																																																																						6

	v = x		2		+9 y							2		+6z					2		, u =							1					, M											1								1
26.																																						1,											,								.
																											xyz																	3
																																																					6
			1							2 2										3			3												x																	1																	3
	v =						−										−								, u				=														, M
27.																																																											,		2,											.
				2x										y							2z												y		2		z			3															2														2
	v = −			4 2										2									1			, u				= x					2			yz, M																	1						1
28.										+							+																																			2,							,								.
						x								9 y									3x																																3
																																																															6
		x		3						y		3				8z				3								y		2		z		3																											3
	v =					−									−								, u =														, M
29.																																																			2,						2,										.
				2								2							3											x		2																													2
				3x			3						2 2 y						3												3												x			2			z												2								3			1
	v = −								+														+8 3z										, u				=														, M
30.																																																																	,					,				.
					2									3																														y				3													3								2			2
	v = x		2		− y					2		−3z					2	, u									x			, M											1										1								1
31.																							=																									,							,								.
																												2
																									yz																2											2
																																																											3

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a .

1.a = 4 yi −9xj.

2.a = 2 yi +3xj.

3.a = 2xi + 4 yj.

4.a = xi +3yj.

5.a = xi + 4 yj.

6.a = 3xi + 6zk.

7.a = 4zi −9xk.

8.a = 2zi +3xk.

9.a = 4 yj +8zk.

10.a = yj +3zk.

11.a = 2xi +8zk.

12.a = xi −3zk.

13.a = 4zj −9 yk.

14.a = 2zj +3 yk.

15.a = 5xi +10 yj.

16.a = 2xi + 6 yj.

17.a = yj + 4zk.

18.a = xi + yj.

19.a = 9 yi − 4xj.

20.a = 5 yi + 7 xj.

21.a = 6xi +12zk.

22.a = 2 yj + 6zk.

23.a = 4xi + yj.

24.a = 9zi − 4xk.

25.a = xi + zk.

26.a = 5zi + 7 xk.

27.a = 7 yj +14zk.

28.a = 2xi + 6zk.

29.a = 4xi + zk.

30.a = 5zj + 7 yk.

31.a = 9zj − 4 yk.

Задача 4. Найти поток векторного поля ачерез часть поверхности S , вырезаемую плоскостями P1 , P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

1.	a = xi + yj + zk, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P : z = 2.
				1	2
2.	a = xi + yj − zk, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P : z = 4.
				1	2
3.	a = xi + yj + 2zk, S : x2 + y		2 =1, P : z = 0, P : z = 3.
				1	2
4.	a = xi + yj + z3 k, S : x2 + y		2 =1, P : z = 0, P : z =1.
				1	2
5.	a = xi + yj + xyzk, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P : z = 5.
				1	2
6.	a = (x − y)i +(x + y) j + z 2 k, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P : z = 2.
					1	2
7.	a = (x + y)i −(x − y) j + xyzk, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P						: z = 4.
					1	2
8.	a = (x3 + xy2 )i +( y3 + x2 y) j + z 2 k, S : x2 + y2 =1, P : z = 0, P : z = 3.
						1	2
9.	a = xi + yj +sin zk, S : x2 + y2			=1, P : z = 0, P		: z = 5.
				1	2
10.		a = xi + yj + k, S : x2 + y2	=1, P : z = 0, P : z =1.
				1	2
Найти поток векторного поля ачерез поверхности S , вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой
поверхности, образуемой данными поверхностями).
11.		a = (x + xy2 )i +( y − yx2 ) j +(z −3)k, S : x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), P : z =1.
12.		a = yi − xj + k, S : x2 + y2	= z 2 (z ≥ 0), P : z = 4.
13.		a = xyi − x2 j +3k, S : x2 + y2		= z 2 (z ≥ 0), P : z =1.
14.		a = xzi + yzj +(z 2 −1)k, S : x2		+ y2	= z 2 (z ≥ 0), P : z = 4.
15.		a = y2 xi − yx2 j + k, S : x2	+ y2 = z 2 (z ≥ 0), P : z = 5.
16.		a = (xz + y)i +( yz − x) j +(z 2		−2)k, S : x2 + y2 = z 2 (z ≥ 0), P : z = 3.
17.		a = xyzi + x2 zj +3k, S : x2	+ y2 = z 2 (z ≥ 0), P : z = 2.
18.		a = (x + xy)i +( y − x2 ) j +(z −1)k, S : x2 + y2				= z 2 (z ≥ 0), P : z = 3.
19.		a = (x + y)i +( y − x) j +(z −2)k, S : x2 + y2 = z 2 (z ≥ 0), P : z = 2.
20.		a = xi + yj +(z −2)k, S : x2 + y2 = z 2 (z ≥ 0), P : z = 2.
21.		a = (x + xz)i + yj +(z − x2 )k, S : x2			+ y2 + z 2 = 4(z ≥ 0), P : z = 0.
22.		a = (xi +( y + yx2 ) j +(z − zy2 )k, S : x2 + y2 + z 2 = 5, P : z = 0(z ≥ 0).
23.		a = (x + z)i +( y + z) j +(z − x − y)k, S : x2 + y2 + z 2 = 4, P : z = 0(z ≥ 0).
24.		a = (x + xy)i +( y − x2 ) j + zk, S : x2			+ y2 + z 2	=1, P : z = 0(z ≥ 0).
25.		a = (x + z) + yj +(z − x)k, S : x2 + y2 + z 2 =1, P : z = 0(z ≥ 0).
26.		a = xi +( y + yz) j +(z − y2 )k, S : x2			+ y2 + z 2	=1, P : z = 0(z ≥ 0).
27.		a = (x − y)i +(x + y) j + zk, S : x2 + y2 + z 2 =1, P : z = 0(z ≥ 0).

