Расчетные задания (Кузнецов) / 06-Ряды

VI. РЯДЫ Теоретические вопросы

1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7.Понятие равномерной сходимости.

8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы

ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14.Разложение по степеням x бинома (1 + x)m . 15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням x функций ex , cos x , sin x , ln (1 + x).

Теоретические упражнения.

∞	∞	∞
1. Ряды ∑an	и ∑bn	сходятся. Доказать, что ряд ∑cn сходится, если
n=1	n=1	n=1
an ≤ cn ≤bn .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 ≤ cn −an ≤ bn −an .

∞	(an ≥ 0)	∞
2. Ряд ∑an		сходится. Доказать, что ряд ∑an2 тоже сходится.
n=1		n=1

Показать, что обратное утверждение неверно.

1

∞

∞

∞

3. Ряды ∑an2

и ∑bn2

сходятся. Доказать, что ряд ∑

an

bn

тоже сходится.

n=1

n=1

n=1

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

ab

≤ a2 +b2 .

∞

∞

∞

4. Ряды

∑an2

и ∑bn2 сходятся.

Доказать,

что ряд

∑(an +bn )2

тоже

n=1

n=1

n=1

сходится.

∞

an

5. Пусть

ряд

∑an

сходиться и

lim

=1.

Можно

ли

утверждать,

что

n=1

n→∞ b

n

∞

сходиться ряд ∑bn ?

n=1

∞

(−1)

n

∞

n

(−1) +

1

Рассмотреть пример ∑

и ∑

.

n

n

=

=

n

n

1

n 1

∞

6. Пусть ряд ∑ fn (x) сходиться равномерно на отрезке [a, b]. Доказать, что

n=1

∞

ряд ∑fn (x) так же сходиться равномерно на этом отрезке.

n=1

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно, б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно? Рассмотреть примеры:

∞

n

(−1)

, отрезок [a, b] произвольный;

a)

∑n=1

n + x

2

∞

(

)

[

]

б)

∑

, отрезок

x 1 − x2

0, 1 .

n=1

∞

8.

Показать, что функция

f (x)

= ∑

sin nx

всюду непрерывна.

n

n=1 10

∞

sin n

2

x

9.

Доказать, что ряд ∑

сходится равномерно в интервале (−∞, +∞).

2

n=1

n

Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

2

∞

10. Доказать, что если ряд ∑cn e−nx сходиться в точке x0 , то он сходиться

n=1

абсолютно x > x0 .

Расчетные задания.

Задача 1. Найти сумму ряда.

	∞									6
1.1.	∑															.
		9n			2		+12n −5
	n=1
	∞									6
1.3.	∑													.
		9n			2		+6n −						8
	n=1
	∞									2
1.5.	∑													.
		4n			2			+8n +					3
	n=0
	∞									3
1.7.	∑													.
		9n			2		+3n −						2
	n=1
	∞							1
1.9.	∑											.
				2	+n −						2
	n=2	n
	∞									6
1.11. ∑																					.
			36n						2	−24n −							5
	n=1
	∞									4
1.13 ∑														.
		4n			2			+4n −					3
	n=1
	∞									9
1.15. ∑																	.
			9n			2			+3n −20
	n=1
	∞									8
1.17. ∑																				.
			16n					2		−8n −15
	n=1
	∞									5
1.19. ∑																		.
			25n						2	+5n −6
	n=1
	∞									7
1.21. ∑																						.
			49n						2	−35n −							6
	n=1

	∞									24
1.2.	∑														.
		9n			2			−12n −5
	n=2
	∞									9
1.4.	∑														.
		9n			2			+21n −8
	n=1
	∞										14
1.6.	∑																				.
		49n						2		−28n −					45
	n=1
	∞										7
1.8.	∑																.
		49n						2		−7n −12
	n=1
	∞										14
1.10. ∑																					.
			49n						2		−14n −48
	n=1
	∞										14
1.12 ∑																			.
		49n						2		−84n −					13
	n=1
	∞										7
1.14 ∑																	.
		49n						2		+35n −					6
	n=1
	∞										14
1.16 ∑																					.
		49n						2		−42n −					40
	n=1
	∞										7
1.18. ∑																					.
			49n						2		−21n −10
	n=1
	∞					6
1.20. ∑													.
			4n			2
	n=1								−9
	∞								1
1.22. ∑														.
			n	2			+n −2
	n=2

3

∞							12
1.23. ∑											.
		36n				2	+12n −35
n=2
∞							3
1.25 ∑								.
			2	−3n −2
n=1 9n
∞							8
1.27. ∑									.
		16n			2		+8n −	15
n=1
∞							12
1.29. ∑											.
		36n				2	−12n −35
n=1
∞							14
1.31. ∑											.
		49n				2	−70n −24
n=1

Задача 2. Найти сумму ряда.

