IV. ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1.Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.

2.Неопределенный интеграл, его свойства.

3.Таблица неопределенных интегралов.

4.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

6.Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.

7Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

8.Интегрирование иррациональных выражений.

9.Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

10.Основные свойства определенного интеграла.

11.Теорема о среднем.

12.Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона

–Лейбница.

13.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14.Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15.Вычисление площадей плоских фигур.

16.Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.

Теоретические упражнения

1. Считая, что функция sinx x равна 1 при x = 0, доказать, что она интегрируема на отрезке [0, 1].

2. Какой из. интегралов больше:

	1	sin x 2				1	sin x
	∫0				dx или	∫0		dx ?
			x				x

3.Пусть f (t ) – непрерывная функция, а функции ϕ(x) и ψ (x)

дифференцируемые. Доказать, что

d ψ(x)

dx ϕ∫(x) f (t )dt = f ψ (x) ψ′(x)− f ϕ(x) ϕ′(x).

2

4.Найти d ∫et2 dt.

dx x

5.Найти точки экстремума функцииx

x

f (x)= ∫(t −1)(t −2)e−t2 dt.

0

6. Пусть

f (x) –

непрерывная периодическая функция с периодом T . Доказать,

что

a+T

T

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx a.

a

0

7. Доказать, что если f (x)

– четная функция, то

0

+a

1

+a

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx =

∫ f (x)dx.

2

−a

0

−a

8. Доказать, что для нечетной функции

f (x)

справедливы равенства

0

+a

a

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx и ∫ f (x)dx = 0.

−a

0

−a

+1

2

+ x

Чему равен интеграл ∫sin2 xln

dx?

−1

2 − x

9. При каком условии,

связывающем коэффициенты

a , b, c

интеграл

∫

ax2 +bx +c

dx является рациональной функцией?

x3 (x −1)2

10. При

каких

целых

значениях

n

интеграл ∫

1 + x4 dx

выражается

элементарными функциями.

		Расчетные задания
	Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы.
1.1.	∫(4 −3x)e−3xdx.	1.2.	∫arctg 4x −1dx.
1.3.	∫(3x +4)e3xdx.	1.4.	∫(4x −2)cos 2xdx.

1.5. ∫(4 −16x)sin 4xdx.

1.7.∫(1 −6x)e2 x dx.

1.9.∫ln (4x2 +1)dx.

1.11. ∫arctg	6x −1dx.
1.13. ∫e−3x (	2 −9x)dx.
1.15. ∫arctg	3x −1dx.
1.17. ∫(5x +6)cos 2xdx.

1.19. ∫(x 2 −3)cos 2xdx.

1.21. ∫(			2x −5)cos 4xdx.
1.23. ∫(x +5)sin 3xdx.
1.25. ∫(			4x +3)sin 5xdx.
1.27. ∫(			2 −8x)sin 3xdx.
1.29. ∫		xdx		.
		sin2 x
1.31. ∫		xcos xdx
					.
			sin3 x

1.6. ∫(5x −2)e3xdx.

1.8. ∫ln (x2 +4)dx.

1.10. ∫(2 −4x)sin 2xdx.

1.12. ∫e−2 x (	4x −3)dx.
1.14. ∫arctg	2x −1dx.
1.16. ∫arctg	5x −1dx.

1.18. ∫(3x −2)cos5xdx.

1.20. ∫(4x +7)cos3xdx.

1.22. ∫(8 −3x)cos5xdx.

1.24. ∫(2 −3x)sin 2xdx.

1.26. ∫(7x −10)sin 4xdx.

xdx

1.28. ∫cos2 x.

1.30. ∫xsin2 xdx.

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

2.1. ∫0	(x2 +5x +6) cos 2xdx.	2.2. ∫0 (x2 −4)cos3xdx.
−2		−2

2.3. ∫0 (x2 +4x +3)cos xdx.

−1

2.5. ∫0 (x2 +7x +12)cos xdx.

−4

2.7. π∫(9x2 +9x +11)cos3xdx.

0

2.9. 2∫π (3x2 +5)cos 2xdx.

0

2.11. 2∫π (3 −7x2 )cos 2xdx.

0

2.13. ∫0 (x2 +2x +1)sin 3xdx.

−1

2.15. π∫(x2 −3x +2)sin xdx.

0

2.17. ∫0 (x2 +6x +9)sin 2xdx.

−3

π

2.19. ∫2 (1 −5x2 )sin xdx.

0

2.21. ∫2 xln2 xdx.

1

2.23. ∫8 ln2 xdx.

1 3 x2

2.25. ∫3 (x −1)3 ln2 (x −1)dx.

2

2.27. ∫2 (x +1)2 ln2 (x +1)dx.

0

2.4. ∫0 (x +2)2 cos3xdx.

−2

2.6. π∫(2x2 + 4x +7)cos 2xdx.

0

2.8. π∫(8x2 +16x +17)cos 4xdx.

0

2.10. 2∫π (2x2 −15)cos3xdx.

0

2.12. 2∫π (1 −8x2 )cos 4xdx.

0

2.14. ∫3 (x2 −3x)sin 2xdx.

0

π

2.16. ∫2 (x2 −5x +6)sin 3xdx.

0

π

2.18. ∫4 (x2 +17,5)sin 2xdx.

0

2.20. ∫3 (3x − x2 )sin 2xdx.

π

4

2

2.22.∫ xdx.

1x

2.24.∫1 (x +1)ln2 (x +1)dx.e ln2

0

2.26. ∫0 (x +2)3 ln2 (x +2)dx.

−1

2.28. ∫e	x ln2 xdx.
1

2.29. ∫1	x2 e−	x	dx.			2.30. ∫1	x2 e3x dx.
		2
−1						0
0	(x2 +2)e			x
2.31. ∫					dx.
				2
−2

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

3.1. ∫		dx					.
	x	2		+1
		x
3.3. ∫		dx				.
	x	2		−1
		x
3.5. ∫			xdx					.
	x	4	+ x		2	+1

3.7.∫tg xln cos xdx.

3.9.∫(x2 x+3 1)2 dx.

3.11. ∫ sin x −cos x dx. (cos x +sin x)5

3.13.∫x3 + x dx.

x4 +1

3.15. ∫	xdx				.
	3
	x −		1
(		x2	+1 dx
			)
3.17. ∫						.
	(x3 +3x +1)5
3.19. ∫	x3			dx.
	x2 +4
3.21. ∫	2cos x +3sin x						dx.
	(2sin x −3cos x)3

3.2. ∫1+xln x dx.

3.4. ∫x2 +xln x2 dx.

3.6. ∫(arccos x)3 −1dx. 1 − x2

tg (x +1) 3.8. ∫cos2 (x +1)dx.

3.10. ∫ 1 −cos x dx. (x −sin x)2

3.12. ∫xcos x +sin xdx. (xsin x)2

3.14. ∫			xdx			.
	x	4	− x	2
					−1

3.16.∫1 +ln(x −1) dx.

x−1

3.18. ∫	4arctg x − x		dx.
	1+ x2
3.20. ∫	x +cos x
		dx.
	x2 +2sin x
3.22. ∫	8x −arctg 2x			dx.
	1 +4x2

1(2 x )+1

3.23.∫ ( x + x)2 dx.