28.	a = (x + xz2 )i + yj +(z − zx2 )k, S : x2 + y2 + z 2 = 9, P : z = 0(z ≥ 0).
29.	a = (x + y)i +( y − x) j + zk, S : x2 + y2	+ z 2	= 4, P : z = 0(z ≥ 0).
30.	a = (x + xy2 )i +( y − yx2 ) j + zk, S : x2	+ y2	+ z 2 = 9, P : z = 0(z ≥ 0).
31.	a = xi +( y + z) j +(z − y)k, S : x2 + y2	+ z 2	= 9, P : z = 0(z ≥ 0).

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в первом октанте

(нормаль образует острый угол с осью Oz .

1.a = xi + yj + zk, P : x + y + z =1.

2.a = yj + zk, P : x + y + z =1.

3.a = 2xi + yj + zk, P : x + y + z =1.

4.a = xi +3yj + 2zk, P : x + y + z =1.

5.a = xi +3yj, P : x + y + z =1.

6.a = xi + yj + zk, P : 2x + y + z =1.

7.a = xi +2 yj + zk, P : 2x + y + z =1.

8.a = yj +3zk, P : 2x + y + z =1.

9.a = xi + yj + zk, P : x + 2y + 3z =1.

10.a = 2xi + yj + zk, P : x + 2y + 3z =1.

11.a = 3xi + 2zk, P : x + 2y + 3z =1.

12.a = 2xi +3yj + zk, P : 3x + y + 2z =1.

13.a = xi +3yj − zk, P : 3x + y + 2z =1.

14.a = −2xi + yj + 4zk, P : 3x + y + 2z =1.

15.a = xi − yj +6zk, P : 2x + 3y + z =1.

16.a = 2xi +5 yj +5zk, P : 2x + 3y + z =1.

17.a = xi + yj + zk, P : 2x + 2y + z =1.

18.a = 2xi + yj − 2zk, P : 2x + 2y + z =1.

19.a = xi + yj + 2zk, P : 2x + 2y + z =1.

20.a = −xi + yj +12zk, P : 2x + 2y + z =1.

21.a = xi +3yj +8zk, P : x + 2 y + 2z =1.

22.a = xi − yj +6zk, P : x + 2 y + 2z =1.

23.a = xi + 2 yj +5zk, P : x + 2 y + 2z =1.

24.a = xi + 4 yj +5zk, P : x + 2 y + 2z =1.

25.a = xi + yj + zk, P : 2x +3 y + z =1.

26.a = 2xi + yj + zk, P : 2x +3 y + z =1.

