Финансовая математика методические указания для самостоятельной работы студентов

с намерением продать ее через определенное время по цене, на некоторое количество процентов превышающей цену приобретения.

Пользуясь данными, представленными в табл. 5, оцените доходность данных вариантов вложения денежных средств. Возможными по вариантам прочими расходами пренебречь.

Таблица 5. Исходные данные

Вариант	Срок	Годовая про-	Количество	Ожидаемый темп
№	сделок,	центная ставка	начислений про-	прироста стоимо-
	в годах	по вкладу, %	центов в течение	сти монеты, %
			года
Пример	1,5	6	12	10
1	2	10	4	12
2	1	8	2	10
3	1,5	7	12	10
4	3	8	2	10
5	2	10	12	12
6	1,5	8	4	10
7	1	6	2	8
8	2,5	8	12	10
9	2	7	4	8
10	3	8	4	10

Решение

Для исчисления доходности сделок (операций) в финансовой практике принято использовать эффективные ставки.

В первом случае доходность можно найти по формуле

			i(m)	m
	ief	1		1,
			m

где i(m) – номинальная годовая процентная ставка;

m – количество начислений процентов в течение года (если проценты начисляются ежемесячно, то m = 12).

Подставляя данные задачи, получим

			0,06	12
	ief	1		1 0,0617 или 6,17%.
			12

11

Во втором случае следует воспользоваться формулой, в которой номинальная годовая процентная ставка явно не задана:

		1
iеf	Sn		n	1.
	P

В качестве Р в данной задаче выступает некая сумма, которую потратили на покупку монеты. Sn – это цена, по которой монету ожидается продать.

По условию задачи, ожидаемая цена продажи на 10% выше цены приобретения. Значит, Sn 1.1P . Тогда

1,1P iеf P

1

1.5

1 0,065, или 6,5%.

Расчеты показали, что второй вариант вложения денежных средств выгоднее, так как эффективная процентная ставка выше.

Задача 6

По данным, содержащимся в табл. 6, найдите силу роста (непрерывную ставку), с использованием которой возможно получить такой же доход от вложения денежных средств, что и по процентной ставке с неоднократным в течение года начислением сложных процентов.

Таблица 6. Исходные данные

Вариант	Сложная годовая процентная	Подпериод начисления сложных
№	ставка , %	процентов
Пример	12	квартал
1	8	квартал
2	6	полугодие
3	12	месяц
4	10	полугодие
5	8	полугодие
6	9	квартал
7	12	месяц
8	8	полугодие
9	6	квартал
10	10	полугодие

12

Решение

Ставки, которые дают возможность за один и тот же срок получить одинаковый доход, называют эквивалентными. Таким образом, в задаче требуется найти силу роста, эквивалентную сложной процентной ставке 12% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Для этого воспользуемся формулой

i(m)

m ln(1 m ),

где – сила роста;

i( m) – сложная годовая процентная ставка;

m – количество начислений сложных процентов в течение года. Для условий примера

	4 ln(1	0,12	) 0,1182, или 11,82 %.
		4

Т.е. наращение по непрерывной ставке 11,82% дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение по процентной ставке 12 % годовых.

Задача 7

Пользуясь данными, содержащимися в табл.7., выясните, будут ли эквивалентными два варианта соглашений. В расчетах предусмотрите возможность помещения денег в банк под процентную ставку с ежеквартальным начислением сложных процентов.

Таблица 7. Исходные данные

Вариант	Первоначальные		Условия, предложенные		Годовая
№	условия		кредитором		процентная
	соглашения				ставка,
	суммы,	сроки воз-	суммы,	сроки воз-	%
	тыс. руб.	врата, мес.	тыс. руб.	врата, мес.
Пример	250; 280	6; 12	200; 250	3; 9	12
1	280; 300	3; 9	250; 290	2; 8	10

13

Окончание табл. 7

Вариант	Первоначальные		Условия, предложен-		Годовая
№	условия		ные кредитором		процентная
	соглашения				ставка,
	суммы,	сроки воз-	суммы,	сроки воз-	%
	тыс. руб.	врата, мес.	тыс. руб.	врата, мес.
2	350; 400	8; 15	320; 380	6; 12	8
3	380; 400	10; 15	320; 350	9; 12	12
4	420; 450	5; 18	400; 430	3; 15	12
5	650; 700	9; 18	640; 650	6; 12	14
6	520; 600	3; 12	500; 590	1; 9	10
7	850; 900	6; 18	830; 880	3; 12	12
8	320; 380	8; 12	300; 350	5; 10	8
9	460; 500	12; 15	420; 480	10; 12	10
10	560; 620	15; 18	540; 600	12; 15	8

По контракту предприниматель обязался выплатить кредитору долг двумя суммами через определенные сроки. Кредитор предложил изменить условия контракта и внести в счет погашения долга суммы меньшие, но раньше дат, указанных в первоначальном варианте соглашения.

Решение

При решении данной задачи следует опираться на свойство денег в условиях рыночной экономики – их временную ценность.

Эквивалентными соглашения (контракты) будут считаться в том случае, если суммы приведенных к одному моменту времени платежей по «старым» и «новым» условиям будут одинаковы. Причем расчет приведенных стоимостей, в отличие от простых процентов при применении сложной схемы, можно осуществлять на любой момент времени.

Выберем в качестве даты приведения момент заключения соглашения.

Приводить (дисконтировать) платежи будем по формуле дисконтирования сложными процентами с использованием процентной ставки.