	3.25. ∫	x +1 x			dx.
		2
		x	+1
	3.27. ∫	arctg x + x							dx.
		1 + x2
	3.29. ∫	x3		dx.
		x2 +1
	3.31. ∫	1 −		x			dx.
		x (x +				1)

3.24.∫x4x+1 dx.

3.26.∫ xx−21+x1 dx.

3.28. ∫	x −(arctg x)4		dx.
	1 + x2
3.30. ∫	(arcsin x)2 +1
	1 − x	2	dx.

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

2

1 +ln (x −1)

4.1. e ∫+1

dx.

e+1

x −1

1

4arctg x − x

4.3. ∫

dx.

1 + x

2

0

2π

x +cos x

4.5. π∫

dx.

x2 +2sin x

1 2 8x −arctg 2x

4.7. ∫

dx.

1 + 4x

2

0

1

xdx

4.9. ∫0

.

x4 +1

4.11. ∫8

x −1 x

dx.

2

3

x +1

3

x −(arctg x)4

4.13. ∫

dx.

1 + x

2

0

4.2. ∫1

(x2 +1)dx

.

(

3

2

0

x

)

+3x +1

2

x3dx

4.4. ∫0

.

x2 +4

π 4

2cos x +3sin x

4.6. ∫0

dx.

(2sin x −3cos x)3

4

1

(2 x )+1

4.8. ∫

dx.

(

x + x)

2

1

4.10. ∫8

x +1 x

dx.

2

3

x +1

3 arctg x + x

4.12. ∫

dx.

1 + x

2

0

1

x3

4.14. ∫0

dx.

x2 +1

sin1			(arcsin x)2 +1						dx.
4.15. ∫				1 − x				2
0
4.17. ∫8				dx		.
				2
3 x				x	+1
4.19. ∫2				dx			.
				2
2 x				x	−1

1			xdx
4.21. ∫						.
	x	4	+ x	2	+1
0

π 4
4.23.	∫ tg xln cos xdx.
	0
1			2 (arccos x)3 −1
4.25.	∫					1 − x	2	dx.
	0
π 4				sin x −cos x
4.27.	∫0							dx.
				(cos x +sin x)5
1				3
4.29. ∫0			x + x			dx.
			x4 +1
4.31. ∫9			xdx			.
			3
2				x −1

4.16. ∫3

1−

x

dx.

x (x +1)

1

4.18. ∫e

1 +ln x

dx.

1

x

4.20. ∫e

x2 +ln x2

dx.

x

1

4.22. ∫1

x

3dx

.

(

2

)

2

0

x

+1

0

tg(x +1)

4.24. −∫1

dx.

cos2 (x +1)

2π

1 −cos x

4.26. π∫

dx.

(x −sin x)2

π 2 xcos x +sin x

4.28. π∫4

dx.

(xsin x)2

3

xdx

4.30. ∫

.

x

4

− x

2

2

−1

Задача 5. Найти неопределенные интегралы.

5.1.∫ x3 +1dx.

x2 − x

5.3. ∫		x3 −17
					dx.
		x2	−4x +3
5.5. ∫		2x3 −1
				dx.
	x2		+ x −6
5.7. ∫			x3 + 2x2 +3			dx.
		(x	−1)(x −2)(x −3)

5.2.∫3x3 +1dx.

x2 −1

5.4. ∫		2x3 +5
				dx.
		x2	− x −2
5.6. ∫		3x3 +25
					dx.
		x2	+3x +2
5.8. ∫			3x3 +2x2 +1			dx.
		(x	+2)(x −2)(x −1)

x3

5.9. ∫(x −1)(x +1)(x +2)dx.

x3 −3x2 −12

5.11. ∫(x −4)(x −3)x dx.

5.13.∫3x −2 dx.

x3 − x3

5.15.∫x5 − x3 +1dx.

x2 − x

5.17.∫2x5 −8x3 +3dx.

x2 −2x

5.19.∫−x5 +9x3 +4dx.

x2 +3x

	5.21. ∫	x3 −5x2 +5x +23			dx.
		(x −1)(x +1)(x −5)
	5.23. ∫	2x4 −5x2 −8x −8	dx.
		x(x −2)(x +2)
	5.25. ∫	3x4 +3x3 −5x2 +2		dx.
		x(x −1)(x +2)

5.27. ∫x5 − x4 −6x3 +13x +6 dx. x(x −3)(x +2)

5.29. ∫2x4 +2x3 −3x2 +2x −9 dx. x(x −1)(x +3)

5.31. ∫ 2x3 −40x −8 dx.

x(x +4)(x −2)

	5.10. ∫	x3 −3x2 −12						dx.
		(x −4)(x −3)(x −					2)
	5.12. ∫	4x3 + x2 +2				dx.
		x(x −1)(x −2)
	5.14. ∫	x3 −3x2 −12				dx.
		(x −4)(x −2)x
	5.16. ∫	x5 +3x3 −1
			dx.
		x2 + x
	5.18. ∫	3x5 −12x3 −7		dx.
		x2 +2x
	5.20. ∫	−x5 +25x3 +1
		x2 +5x		dx.

5.22. ∫x5 +2x4 −2x3 +5x2 −7x +9 dx. (x +3)(x −1)x

5.24. ∫4x4 +2x2 − x −3 dx. x(x −1)(x +1)

5.26. ∫2x4 +2x3 −41x2 +20 dx. x(x −4)(x +5)

5.28. ∫3x3 − x2 −12x −2 dx.

x(x +1)(x −2)

5.30. ∫2x3 − x2 −7x −12 dx. x(x −3)(x +1)

	Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
6.1. ∫	x3 +6x2 +13x +9		dx.		6.2.	∫	x3 +6x2 +13x +8		dx.
	(x +1)(x +2)3						x(x +2)3
6.3. ∫	x3 −6x2 +13x −6		dx.		6.4.	∫	x3 +6x2 +14x +10			dx.
	(x +2)(x −2)3						(x +1)(x +2)3
6.5. ∫	x3 −6x2 +11x −10			dx.	6.6.	∫	x3 +6x2 +11x +7		dx.
	(x +2)(x −2)3						(x +1)(x +2)3

6.7. ∫

2x3 +6x2 +7x +1

dx.

6.8. ∫

x3 +6x2 +10x +10

dx.

(x −1)(x +1)3

(x −1)(x +2)3

6.9. ∫

2x3 +6x2 +7x +2

dx.

6.10. ∫

x3 −6x2 +13x −8

dx.

x(x +1)3

x(x −2)3

6.11. ∫

x3 −6x2 +13x −7

dx.

6.12. ∫

x3 −6x2 +14x −6

dx.

(x +1)(x −2)3

(x +1)(x −2)3

6.13. ∫

x3 −6x2 +10x −10

6.14. ∫

x3 + x +2

dx.

dx.

(x +1)(x −2)3

(x +2)x3

6.15. ∫

3x3 +9x2 +10x +2

dx.