27.a = 2xi +3yj + zk, P : 2x +3 y + z =1.

28.a = 2xi +3yj + 4zk, P : 2x +3 y + z =1.

29.a = xi +9 yj +8zk, P : x + 2 y +3z =1.

30.a = 8xi +11yj +17 zk, P : x + 2 y +3z =1.

31.a = −xi + 2 yj + zk, P : x + 2 y +3z =1.

Задача 6. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P , расположенную в 1 октанте

(нормаль образует острый угол с осью Oz).

1. a = 7xi +(5πy + 2) j + 4πzk, P : x + 2y + 4z =1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

2.a = 2πxi +(7 y + 2) j +7πzk, P : x + 2y + 3z =1.

3.a = 9πxi + j −3zk, P : 3x + y + z =1.

4.a = (2x +1)i − yj +3πzk, P : 3x + y + 2z =1.

5.a = 7xi +9πyj + k, P : x + 3y + z =1.

6.a = i +5 yj +11πzk, P : x + y + 3z =1.

7.a = xi +(πz −1)k, P : 2x + 2y + 3z =1.

8.a = 5πxi +(9 y +1) j + 4πzk, P : 2x + 3y + 2z =1.

9.a = 2i − yj + 32π zk, P : 3x + y + 4z =1.

10.a = 9πxi +(5 y +1) j + 2πzk, P : 3x + y + 9z =1.

11.a = 7xi + 2πyj +(7z + 2)k, P : x + y + 2z =1.

12.a =πнi +(4 −2z) j + 4πzk, P : 2x + 3y + 4z =1.

13.a = (3π −1)xi +(9πy +1) j +6πzk, P : 2x + 3y + 9z =1.

14.a =πxi + π2 yj + (4 −2z)k, P : x + 3y + 4z =1.

15.a = (5 y +3) j +11πzk, P : x + 3y + 4z =1.

16.a = 9πyj + (7z +1)k, P : x + y + z =1.

17.a =πyj +(1 −2z)k, P : 4x + 3y + z =1.

18.a = (27π −1)xi +(34πy +3) j + 20πzk, P : 3x + 9y + z =1.

19.a =πxi + 2 j + 2πzk, P : 2x + 3y + z =1.

20.a = 4πxi +7πyj +(2z +1)k, P : 2x + 3y + 2z =1.

21.a = 3πxi +6πyj +10k, P : 2x + y + 3z =1.

22.a =πxi −2 yj + k, P : 2x + 6y + z =1.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

23.a = (21π −1)xi + 62πyj +(1 −2πz)k, P : 8x + 2y + 3z =1.

24.a =πxi + 2πyj +8k, P : 2x +8 y + 3z =1.

25.a = 9πxi + 2πyj +8k, P : 2x +8 y + 3z =1.

26.a = 7πxi +(4 y +1) j + 2πzk, P : 3x + 2 y + 3z =1.

27.a = 6πxi +3πyj +10k, P : 2x + 3y + 3z =1.

28.a = (π −1)xi + 2πyj +(1 −πz)k, P : 4x + 2y + 3z =1.

29.a = π2 xi +πyj +(4 −2z)k, P : x + 3y + 4z =1.

30.a = 7πxi + 4πyj + 2(z +1)k, P : 3x + 4y + z =1.

31.a = 5πxi +(1 −2 y) j + 4πzk, P : 2x + 4 y + 3z =1.

Задача 7. Найти поток векторного поля ачерез замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

1. a = (ex + 2x)i +ex j +e y k, S : x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0.

2. a = (3z 2 + x)i +(ex −2 y) j +(2z − xy)k, S : x2 + y2 = z 2 , z =1, z = 4.

3.

a = (ln y +7x)i+) sin z −2 y) j +(e y −2z)k, S : x2 + y2

+ z 2

= 2x + 2 y + 2z −2.

4.

a = (cos z +3x)i +(sin z −2 y) j +(e y −2z)k, S : z 2 = 36(x2

+ y2 ), z = 6.

5. a = (e−z − x)i +(xz +3y) j +(z + x2 )k, S : 2x + y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0.