∞

4 −5n

2.1.

∑

.

n(n −1)(n −2)

n=3

∞

5n +3

2.3.

∑

.

n(n +1)(n +3)

n=1

∞

1

2.5.

∑

.

n(n +1)(n +3)

n=1

∞

1

2.7. ∑

.

n=1 n(n +2)(n +3)

∞

3n −2

2.9.

∑

.

n(n +1)(n +2)

n=1

∞

5n −2

2.11. ∑

.

(n −1)n(n +

2)

n=3

∞

3n +2

2.13. ∑

.

n(n +1)(n +

2)

n=1

∞

8n −10

2.15. ∑

.

(n −1)(n −2)(n +1)

n=3

∞			7
1.24. ∑								.
	49n	2	+	21n −10
n=1
∞			5
1.26. ∑					.
	25n	2	−5n −6
n=1
∞			14
1.28. ∑								.
	49n	2	−56n −		33
n=1
∞			7
1.30. ∑						.
	49n	2	+	7n −12
n=1

∞

n +6

2.2

∑

.

n(n

+3)(n +2)

n=1

∞

4n −2

2.4.

∑

.

(

n

2

−

)

n=3

1 (n −2)

∞

3n −5

2.6.

∑

.

2

n=3 n

(

n

)

−1

∞

1

2.8. ∑

.

n(n

2

n=3

−4)

∞

n +2

2.10. ∑

.

n(n −1)(n −2)

n=3

∞

2

2.12. ∑

.

(n

+

2)(n +1)n

n=1

∞

n +5

2.14. ∑

.

(

n

2

)

+2)

n=3

−1 (n

∞

3n −1

2.16. ∑

.

2

n=3 n

(

n

)

−1

4

3n +8

	∞			n −4
	2.17. ∑							.
		n(n −1)(n −2)
	n=3
	∞			5n −2
	2.19. ∑							.
		(n −1)n(n +2)
	n=2
	∞			3n +4
	2.21. ∑								.
		n(n +1)(n +2)
	n=1
	∞				n +6
	2.23. ∑								.
		n(n +1)(n +2)
	n=1
	∞			1
	2.25. ∑					.
			(	2	)
	n=2 n			n
					−1
	∞			3n +1
	2.27. ∑						.
		(n −1)n(n +1)
	n=3

2.29. ∑∞ n(n −14)(n −2).

n=3

∞

2.31. ∑n=1 n(n +1)(n +2).

	∞	5n +9
	2.18. ∑					.
		n(n +1)(n +	3)
	n=1
	∞	n −1
	2.20. ∑					.
		n(n +1)(n +	2)
	n=1
	∞	2 −n
	2.22. ∑					.
		n(n +1)(n +	2)
	n=3
	∞	n −2
	2.24. ∑				.
		(n −1)n(n +1)
	n=3
	∞	1 −n
	2.26. ∑					.
		n(n +1)(n +	3)
	n=1
	∞	4 −n
	2.28. ∑					.
		n(n +1)(n +	2)
	n=1
	∞	3 −n
	2.30. ∑					.
		(n +3)(n +1)n
	n=1

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

∞

sin

2

n

n

3.1.

∑

.

n

n=1

n

∞

cos

2

(nπ 2)

3.3.

∑

.

n(n +1)(n +2)

n=1

3.5.

∑2 +(−1)

n

.

∞

n=1

n −ln n

3.7.

∑n(2 +

2cos nπ ).

∞

n=1

2n

−1

2 +(−1)

∞

n

3.2.

∑nsin

.

n

3

n=1

∞

ln n

3.4.

∑

.

n=1

3 n7

∞

arctg

1 +(

−1)n

n

2

3.6.

∑

.

n

3

+2

n=1

∞

arcsin n −1

3.8.

∑

n

.

n=2

3 n3 −3n

5

∞

2

n

3.9. ∑

sin

.

2

n=1 n

+1

∞

arccos

(−1)n n

n +1

3.11. ∑

.

n

2

n=2

+2

∞

nln n

3.13. ∑

.

2

n=2

n

−3

∞

1

2 +(−1)

n

3.15. ∑

sin

π .

6

n=2

4 n3

∞ 1 +sin

πn

3.17. ∑

2

.

n

2

n=1

∞

(2 +cos

nπ

)

n

3.19. ∑

2

.