6.16. ∫

2x3 + x +1

dx.

(x −1)(x +1)3

(x +1)x3

6.17. ∫

2x3 +6x2 +7x +4

6.18. ∫

2x3 +6x2 +5x

dx.

dx.

(x +2)(x +1)3

(x +2)(x +1)3

6.19. ∫

2x3 +6x2 +7x

6.20. ∫

2x3 +6x2 +5x +4

dx.

dx.

(x −2)(x +1)3

(x −2)(x +1)3

6.21. ∫

x3 +6x2 +4x +24

dx.

6.22. ∫

x3 +6x2 +14x +4

dx.

(x −2)(x +2)3

(x −2)(x +2)3

6.23. ∫

x3 +6x2 +18x −4

dx.

6.24. ∫

x3 +6x2 +10x +12

dx.

(x −2)(x +2)3

(x −2)(x +2)3

6.25. ∫

x3 −6x2 +14x −4

dx.

6.26. ∫

x3 +6x2 +15x +2

dx.

(x +2)(x −2)3

(x −2)(x +2)3

6.27. ∫

2x3 −6x2 +7x −4

6.28. ∫

2x3 −6x2 +7x

dx.

dx.

(x −2)(x −1)3

(x +2)(x −1)3

6.29. ∫

x3 +6x2 −10x +52

dx.

6.30. ∫

x3 −6x2 +13x −6

dx.

(x −2)(x +2)3

(x +2)(x −2)3

6.31. ∫

x3 +6x2 +13x +6

dx.

(x −2)(x +2)3

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

7.1. ∫	x3 +4x2 +4x +2							dx.
	(x +1)2	(		x2		+ x +1
						)
7.3. ∫	2x3 +7x2 +7x −1								dx.
	(x +2)2		(		x2	+ x +1
						)
7.5. ∫	x3 +6x2 +9x +6									dx.
	(x +1)2 (x2 +2x +2)
7.7. ∫	3x3 +6x2 +5x −1
							dx.
	(x +1)2 (x2 +2)

x3 +6x2 +8x +8

7.9. ∫(x +2)2 (x2 +4)dx.

7.11. ∫

2x3 −4x2 −16x −12

dx.

(x −1)2 (x2 +4x +5)

7.13. ∫

x3 +2x2 +10x

dx.

(x +1)2

(

x2

− x +1

)

7.15. ∫

4x3 +24x2 +20x −28

dx.

(x +3)2 (x2 +2x +2)

7.17. ∫

x3 + x +1

dx.

(

x

2

)(

x

2

)

+ x +1

+1

7.19. ∫

2x3 +4x2 +2x +2

dx.

(

x

2

)(

x

2

+ x +

2

)

+ x +1

7.21. ∫

4x2 +3x +4

dx.

(

x

2

)(

x

2

+ x

)

+1

+1

7.23. ∫

2x2 − x +1

dx.

(

x

2

)(

x

2

)

− x +1

+1

x3 +4x2 +3x +2

7.2. ∫ (x +1)2 (x2 +1) dx.

∫ 2x3 +4x2 +2x −1

7.4. (x +1)2 (x2 +2x +2)dx.

∫2x3 +11x2 +16x +10

7.6. (x +2)2 (x2 +2x +3)dx.

7.8. ∫

x3 +9x2 +21x +21

dx.

(x +3)2 (x2 +3)

7.10. ∫

x3 +5x2 +12x +4

dx.

(x +2)2 (x2 +4)

7.12. ∫

−3x3 +13x2 −13x +1

(x −2)2

(

x2

− x +1

dx.

)

7.14. ∫

3x3 + x +46

dx.

(x −1)2 (x2 +9)

7.16. ∫

2x3 +3x2 +3x +2

dx.

(

x

2

)(

x

2

)

+ x +1

+1

7.18. ∫

x2 + x +3

dx.

(

x

2

)(

x

2

)

+ x +1

+1

7.20. ∫

2x3 +7x2 +7x +9

dx.

(

x

2

)(

x

2

+ x +

2

)

+ x +1

7.22. ∫

3x3 +4x2 +6x

dx.

(x

2

+2)(x

2

+2x +2)

7.24. ∫

x3 + x2 +1

dx.

(

x

2

)(

x

2

)

− x +1

+1

x3 + x +1

7.25. ∫(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

x3 +2x2 + x +1

7.28. ∫(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 +2x2 +2x +1

7.30. ∫(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 +3x2 +3x +2

7.31. ∫(x2 + x +1)(x2 +1)dx.

2x3 +2x +1

7.26. ∫(x2 − x +1)(x2 +1)dx.

x +4

7.29. ∫(x2 + x +2)(x2 +2)dx.

3x3 +7x2 +12x +6

7.30. ∫(x2 + x +3)(x2 +2x +3)dx.

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

	2arctg 2					dx
8.1.	∫							.
			sin		2	x(1 −cos x)
	π 2
	2arctg 2					dx
8.3.	∫								.
			sin		2	x(1 +cos x)
	π 2
	π 2 cos x −sin x
8.5.	∫0						dx.
		(1 +sin x)2
	2arctg(1 2)					dx
8.7.		∫								.
	2arctg(1 3) sin x(1−sin x)

π2 cos xdx

8.9.∫0 5 +4cos x.

		π 2	cos xdx
	8.11.	∫		.
			1 +sin x −cos x
		π 3
		π 2	sin dx
	8.13.	∫			.
			1 +sin x +cos x
		0
		π 2	cos xdx
	8.15.	∫			.
			1+sin x +cos x
		0

π2 cos xdx

8.2.∫0 2 +cos x.

	π 2			cos xdx
	2arctg(1∫
8.4.			2)			.
				(1	−cos x)3
	2arctg 3				dx
8.6.	∫							.
	2arctg 2 cos x(1−cos x)
	π 2				dx
8.8.	2arctg(1∫								.
			2)	(1	+sin x −cos x)2
	2π 3		1		+sin x
8.10. ∫							dx.
	0 1 +cos x +sin x

π2 (1 +cos x)dx

8.12.∫0 1 +sin x +cos x.

	2arctg(1 2)		1 +sin x
8.14.	∫0			dx.
			(1 −sin x)2
	2arctg(1 3)		cos xdx
8.16.	∫				.
			(1−sin x)(1 +cos x)
	0

8.17.	∫0			cos xdx		.
	−2π 3 1 +cos x −sin x
	π 2			cos xdx
8.19.	∫0						.
		(1		+cos x +sin x)2
	π 2		sin xdx
	∫0
8.21.					.
		(1		+sin x)2

0sin xdx

8.23.−π∫2 (1 +cos x −sin x)2 .

	π 2		sin2 xdx
8.25.	∫0				.
		(1+cos x +sin x)2
	2arctg 2		dx
8.27.	∫			.
			sin x(1+sin x)
	π 2

π2 sin xdx

8.29.∫0 2 +sin x.

π2 sin xdx

8.31.∫0 5 +3sin x.

0cos xdx

8.18.−π∫2 (1 +cos x −sin x)2 .