6.

a = (6x −cos y)i −(ex

+ z) j −(2 y +3z)k, S : x2

+ y2

= z 2 , z =1, z = 2.

2

3z

2

2

2

7.

a = (4x −2 y

)i +(ln z

−4 y) j + x +

k, S : x

+ y

+ z

= 2x +3.

4

8. a = (1 +

z )i +(4 y −

x) j + xyk, S : z 2

= 4(x2

+ y2 ), z = 3.

9. a = ( z − x)i +(x − y) j +( y2 − z)k, S : 3x −2 y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

10.

a = ( yz + x)i +(x2 + y) j +(xy2

+ z)k, S : x2

+ y2 + z 2 = 2z.

11.

a = (e2 y + x)i +(x −2 y) j +( y2

+3z)k, S : x − y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0.

12.

a = (

z −2x)i +(ex +3y) j +

y + xk, S : x2

+ y2

= z 2 , z = 2, z = 5.

x

x

y

z

2

2

2

13.

a = e

+

i + ln x +

j +

k, S : x

+ y

+ z

= 2x + 2 y −2z −2, x = 0, y = 0, z = 0.

4

4

4

14. a = (3x −2z)i +(z −2 y) j +(1 + 2z)k, S : z 2 = 4(x2 + y2 ), z = 2.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

15. a = (e y + 2x)i +(x − y) j +(2z −1)k, S : x + 2 y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0.

16.

a = (x + y2 )i +(xz + y) j +(

x2 +1 + z)k, S : x2 + y2 = z 2 , z = 2, z = 3.

17.

a = (e y + 2x)i +(xz − y) j +

1

(exy

− z)k, S : x2

+ y2

+ z 2

= 2 y +3.

4

18.

a = (

z + y)i +3xj +(3z +5)k, S : z 2 = 8(x2 + y2 ), z = 2.

19.

a = (8 yz − x)i +(x2

−1) j +(xy −2z)k, S : 2x +3y − z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

20.

a = ( y + z 2 )i +(x2

+3y) j + xyk, S : x2 + y2

+ z2

= 2x, x = 0, y = 0, z = 0.

21.

a = (2 yz − x)i +(xz + 2 y) j +(x2 + z)k, S : y − x + z =1, x = 0, y = 0, z = 0.

22.

a = (sin z + 2x)i +(sin x −3y) j +(sin y + 2z)k, S : x2 + y2 = z2 , z = 3, z = 6.

x

x

y

z

2

2

2

23.

a = cos z +

i +

e

+

j +

−1 k, S : x

+ y

+ z

= 2z +3.

4

4

4

2

2

2

24.

a = (

z +1 + x)i +(2x + y) j +(sin x + z)k, S

:

z

= x

+ y

,

z =1.

25.

a = (5x −6)i +(11x2

+ 2 y) j +(x2

−4z)k, S :

x + y +

2z = 2,

x = 0, y = 0, z = 0.

2

2

2

26 a = ( y2 + z 2 +6x)i +(ex −2 y + x) j +(x + y − z)k, S

: z

= x

+ y

,

z =1, z = 3.

27.

a =

1

(x + z)i +

1

(xz − y) j +(xy −2)k, S : x2

+ y2

+ z 2

= 4x −2 y + 4z −8

2

4

2

2

2

28.

a = (3yz − x)i +(x2

− y) j +

(6z −1)k, S : z

= 9(x

+ y

),

z = 3.

29.a = ( yz −2x)i +(sin x + y) j +(x −2z)k, S : x + 2 y −3z = 6,

x = 0, y = 0, z = 0.

30. a = (8x +1)i +(zx −4 y) j +(ex − z)k, S : x2 + y2 + z 2 = 2 y .

31.a = (2 y −5x)i +(x −1) j +(2 xy + 2z)k, S : 2x + 2 y − z = 4,

x = 0, y = 0, z = 0.

Задача 8. Найти поток векторного поля ачерез замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

1. a = (x + z)i +(z + y)k,

2. a = 2xi + zk,

S

2

+ y

2

= 9,

S

= 3x

2

+ 2 y

2

+1,

: x

: z

z = x, z = 0(z ≥ 0).

2

+ y

2

= 4, z

= 0.

x