4 n7 +5

n=1

∞

2

n

3.21. ∑

sin

2

.

n

2

n=1

∞

1

3.23. ∑

.

n=3

n2 ln n + 3 ln2 n

∞

sin

π

2n +1

3.25. ∑

.

n=1

3 +sin

πn

n

4

∞

n

3 +(−1)

3.27. ∑

.

n+2

n=1

2

3.29. ∑arcctg (

−1)

n

.

∞

n=1

n(2 +n2 )

∞

ln

n

2

+3n

3.10. ∑

.

n=2

n2 −n

∞

ncos

2

n

3.12. ∑

.

3

n=1

n

+5

∞

n

2

+3

3.14. ∑

.

n

3

(

2

+sin

(

nπ

2

))

n 1

=

∞

ln n

3.16. ∑

.

n

3

+n +

1

n=1

∞

cos2 πn

3.18. ∑

3

.

n

+2

n=1

3

∞

2 +sin

nπ

1

3.20. ∑

4

ctg

.

n

2

n=1

n

∞

ln n

3.22. ∑

.

n=1

n5 +n

∞

3

arctg

n2 −1

3.24. ∑

π

.

n2 −n

n=1

∞

2cos

2π

3.26. ∑

3n

.

n=2

4 n4 −1

∞

n

3.28. ∑

arctg 2 +(−1)

.

(1 +n)

n=1

ln

∞

arcsin

3 +(−1)n

4

3.30. ∑

.

2

n

n=1

+n

6

∞		n	3	+	2
3.31. ∑						.
	n	2		2
n=1		sin			n

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

∞

2

4.1. ∑

.

5

n−1

+n −1

n=1

∞

2

+5

4.3. ∑ln

n

.

2

+4

n=1

n

∞

1

1

4.5. ∑

arctg

.

n=2

n −1

3 n −1

∞

n

3

+2

4.7. ∑

.

n

5

n

n=1

+sin 2

∞

1

4.9. ∑

.

2

6n

n=1

n −cos

∞

1

π

4.11. ∑

arctg

.

3 n

4

n=1

n

∞

1

1

4.13. ∑

sin

.

3 n +5

n −1

n=2

∞

1

(e1

n −1).

4.15. ∑

n +3

n=1

∞

1

4.17. ∑

3 narctg

.

3

n=1

n

∞

4.19. ∑n3tg5 π .

n=3

n

∞

π

4.21. ∑ 1 −cos

n

.

n=1

∞

n (n3 −1)

−

4.23. ∑ e

1 .

n=2

	∞	1			1
	4.2. ∑		tg					.
		n
	=					n
	n 1
	∞	1				1
	4.4. ∑			sin			.
	=		n			n
	n 1

∞(n2 +3)2

4.6.∑n=1 n5 +ln4 n .

∑∞ 2n +cos n

4.8.n=1 3n +sin n .

∞

1

1

4.10. ∑

sin

.

5 n +

1

n=1

n

∞

1

4.12. ∑

.

n

2

−ln n

n=1

∞

1

n

+3

4.14 ∑

arctg

.

+

2

+5

=

3

n

2

n

n 1

∞

n

2

+1

4.16. ∑ln

.

n

2

n=1

+n +2

∞

n

3

4.18. ∑ln

.

n

3

1

n=1

+

∞

n +1

4.20. ∑

.

(3 n −1)(n 4 n3 −1)

n=2

∞

3 n

4.22. ∑sin

.

n5 +2

n=1

∞

2n +1

4.24. ∑sin

.

n2

(n +1)

2

n=1

7

∞ sin

2π

∞

3 +7n

2n +1

4.25. ∑

.

4.26. ∑

.

n

n=1

n

n=1

5

+n

∞

∞

1

4.27. ∑n(e1 n −1)2 .

4.28. ∑nsin

.

n=1

n=1

3 n4

∞

1

∞

n

4.29. ∑arctg

.

4.30. ∑sin

.

(n −1) 5 n2 +1

n2 3

n +5

n=1

n=1

∞

n

4.31. ∑arcsin

.

(n2 +

3)

5 2

n=1

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

∞

n +1

5.1. ∑

.

2

n

n=2

(n −1)!

5.3. ∑∞

2n+1 (n3 +1)

.

n=1

(n +1)!

1n .

5.5. ∑(2n +2)!

∞

3n +5

n=1

2

∞

arctg

5

5.7. ∑

n

.

n!

n=1

∞

n

1

5.9. ∑

tg

.

n

n=1

(2n)! 5

∞

n

2

5.11. ∑

.