		2arctg(1 2)		(1−sin x)dx
	8.20.		∫			.
				cos x(1 +cos x)
		0
		π 2		sin xdx
		∫0
	8.22.				.
			(1+cos x +sin x)2

0cos2 xdx

8.24.−2∫π3 (1 +cos x −sin x)2 .

	2π 3		cos2 xdx
8.26.	∫0					.
			(1 +cos x +sin x)2
	π 2		dx
8.28.	∫0				.
		(1+cos x +sin x)2
	π 4		dx
8.30.	∫			.
		cos x(1 +cos x)
	0

Задача 9. Вычислить определенные интегралы.

arctg 3

dx

9.1.

∫

.

π 4 (3tg x +5)sin 2x

arccos(1 17 )

3 +2 tg x

9.3.

∫

dx.

2sin

2

x +3cos

2

x −

1

0

arctg(1 3)

(8 + tg x)

9.5.

∫

dx.

18sin

2

x

+2cos

2

x

0

π 4

6 tg xdx

9.7.

∫

.

37 )

3sin 2x +5cos2

x

arcsin(1

π 4

2ctg x +1

9.2.

∫

dx.

(2sin x +cos x)2

arccos(4 17 )

arctg 3

4 tg x −5

9.4.

π∫4

dx.

1 −sin 2x +4cos2 x

arccos

2 3

tg x +2

9.6.

∫

dx.

2

x +2cos

2

x

0

sin

−3

π 4

9.8.

∫

2 tg2 x −11tg x −22

dx.

0

4 −tg x

0

3tg x +1

9.9.

∫

dx.

−arctg(1 3)

2sin 2x −5cos 2x +1

arccos(1

3 )

tg x

9.11.

∫

dx.

sin

2

x

−5cos

2

x +

4

π 4

arctg 3

4 + tg x

9.13.

∫0

dx.

2sin2 x +18cos2 x

arctg(2 3)

6 + tg x

9.15.

∫

dx.

9sin

2

x

+4cos

2

x

0

π 4

7 +3tg x

9.17.

∫0

dx.

(sin x +2cos x)2

9.19.

∫0

3tg2 x −50

dx.

−arccos(1 10 )

2 tg x +7

arcsin(2

5 )

4 tg x −5

9.21.

∫

dx.

2

π 4

4cos

x −sin 2x +1

9.23.

∫0

11 −3tg x

dx.

−arccos(1 5 )

tg x

+3

arccos(1

26 )

dx

9.25.

∫

.

(6 −tg x)sin 2x

π 4

π 4

2 − tg x

9.27. −arcsin∫(2

dx.

5 )

(sin x +3cos x)2

arccos(1

26 )

12dx

9.29.

∫

.

(6

+5 tg x)sin 2x

arccos(1 10 )

arccos(1

6 )3tg2 x −1

9.31.

∫

.

tg

2

x +5

0

	arctg 3	1	+ctg x
	π∫4
9.10.				dx.
		(sin x +2cos x)2

π4 6sin2 x

9.12.∫0 3cos 2x −4dx.

	arctg 2				12 + tg x
9.14.	∫0								dx.
		3sin2 x +12cos2 x
	arcsin	3 7					tg2 xdx
9.16.	∫										.
				3sin		2	x +4cos	2	x −7
	0
	arcsin(3 10 )					2 tg x +5
9.18.	∫									dx.
					(5 −tg x)sin 2x
	arcsin(2		5 )

π4 5 tg x +2

9.20.∫0 2sin 2x +5dx.

arcsin

7 8

6sin2 x

9.22.

∫

dx.

4 +3cos 2x

0

arcsin 3

10

2 tg x

−5

9.24.

∫

dx.

(4cos x −sin x)

2

0

π 4

4 −7 tg x

9.26.

∫

dx.

0

2 +3tg x

arcsin

2 3

8 tg xdx

9.28.

∫

.

3cos

2

x +8sin 2x −7

π 4

π 3

tg2 x

9.30.

∫

dx.

4 +3cos 2x

0

Задача 10. Вычислить определенные интегралы.

10.1.	π∫ 28 sin8 x dx.	10.2. π∫24 sin6 xcos2 x dx.
	π 2		0
10.3.	2∫π sin4 xcos4 x dx.	10.4.	2∫π sin2 (x 4)cos6 (x 4) dx.
	0			0
10.5. π∫24 cos8 (x 2) dx.		10.6.		∫0	28 sin8 x dx.
	0			−π 2
10.7.	π∫ 24 sin6 xcos2 x dx.	10.8. π∫24 sin4 xcos4 x dx.
	π 2		0
10.9.	2∫π sin2 xcos6 x dx.	10.10.		2∫π cos8 (x 4) dx.
	0			0

10.11. π∫24 sin8 (x2) dx.

0

10.13. 2∫π 28 sin4 xcos4 x dx.

π2

10.15.2∫π cos8 x dx.

0

10.17. π∫24 sin6 (x2)cos2 (x2) dx.

0

10.19. π∫ 28 sin2 xcos6 x dx.

π2

10.21.2∫π sin8 x dx.

0

10.23. π∫24 sin4 (x2)cos4 (x2) dx.

0

10.25. 2∫π 28 cos8 x dx.

π2

10.12. ∫0 28 sin6 xcos2 x dx.

−π

10.14. π∫24 sin2 xcos6 x dx.

0

10.16. 2∫π sin8 (x4) dx.

0

10.18. ∫0	28 sin4 xcos4 x dx.
−π 2

10.20. π∫24 cos8 x dx.

0

10.22. 2∫π sin6 (x4)cos2 (x4) dx.

0

10.24. ∫0	28 sin2 xcos6 x dx.
−π 2

10.26. π∫24 sin8 x dx.

0

10.27.	2∫π sin6 x cos2 x dx.	10.28.	2∫π sin4 (x 4)cos4 (x 4) dx.
	0		0
10.29. π∫24 sin2 (x 2)cos6 (x 2) dx.		10.30.	∫0	28 cos8 x dx.
	0		−π 2
10.31.	2∫π sin4 3xcos4 3x dx.
	0

Задача 11. Вычислить определенные интегралы.

11.1. ∫1

4

1− x − 3x +1

dx.

3x +1 +4 1− x )(3x +1)

2

0

(

−7 8

6 x

+2

11.3. −14∫15

dx.

(x +2)2

x +1

5

5−x

dx

11.5. ∫e

5+x

.

(5 + x)

25 − x

2

0

1

1−x

dx

11.7. ∫e

1+x

.

(1 + x)

1 − x

2

0

8

5 x +24

11.9. ∫1

dx.

(x +24)2

x

11.11.

10∫

4 − x

dx.

6

x −12

11.13.

∫0

xdx

.

−1 2 2 +

2x +

1

1

15

x +3

11.15.

1∫8

dx.

(x +3)2

x

11.17. ∫3

3 −2x

dx.

2

2x −7

64

1 − 6

x +2 3

x

11.2. ∫

dx.

3

3

4

1 x

+2

x

+

x

11.4. ∫9

9 −2x

dx.

6

2x −21

11.6.

12∫

6 − x

dx.

