Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца учебно-методическое пособие

УДК 517.926

Журавлева И.Е.

Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца : учебное пособие / И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 29 с.

Показана инвариантность полной системы уравнений Максвелла преоб- разованиям Лоренца. Получены электромагнитные инварианты преобразо- ваний. Приведён алгебраический вывод преобразований Лоренца как след- ствие однородности и изотропности пространства-времени. Дано решение начальной задачи на бегущие по длинной линии волны методом интеграла Фурье. В случае среды с переменной скоростью распространения рассмотре- но движение волнового фронта и выведено уравнение луча.

УДК 517.926

♥ И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко, 2015

2

3

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Изучаемые в электродинамике электромагнитные явления описы- ваются определенного вида силовыми векторными полями. Векторы напряженностей этих полей связаны системой дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла:

Как следствие уравнений (1), (3), плотность электрического заря- да ρ и вектор плотности тока проводимости j связаны соотношением

получившим название уравнения непрерывности.

Векторы электрической и магнитной индукций D и B выражаются через векторы напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н посредством электромагнитных характеристик материальной среды:

где εа и μа – в общем случае тензоры электрической и магнитной проницаемости.

Ток проводимости обычно разделяют на сумму собственно тока проводимости, связанного с напряженностью электрического поля по закону Ома, и так называемого стороннего тока от внешнего ис- точника, никак не зависящего от возбуждаемого им электромагнит- ного поля. Следовательно,

j = σE + jст ,

где σ – удельная объемная проводимость среды.

4

Равенства (2) и (4) позволяют представить индукцию магнитного поля в виде

а напряженность электрического поля – в виде

Скалярное поле ϕ и векторное поле А называются соответственно скалярным и векторным потенциалами.

Для того чтобы записать уравнения для этих потенциалов, необ- ходимо привлечь материальные соотношения (6) и (7). Достаточно просто это проделать в случае однородной изотропной среды, т.е. когда проницаемость εа и μа суть постоянные скаляры. Действитель- но, внося представления (8) и (9) в уравнения (1) и (3), с учетом (6) и

(7) получим

Или, принимая во внимание тождества

rotrot A = − A + graddiv A, * div gradϕ = ϕ,

можем записать

5

Так как векторный потенциал вводился посредством лишь одного равенства (8), то тем самым допускался произвол в определении его дивергенции. Поэтому можно потребовать обращения в нуль выра- жения в круглых скобках в правых частях уравнений (10), (11). Тогда

= − 1 ∂ϕ divA c2 ∂t ,

и для векторного и скалярного потенциалов получаются независи- мые волновые уравнения:

6

2. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в свободном пространстве

где ε0 = 10−9 36π = 8,854 10–12 Ф/м; μ0 = 4π 10–7 = 1,257 10–6 Г/м – размерные постоянные, найденные экспериментально и называемые соответственно электрической и магнитной постоянными вакуума.

Выпишем уравнения (12) и (13) в прямоугольной системе координат:

Перейдем в этих уравнениях с помощью общего линейного пре- образования от системы отсчета (x, y, z, t) к новой системе отсчета

(x′, y′, z′, t′):

x′ = αx + βt, y′ = y, z′ = z, t′ = γx + δt.

7

Постоянные коэффициенты α, β, γ, δ определим исходя из требо- вания инвариантности уравнений Максвелла этим преобразованиям.

Частные производные преобразуются по правилам

Соответственно, в новых координатах покомпонентная запись уравнений Максвелла будет выглядеть так:

Отсюда для коэффициентов преобразования необходимо следуют такие два равенства:

α = δ, β = c2 γ ,

8

Выразим с помощью обратного преобразования первоначальные компоненты электромагнитного поля через его новые компоненты:

Для того чтобы получить в штрихованных переменных систему уравнений, в точности по виду совпадающую с исходной системой Максвелла, нужно еще положить

Учитывая вышеприведенные соотношения, нетрудно получить формулы преобразования дивергенций при переходе от новых коор- динат к старым. Они выглядят так:

Принимая во внимание соответствующие уравнения исходной системы, получим

div′H ′ = 0 .

9

Здесь использовано обозначение v = − αβ .

Наконец, полагая

приводим уравнения в штрихованных переменных к стандартной форме записи максвелловской системы для свободного пространства, а именно

Выпишем теперь окончательные выражения для коэффициентов

преобразования. Во-первых, из условия

= α2 − c2 γ 2 = 1,

находим

Остальные коэффициенты выражаются через α как

δ = α, β = −αv, γ = −α v . c2

Произвольный параметр v имеет смысл относительной скорости движения систем отсчета.

Таким образом, преобразования пространственных координат и времени, относительно которых система уравнений Максвелла ока-

залась инвариантной, таковы: x′ = α(x − vt), y′ = y, z′ = z,

а обратные им –

10