(n +

2)!

n=1

∞

7

2n

5.13. ∑

.

(2n −1)!

n=1

∞		3 5...(2n −1)
5.15. ∑	1		.
		n
n=1		3 (n +1)!

∞				2
		(n!)2 .
5.2. ∑
n=1		2n
∞		10	n	2n!
5.4. ∑								.
n=1		(2n)!
∞									2
5.6. ∑	n +5						sin			.
									n
n=1		n!							3
∞			n
5.8. ∑		n				.
		n
n=1		3	n!

5.10. ∑∞		6n (n2 −1)				.
n=1			n!
∞			n
5.12. ∑		n			.
				2
n=1 (n!)

5.14. ∑∞ n! .

n=1 (3n!)

∑∞ n!

5.16. n=1 nn−1 . ?

8

∑∞ (n!)2

5.17. n=1 (3n +1)(2n)!.

5.19. ∑∞ (n +1)! .

n=1 nn

∑∞ 2n n!

5.21. n=1 nn .

∑∞ 3n

5.23. n=1 (n +2)!4n .

5.25. ∑ 1 4 7...(3n −2) .
∞
n=1		7 9 11...(2n +5)
∞		(3n n+22 )! .
5.27. ∑
n=1		10 n
∞		n!	3	n
5.29. ∑					.
		n	+2
n=1	3
∞	1 4 7...(3n −2)
5.31. ∑								.
				2		n+1	n!
n=1

∞

π

5.18. ∑n!sin

.

n

n=1

2

∞

5

n 3

n

2

5.20. ∑

.

(n +1)!

n=1

∞

5

n

(n

+1)!

5.22. ∑

.

n=1

(2n)!

5.24. ∑3 5 7...(2n +1).
∞
n=1	2 5 8...(3n −1)
∞		2n!
5.26. ∑					.
n=1		2n +3
∞	4	n−1	n	2		+5
5.28. ∑								.
n=2		(n −1)!
5.30. ∑n!(2n +1)!.
∞
n=1		(	3n)!

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

∞

1

n

−n2

∞

1

1 n2

6.1. ∑

.

6.2. ∑

1 +

.

n

n

n=1

3

n +1

n=1

4

n

∞

2n2 +1 n2

∞

4

2n

n

6.3. ∑

.

6.4. ∑n

.

n

2

+1

3n

+5

n=1

n=1

∞

2n +1

n2

∞

2n +2 n

3

6.5. ∑

.

6.6. ∑

(n +1)

.

n=1

3n −2

n=1

3n +1

∞

4n −3

n3

∞

n

n2

6.7. ∑

.

6.8. ∑

.

5n +1

n=1

n=1

10n +

5

9

∞

π

6.9. ∑narcsinn

.

n=1

4n

∞

n −1 n

n

6.11. ∑

.

n

5

n

n=1

∞

3n +2

n

2

6.13. ∑

(n −1)

.

4n −1

n=1

∞

n

2n+1

6.15. ∑

.

3n +

n=1

1

∞

n+1

6.17. ∑

2

.

n

n=1

n

∞

n

3

6.19. ∑

.

(ln n)

n

n=2

∞

π

6.21. ∑n3arctgn

.

n=1

3n

∞

6.23. ∑2n−1 e−n .

n=1

∞

2n

n2

6.25. ∑

.

4n +3

n=1

∞

n

2n

6.27. ∑ n

.

−

n=1

3n

1

∞

n+2

6.29. ∑

n 3

.

n

n=1

5

∞

π

6.31. ∑n4arctg

2n

.

n=1

4n

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

∑∞ n +2 n2

6.10. . n=1 3n −1

∑∞ 2n +3 n2

6.12. . n=1 n +1

∞

n +1

n2

6.14. ∑

.

2n −3

n=2

∞

2n −1

n 2

6.16. ∑

.

3n +1

n=1

∞

π

6.18. ∑n2 sinn

.

n=1

2n

∞

n

n3

6.20. ∑

.

3n −

n=1

1

∞

n

5 n

6.22. ∑

3

.

(

2n +1)

n

n=1

∞

3n −1

2n

6.24. ∑n

.

4n

+

2

n=1

∞

n

n+2

6.26. ∑

.

(

)

n 2

n=1

2n2 +1

∞

n +1 n2

1

6.28. ∑

.

n

2

n

n=1

∞

n −2

3n

6.30. ∑3

n

.

+1

n=2

2n

10