8

x −14

10 3

x +2 +

x −2

11.8.

∫

dx.

( x +2 −

x −2 )(x −

2)

2

5 2

11.10. ∫2

x +

3x −2 −10

dx.

1

3x −2 +7

2

(4 2 − x − 2x +2 )dx

11.12. ∫

.

(

2x +2 +4 2 − x )(2x +

2)

2

0

4

4−x

dx

11.14. ∫e

.

4+x

(4 + x) 16 − x

2

0

11.16. ∫1

3 3x +5 +2

dx.

3

−5 3 1 +

3x +5

7

x +25

11.18. ∫0

dx.

(x +25)2

x +1

	2					(4 2 − x − 3x +2 )dx
11.19. ∫																			.
		(				3x +		2 +		4 2 − x )(3x +						2)		2
	0
11.21. ∫5					2 − x		dx.
	3					x −6
11.23.	15∫					6 − x			dx.
	9					x −18
	64			(2 + 3						x )dx
11.25. ∫													.
			(6 x +2 x3 + x )
	1											x
11.27. ∫6				e (6−x)					(6+x) dx		.
				6 + x)					2
	0 (								36 − x
	1					(4 1 − x − x +1)dx
11.29. ∫															.
		(				x +1 +4 1 − x )(x +1)								2
	0
	2					(4 2 − x − x + 2 )dx
11.31. ∫																	.
		(				x +2 +4 2 − x )(x +2)										2
	0

	2						2−x						dx
11.20. ∫e																						.
							2+x
										(2 + x)							4 − x				2
	0
	1 3				5						x +1
11.22.		∫24												dx.
	1					(x +1)2							x
	1						(4 1 − x − 2x +1)dx
11.24. ∫																									.
			(				2x +1 +4 1 − x )(2x +																1)	2
	0
		4 3						4			x
11.26.		∫											dx.
								2
	16 15 x										x −1
	64						6 −				x + 4 x
11.28. ∫																				dx.
							x	3	−7x −6						4			x	3
	1
	3				e (3−x) (3+x) dx
11.30. ∫																		.
			(		3 + x)							9 − x				2
	0

Задача 12. Вычислить определенные интегралы.

12.1.	16∫			256 − x2 dx.
	0
	5						dx
12.3. ∫															.
			(25 + x			2	)		25 + x					2
	0
		5 2			dx
12.5.		∫											.
				(5 − x2 )							3
		0
		2 2		x4dx
12.7.		∫										.
				(	− x			2	)	3
		0		1

12.2. ∫1	x2		1 − x2 dx.
0
12.4. ∫3				dx			.
	(9 + x2 )					3 2
0
2		x2 −1
12.6. ∫						dx.
			x	4
1
12.8. ∫3				dx				.
			(4 − x2 )				3
0

12.9. ∫1				x4dx					.
		(2 − x2 )					3 2
0
12.11. ∫2				4 − x2 dx.
	0
12.13. ∫4			x2		16 − x2 dx.
	0
12.15. ∫5			x2		25 − x2 dx.
	0
12.17.	4∫3					dx						.
					(64 − x2 )						3
	0
	2		2					x4dx
12.19.		∫													.
				(				2	)	16			− x	2
	0
					16 − x

12.21. ∫3

1

12.23. ∫2

0

12.25. ∫1

0

		dx			.
	(	+ x2	)	3
	1

x4dx .

(8 − x2 )3

4 − x2 dx.

2						dx
12.27. ∫															.
		(4 + x				2	)				4 + x		2
0
1	∫		2						dx
12.29.																.
			(					2	)		1	− x		2
	0
					1 − x
3 2					x2dx
12.31. ∫										.
					9 − x			2
0

12.10. ∫2					x2dx						.
				2
0					16 − x
12.12. ∫4							dx									.
		(				+ x2		)			3 2
0				16
5 2					x2dx
12.14. ∫													.
					25 − x					2
0
12.16. ∫4				16 − x2 dx.
0
2		2				x2 −		2
12.18.	∫											dx.
							x4
		2
12.20. ∫3			x2				9 − x2 dx.
−3
12.22. ∫2							dx										.
				(						2		)		3
0					16 − x
6					x2 −9
12.24. ∫									dx.
					x		4
3
4					x2 −4
12.26. ∫									dx.
					x		4
2
12.28. ∫2						x4dx									.
				(4 − x2 )						3 2
0
12.30. ∫1					x2dx				.
					2
0					4 − x

Задача 13. Найти неопределенные интегралы.

	13.1. ∫	1 +		x	dx.
		4	x	3
		x
	13.3. ∫	1 + 3 x			dx.
		x	x

13.5.∫3 1 + 3 x2 dx.

x9 x8

3			1 + 3					x2				)	2
13.7. ∫			(												dx.
				x	2		9	x
					3		x		2
13.9. ∫			1+								dx.
			x2
			4	1	+					x			3
13.11. ∫				(								)			dx.
				x		8		x		7
			4	1 +				3		x		2	)	3
13.13. ∫				(												dx.
				x			2	6		x

13.15.∫ 1 + 4 x3 dx.

x23

5		1	+			x	)	4
13.17. ∫		(								dx.
			10		x	9
		x
5		1 +			3	x	2	)	4
13.19. ∫		(									dx.
		x		2	5	x

13.21.∫5 1+ 5 x4 dx.

x2 25 x11

13.2. ∫	3	1	+		x		dx.
		x	3	x	2
13.4. ∫	3	1	+ 3 x				dx.
		x	9 4
				x
3		1 + 3				x		)	2
13.6. ∫		(								dx.
			x	9	x	5
3		1 +				x		)	2
13.8. ∫		(								dx.
			x	6	x	5

13.10. ∫ x12 +xx dx.

	4	1	+ 3			x					3
13.12. ∫		(							)						dx.
			12		x	7
		x
13.14. ∫		1 + 4 x3									dx.
		2 8
		x			x
	3 (1 +				4	x		3				)	2
13.16. ∫																dx.
	2				4	x
		x
	5	1	+ 3			x			)			4
13.18. ∫		(													dx.
		x		5	x	3
	5	1 + 4				x3						)	4
13.20. ∫		(														dx.
		x	2 20			x	7

13.22.∫ 1 + 5 x4 dx.

x2 5 x

3 (1 +

5

x

4

)

2

3 1+ 5

x4

13.23. ∫

dx.

13.24. ∫

dx.

2 15

x

2

3

x

x

x

4 1 +

5

x4

)

3

3

4

13.25. ∫

(

dx.

13.26. ∫

1+

x

dx.

x

2 5

x

2

3

x

x

3

1

+

4

x

2

4

3

13.27. ∫

(

)

dx.

13.28. ∫

1+

x

dx.

12

x

5

12

x

5

x

x

13.29. ∫

4 1+ 3 x2

dx.

13.30. ∫

3 1 + 5 x

dx.

x

6

x

5

15

x

4

x

13.31. ∫

5 1 + 3 x

dx.

5 2

x

x

Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

14.1.y =(x −2)3 , y = 4x −8.

y = 4 − x2 ,

14.3.y = x2 −2x.

14.5.	y =		4 − x2 ,	y = 0,
	x = 0,		x =1.
14.7.	y = cos xsin2 x,				y = 0,
	(0 ≤ x ≤π 2).
14.9. y =			1	,	y = 0,
		x	1 +ln x
	x =1,		x = e3 .

14.11.y =(x +1)2 , y2 = x +1.

14.2.	y = x 9 − x2 , y = 0,
	(0 ≤ x ≤3).
14.4.	y =sin xcos2 x,	y = 0,
	(0 ≤ x ≤π 2).
14.6.	y = x2 4 − x2 , y = 0,
	(0 ≤ x ≤ 2).
14.8.	y = ex −1, y = 0,
	x = ln 2.
14.10. y = arccos x,		y = 0,
	x = 0.

y = 2x − x2 +3,

14.12.y = x2 −4x +3.

14.13.	y = x 36 − x2 , y = 0,
	(0 ≤ x ≤ 6).
	y = arctg x,					y = 0,
14.15. x =		3.
14.17.	x =		ey −1,			x = 0,
	y = ln 2.
	y =		x		,	y = 0,
14.19.		1 +
				x

x=1.

14.21.x =(y −2)3 ,

x= 4 y −8.

	y =					x		,		y = 0,
			(	x	2	)	2
14.23.
	x =1.
14.25. x =						1			,	x = 0,
		y			1+ln y
	y =1,					y = e3 .

y = x2 16 − x2 , y = 0,
14.27. (0 ≤ x ≤ 4).
y =(x −1)2	,
14.29.

y2 = x −1.

14.31.x = 4 −(y −1)2 , x = y2 −4 y +3.

	14.14.	x = arccos y,							x = 0,
		y = 0.
		y = x2 8 − x2 , y = 0,
	14.16. (0 ≤ x ≤ 2					2 ).
	14.18.	y = x 4 − x2 , y = 0,
		(0 ≤ x ≤ 2).
		y =			1			,	y	= 0,
	14.20.		1		+cos x
		x =π 2,				x = −π 2.
	14.22.	y = cos5 xsin 2x,								y = 0,
		(0 ≤ x ≤π 2).

x = 4 − y2 ,

14.24.x = y2 −2 y.

		y =	e1 x	, y =	0,
	14.26.		x2
		x = 2,		x =1.
	14.28.	x = 4 − y2 ,			x = 0,
		y = 0,		y =1.
	14.30.	y = x2 cos x,			y = 0,
		(0 ≤ x ≤π 2).

Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

		2 cos		3	t,
	x = 4
15.1.		2 sin3 t,
	y = 2
		(x ≥ 2).
	x = 2
	x = 4	(t −sin t ),
15.3. y = 4		(1 −cost ),
		(0 < x <8π, y ≥ 4).
	y = 4
	x = 2cost,
15.5. y = 6sin t,
	y =3	(y ≥ 3).
			3
	x =16cos t,
	y =sin3 t,
15.7.
	x = 6 3 (x ≥ 6 3 ).

	x =3(t −sin t ),
	15.9. y =3(1 −cost ),
		(0 < x < 6π, y ≥3).
	y =3
		2 cost,
	x = 2
		2 sin t,
	15.11. y =3
		(y ≥ 3).
	y =3
			3
	x =32cos			t,
	15.13. y =sin3 t,
		(x ≥ 4).
	x = 4
	x = 6	(t −sin t ),
	15.15. y = 6	(1 −cost ),
		(0 < x <12π, y ≥ 6).
	y = 6

		2 cost,
	x =
15.2.		2 sin t,
	y = 2

y = 2 (y ≥ 2).

x =16cos3 t,

15.4. y = 2sin3 t,

x = 2 (x ≥ 2).

( )

x = 2 t −sin t , 15.6. y = 2(1−cost ),

y =3 (0 < x < 4π, y ≥3).

x = 6cost,
15.8. y = 2sin t,
y = 3 (y ≥					3 ).
	2 cos			3	t,
x =8
	2 sin3 t,
15.10. y =
	(x ≥ 4).
x = 4
x = 6	(t −sin t ),
15.12. y = 6	(1 −cost ),
	(0 < x <12π, y ≥9).
y =9
x =3cost,
15.14. y =8sin t,
y = 4	(y ≥ 4).
		3	t,
x =8cos
y = 4sin3 t,
15.16.			(x ≥3 3 ).
x =3 3

			3
	x = 6cos			t,
	y = 4sin3 t,
15.17.				(x ≥ 2 3 ).
	x = 2 3
		2 cos			3	t,
	x = 2
15.19.		2 sin3 t,
	y =
		(x ≥1).
	x =1

x = t −sin t,

15.21.y =1 −cost,

y =1 (0 < x < 2π, y ≥1).

x =9cost,

15.23.y = 4sin t,

	y = 2	(y ≥ 2).
			3
	x = 24cos			t,
	y = 2sin3 t,
15.25.
	x =9 3 (x ≥9 3 ).
	x = 2	(t −sin t ),
15.27. y = 2		(1 −cost ),
		(0 < x < 4π, y ≥ 2).
	y = 2
		2 cost,
	x = 2
15.29.		2 sin t,
	y =5
		(y ≥ 5).
	y =5
			3
	x =32cos			t,
	y =3sin3 t,
15.31.

x =12 3 (x ≥12 3 ).

	x =10		(t −sin t ),
			(1−cost ),
15.18. y =10
			(0 < x < 20π, y ≥15).
	y =15
		2 cost,
	x =
15.20.			2 sin t,
	y = 4
			(y ≥ 4).
	y = 4
				3
	x =8cos				t,
15.22. y =8sin3 t,
		(x ≥1).
	x =1
	x =8(t −sin t ),
15.24. y =8		(1 −cost ),
			(0 < x <16π, y ≥12).
	y =12
	x =3cost,
15.26. y =8sin t,
	y = 4 3				(y ≥ 4 3 ).
			2 cos			3	t,
	x = 4
15.28.		2 sin3 t,
	y =
			(x ≥ 2).
	x = 2
	x = 4	(t −sin t ),
15.30. y = 4		(1 −cost ),
			(0 < x <8π, y ≥ 6).
	y = 6

Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

16.1. r =		4cos3ϕ,	r = 2 (r ≥ 2).
16.3.	r =	3 cosϕ,	r =sinϕ,
		(0 ≤ϕ ≤π 2).
16.5.	r = 2cosϕ,		r = 2 3 sinϕ,
		(0 ≤ϕ ≤π 2).
16.7. r = 6sin 3ϕ,			r =3 (r ≥3).

r = cosϕ,

16.9.r = 2 sin (ϕ −π4),

(−π4 ≤ϕ ≤π2).

16.11. r = 6cos3ϕ, r =3 (r ≥3).

r = cosϕ,		r =sinϕ,
16.13. (0 ≤ϕ ≤π 2).
16.15. r = cosϕ,		r = 2cosϕ.
16.17. r =1 +	2 cosϕ.
16.19. r =1 +	2 sinϕ.

16.21.r =(32)cosϕ, r =(52)cosϕ.

16.23.r =sin 6ϕ.

16.25. r = cosϕ +sinϕ.

16.27. r = 2cos6ϕ.

16.2. r = cos 2ϕ.

16.4. r = 4sin 3ϕ, r = 2 (r ≥ 2).

16.6. r =sin 3ϕ.

16.8. r = cos3ϕ.

r =sinϕ,

16.10.r = 2 cos(ϕ −π4), (0 ≤ϕ ≤3π4).

16.12. r =12 +sinϕ.

r = 2 cos(ϕ −π4),

16.14.r = 2 sin (ϕ −π4), (π4 ≤ϕ ≤3π4).

16.16. r =sinϕ, r = 2sinϕ.

16.18.r =12 +cosϕ.

16.20.r =(52)sinϕ, r =(32)sinϕ.

16.22.r = 4cos 4ϕ.

16.24. r = 2cosϕ, r =3cosϕ.

16.26. r = 2sin 4ϕ.

16.28. r = cosϕ −sinϕ.

16.29.	r = 3sinϕ,	r = 5sinϕ.	16.30. r = 2sinϕ, r = 4sinϕ.
16.31.	r = 6sinϕ,	r = 4sinϕ.

Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

17.1. y = ln x,

3 ≤ x ≤

15.

17.2.

y =

x2

−

ln x

,

1 ≤ x ≤ 2.

4

2

17.3. y = 1 − x2

+arcsin x, 0 ≤ x ≤ 7 9.

17.3. y = ln

5

,

3 ≤ x ≤ 8.

2x

17.5. y = −ln cos x,

0 ≤ x ≤π 6.

17.6. y = ex +6,

ln

8 ≤ x ≤ ln 15.

17.7. y = 2 +arcsin

x +

x − x2 , 1 4 ≤ x ≤1.

		17.8. y = ln (x2 −1)
17.9. y = 1 − x2 +arccos x, 0 ≤ x ≤8 9.		17.10. y = ln (1 − x2
17.11. y = 2 +ch x,	0 ≤ x ≤1.	17.12. y =1 −ln cos
17.13. y = ex +13,	ln 15 ≤ x ≤ ln 24.

,	2 ≤ x ≤3.
),	0 ≤ x ≤1 4.
x,	0 ≤ x ≤π 6.

17.14.	y = −arccos	x + x − x2 ,					0 ≤ x ≤1 4.
17.15.	y = 2 −ex ,	ln	3 ≤ x ≤ ln			8.
17.16.	y = arcsin x −		1 − x2 ,		0 ≤ x ≤15 16.
17.17.	y =1 −ln sin x,			π 3 ≤ x ≤π 2.				17.18. y =1−ln (x2 −1),	3 ≤ x ≤ 4.
17.19.	y = x − x2	−arccos			x +5,		1 9 ≤ x ≤1.
17.20.	y = −arccos x +			1− x2 +1,			0 ≤ x ≤ 9 16.
17.21.	y = ln sin x,	π 3 ≤ x ≤π 2.						17.22. y = ln 7 −ln x,	3 ≤ x ≤ 8.
17.23.	y = ch x +3,	0 ≤ x ≤1.
17.24.	y =1 +arcsin x −			1 − x2 ,		0 ≤ x ≤3 4.
17.25.	y = ln cos x +2,			0 ≤ x ≤π 6.

17.26. y = ex +26,		ln		8 ≤ x ≤ ln	24.	17.27. y =	ex +e−x	+3,	0 ≤ x ≤ 2.
						2
17.28. y = arccos		x −		x − x2 + 4,	0 ≤ x ≤1 2.
17.29. y =	ex +e−x +3		,	0 ≤ x ≤ 2.		17.30. y = ex +e,		ln	3 ≤ x ≤ ln 15.
	4
17.31. y =	1 −ex −e−x			0 ≤ x ≤3.
			,
	2

Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

( )

x =5 t −sin t , 18.1. y =5(1 −cost ),

0 ≤t ≤π.

( )

x = 4 cost +t sin t , 18.3. y = 4(sin t −t cost ),

0 ≤t ≤ 2π.

x =10cos3 t,

18.5. y =10sin3 t, 0 ≤t ≤π2.

( )

x =3 t −sin t , 18.7. y =3(1 −cost ),

π ≤t ≤ 2π.

x =3(cost +t sin t ),

18.9. y =3(sin t −t cost ), 0 ≤t ≤π3.

( )

x =3 2cost −cos 2t , 18.2. y =3(2sin t −sin 2t ),

0 ≤t ≤ 2π.

x =(t2 −2)sin t +2t cost,

18.4.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤π.

x = et (cost +sin t ),

18.6. y = et (cost −sin t ), 0 ≤t ≤π.

x = 12 cost − 14 cos 2t,

18.8. y = 1 sin t − 1 sin 2t,2 4

π2 ≤t ≤ 2π3.

x =(t2 −2)sin t +2t cos t,

18.10.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤π3.

x = 6cos3 t,

18.11. y = 6sin3 t,

0 ≤ t ≤π3.

x = 2,5(t −sin t ),

18.13. y = 2,5(1 −cost ),

π2 ≤t ≤π.

( )

x = 6 cost +t sin t , 18.15. y = 6(sin t −t cos t ),

0 ≤t ≤π.

x =8cos3 t,

18.17. y =8sin3 t,

0≤t ≤π6.

x = 4(t −sin t ),

18.19.y = 4(1 −cost ),

π2 ≤t ≤ 2π3.

x =8(cost +t sin t ),

18.21.y =8(sin t −t cost ),

0 ≤t ≤π4.

x = 4cos3 t,

18.23. y = 4sin3 t,

π6 ≤t ≤π4.

x = 2(t −sin t ),

18.25. y = 2(1 −cost ),

0 ≤t ≤π2.

x = 2(cost +t sin t ),

18.27. y = 2(sin t −t cost ), 0 ≤t ≤π2.

x = et (cost +sin t ), 18.12. y = et (cost −sin t ),

π2 ≤t ≤π.

x =3,5(2cost −cos 2t ),

18.14. y =3,5(2sin t −sin 2t ), 0 ≤t ≤π2.

x =(t2 −2)sin t +2t cos t,

18.16.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤π2.

x = et (cost +sin t ),

18.18. y = et (cost −sin t ), 0 ≤t ≤ 2π.

x = 2(2cost −cos 2t ),

18.20. y = 2(2sin t −sin 2t ), 0 ≤t ≤π3.

x =(t2 −2)sin t +2t cos t,

18.22.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤ 2π.x = et (cost +sin t ),

18.24. y = et (cost −sin t ), 0 ≤t ≤3π2.

( )

x = 4 2cost −cos 2t , 18.26. y = 4(2sin t −sin 2t ),

0 ≤t ≤π.

x =(t2 −2)sin t +2t cos t,

18.28.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤3π.

		3		x = e		t	(	cost +sin t	)	,
	x = 2cos t,
18.29.		3 t,	18.30.		y = et (cost −sin t ),
	y = 2sin
	0 ≤t ≤π 4.
						π 6 ≤t ≤π 4.

x =(t2 −2)sin t +2t cos t,

18.31.y =(2 −t2 )cost +2t sin t,

0 ≤t ≤π.

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных

координатах.
19.1. ρ =3e3ϕ 4 ,				−π 2 ≤ϕ ≤π 2.		19.2. ρ = 2e4ϕ 3 ,			−π 2 ≤ϕ ≤π 2.
19.3. ρ = 2 eϕ ,				−π 2 ≤ϕ ≤π 2.		19.4. ρ = 5e5ϕ 12 ,			−π 2 ≤ϕ ≤π 2.
19.5. ρ = 6e12ϕ 5 ,				−π 2 ≤ϕ ≤π 2.		19.6. ρ =3e3ϕ 4 ,			0 ≤ϕ ≤π 3.
19.7. ρ = 4e4ϕ 3 ,				0 ≤ϕ ≤π 3.		19.8. ρ = 2 eϕ ,			0 ≤ϕ ≤π 3.
19.9. ρ = 5e5ϕ 12 ,				0 ≤ϕ ≤π 3.		19.10. ρ =12e12ϕ 5 , 0 ≤ϕ ≤π 3.
19.11. ρ =1 −sinϕ, −π 2 ≤ϕ ≤ −π 6.						19.12.
ρ = 2(1 −cosϕ),				−π ≤ϕ ≤ −π 2.
19.13. ρ =3(1 +sinϕ),					−π 6 ≤ϕ ≤ 0.	19.14. ρ = 4	(1 −sinϕ),			0 ≤ϕ ≤π 6.
19.15. ρ =5	(1 −cosϕ),				−π 3 ≤ϕ ≤ 0.	19.16. ρ = 6	(1 +sinϕ),			−π 2 ≤ϕ ≤ 0.
19.17. ρ = 7	(1 −sinϕ),				−π 6 ≤ϕ ≤π 6.
19.18. ρ =8	(1 −cosϕ),				−2π 3 ≤ϕ ≤ 0.
19.19. ρ = 2ϕ,		0	≤ϕ ≤3 4.			19.20. ρ = 2ϕ,		0 ≤ϕ ≤ 4 3.
19.21. ρ = 2ϕ,		0	≤ϕ ≤5 12.			19.22. ρ = 2ϕ,		0 ≤ϕ ≤12 5.
19.23. ρ = 4ϕ,		0	≤ϕ ≤3 4.			19.24. ρ =3ϕ,		0 ≤ϕ ≤ 4 3.
19.25. ρ =5ϕ,		0 ≤ϕ ≤12 5.				19.26. ρ = 2cosϕ,			0 ≤ϕ ≤π 6.
19.27. ρ =8cosϕ,				0 ≤ϕ ≤π 4.		19.28. ρ = 6cosϕ,			0 ≤ϕ ≤π 3.
19.29. ρ = 2sinϕ,				0 ≤ϕ ≤π 6.		19.30. ρ =8sinϕ,			0 ≤ϕ ≤π 4.

19.31. ρ = 6sinϕ,

0 ≤ϕ ≤π 3.

Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

20.1.

x2

+ y2

=1,

z = y,

z = 0 (y ≥ 0).

20.2. z = x2 + 4 y2 ,

z = 2.

9

20.3.

x2

+

y2

− z

2

=1,

z = 0,

z =3.

20.4.

x2

+

y2

−

z

2

= −1,

z =12.

9

4

9

4

36

20.5.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z =1,

z = 0.

16

9

4

20.6. x2 + y2 =9,

z = y,

z = 0

(y ≥ 0).

20.7.

z = x2 +9 y2 ,

z =3.

20.8.

x2

+ y2 − z2 =1, z = 0, z =3.

4

20.9.

x2

+

y2

−

z2

= −1,

z =16.

20.10.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z

= 2,

z = 0.

9

16

64

16

9

16

20.11.

x2

+

y2

=1,

z = y

3,

z = 0

(y ≥ 0).

20.12. z = 2x2 +8 y2 ,

z = 4.

3

4

20.13.

x2

+

y2

− z2

=1,

z = 0,

z = 2.

20.14.

x2

+

y2

−

z2

= −1,

z =12.

81

4

25

9

36

20.15.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z =3, z = 0.

16

9

36

20.16.

x2

+

y2

=1,

z = y

3,

z = 0

(y ≥ 0).

3

16

20.17. z = x2 +5 y2 , z =5.

20.18.

x2

+

y2

− z2 =1,

z = 0,

z = 4.

9

4

20.19.

x2

+

y2

−

z

2

= −1,

z = 20.

20.20.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z

= 4,

z = 0.

9

25

100

16

9

64

20.21.

x2

+

y2

=1,

z =

y

, z = 0

(y ≥ 0).

20.22. z = 4x2 +9 y2 ,

z = 6.

27

3

25

20.23. x2 +

y2

− z2

=1,

z = 0,

z =3.

20.24.

x2

+

y2

−

z2

= −1,

z = 20.

25

100

4

9

	20.25.		x2	+	y2	+		z2	=1, z =5, z = 0.
		16			9		100

	20.26.	x2	+ y2 =1, z =	y	, z = 0	(y ≥ 0).
		27		3

20.27. z = 2x2 +18 y2 , z = 6.

20.29.

x2

+

y2

−

z2

= −1,

z =16.

16

9

64

20.31.

x2

+

y2

+

z2

=1,

z = 7, z = 0.

16

9

196

20.28.

x2

+

y2

− z2

=1,

z = 0,

z = 2.

25

9

20.30.

x2

+

y2

+

z

2

=1,

z = 6,

z = 0.

16

9

144

Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1–16 ось вращения Ox , в вариантах 17–31 ось вращения Oy .

21.1. y = −x2 +5x −6,

y = 0.

21.2. 2x − x2 − y = 0,

2x2 −4x + y = 0.

21.3. y =3sin x,

y =sin x, 0 ≤ x ≤π.

21.4. y =5cos x,

y = cos x,

x = 0, x ≥ 0.

21.5. y =sin2 x,

x =π 2,

y = 0.

21.6. x = 3 y −2,

x =1,

y =1.

21.7. y = xex ,

y = 0,

x =1.

21.8. y = 2x − x2 ,

y = −x +2,

x = 0.

21.9. y = 2x − x2 ,

y = −x +2.

21.10. y = e1−x ,

y = 0,

x = 0,

x =1.

21.11. y = x2 ,

y2 − x = 0.

21.12. x2 +(y −2)2

=1.

21.13. y =1 − x2 ,

x = 0,

x = y −2,

x =1.

21.14. y = x2 ,

y =1,

x = 2.

21.15. y = x3 ,

y =

x.

21.16. y =sin (πx 2),

y = x2 .

21.17. y = arccos(x 3),

y = arccos x,

y = 0.

21.18.

y = arcsin (x 5),

y = arcsin x,

y =π 2.

21.19. y = x2 ,

x = 2,

y = 0.

21.20. y = x2 +1,

y = x,

x = 0,

y = 0.

21.21. y = x −1,

y = 0,

y =1, x = 0,5. 21.22. y = ln x,

x = 2,

y = 0.