Сумма дисконтированных платежей, согласно первоначальным условиям, составляет

14

	Pk		250					280				484,42535тыс. руб.
		(1	0,12	)	4 0,5	(1			0,12	)	4 1
			4					4

Теперь найдем сумму дисконтированных платежей согласно условиям, предложенным кредитором:

	Pk		200					250			422,96017	тыс. руб.
		(1	0,12	)	4 0,25	(1		0,12	)	4 0,75
			4					4

Несмотря на то, что варианты не эквивалентные, заемщик может согласиться на подобное изменение условий, поскольку во втором случае он заплатит кредитору меньшие суммы.

Задача 8

Клиент обменивает имеющиеся у него доллары США и помещает полученную сумму на рублевом депозите, а затем наращенную сумму опять конвертирует в доллары (совершает операцию двойной конвертации). По данным, представленным в табл. 8, выясните, целесообразна ли эта финансовая операция при заданных процентных ставках на долларовом и рублевом депозитах и ожидаемом курсе покупки долларов в конце финансовой операции. В расчетах использовать простые проценты.

Таблица 8. Исходные данные

Вариант	Срок фи-	Годовая	Годовая	Курс по-	Ожидае-
№	нансовой	процент-	процент-	купки дол-	мый курс
	операции,	ная ставка	ная ставка	ларов в	продажи в
	мес.	на рубле-	на долла-	начале	конце сро-
		вом депо-	ровом де-	срока опе-	ка опера-
		зите,	позите,	рации, руб.	ции,
		%	%		руб.
Пример	3	3	1	60,25	60,5
1	4	2	1	60,15	60,18
2	2	3	1	60,20	60,25

15

Окончание табл. 8

Вариант	Срок фи-	Годовая	Годовая	Курс по-	Ожидае-
№	нансовой	процент-	процент-	купки дол-	мый курс
	операции,	ная ставка	ная ставка	ларов в	продажи в
	мес.	на рубле-	на долла-	начале	конце сро-
		вом депо-	ровом де-	срока опе-	ка опера-
		зите,	позите,	рации, руб.	ции,
		%	%		руб.
3	5	4	1,5	61,15	61,22
4	3	2	1	62,35	62,40
5	4	3	1,8	60,27	60,33
6	2	2	1	61,12	61,25
7	5	4	1,5	62,12	62,32
8	3	3	1,8	60,37	60,42
9	4	3	1,8	60,24	60,35
10	1	2	1	60,17	60,28

Решение

Если перед началом финансовой операции предполагают, что курс валюты в рублях Кn будет меньше

1 ni K0 1 ni,

то целесообразна операция двойной конвертации. Если же курс валюты будет больше

1 ni K0 1 ni,

то лучше воспользоваться депозитом в исходной валюте.

Найдем значение курса продажи валюты в конце финансовой операции, при котором оба варианта вложения денежных средств принесут одинаковый доход:

	K n	60,25	1		0,25	0,03		60,55 руб.
				1	0,25	0,01

Сравним рассчитанное значение курса продажи долларов с ожидаемым значением: 60,5 60,55. Значит, операция двойного конвертирования имеет смысл.

16

Задача 9

По данным, содержащимся в табл.9, найдите сумму на вкладе в момент его закрытия (с учетом инфляции). При каком значении процентной ставки будет происходить реальное наращение капитала? В расчетах применить простые проценты. Срок вклада три месяца.

Таблица 9. Исходные данные

Вариант

Первоначальный

Годовая про-

Темпы инфляции, %

№капитал, тыс. руб. центная ставка,

		%	1-й	2-й	3-й
			мес.	мес.	мес.
Пример	100	3	10	20	20
1	120	4	10	10	20
2	140	5	20	20	30
3	150	6	10	20	20
4	170	4	20	20	30
5	180	2	10	20	30
6	20	3	10	10	20
7	100	5	20	30	30
8	150	4	20	20	30
9	140	3	10	20	20
10	120	2	10	20	30

Решение

Инфляция приводит к обесценению денег, т.е. к потере покупательной способности. Из-за инфляции реальная доходность финансовых сделок оказывается меньше номинальной доходности, т.е. той, что указана в договоре.

Соотношение между индексом цен и темпом инфляции за время t имеет следующий вид:

I (t )	1 h ,
p	t

где ht – темп инфляции.

Индекс цен за данный период показывает, во сколько раз выросли цены по отношению к уровню цен предыдущего периода.

17

Если известны индексы цен или темпы инфляции за периоды времени t1, t2, …, tk и эти периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс цен за время t = t1+t2+…+tk будет равен

				k	k
I (t )	I (t1 )	I (t2 )	... I (tk )	I (ti )	(1 h ).
p	p	p	p	p	t
					i
			i	1	i 1

Так как индексы цен по месяцам последовательно равны 1,01; 1,02; 1,02; то индекс цен за квартал (0,25 часть года) составит величину

I p(0,25) 1,1 1,2 1,2 1,584.

Если за время t была получена некоторая наращенная сумма S, а индекс цен составил величину I (pt ) , то эта сумма с учетом

ее обесценения для условий простых процентов будет находиться по следующей формуле:

				P(1	ni)	.
	S
				I
					(t )
					p

Таким образом, для данного примера наращенная сумма с учетом инфляции составляет

			100(1		0,25	0,03)
	S						63,60479 тыс. руб.
					1,584

Покупательная способность денег вследствие высокой инфляции упала настолько, что наращенная сумма оказалась меньше первоначального капитала.

Реальное наращение капитала будет происходить, если ставка будет превышать значение, найденное по следующей формуле:

	*	I (pt ) 1
i			.
		n

Подставим в формулу данные примера:

i	*	1,584		1	2,336,	или 233,6%.
		0,25

Получили, что капитал будет расти реально, если ставка превысит 233,6%.

18

Задача 10

Объект недвижимости сдается в аренду и приносит определенный ежегодный доход. По данным, представленным в табл. 10, рассчитайте, на какую минимальную цену стоит согласиться владельцу объекта недвижимости, если он решит его продать.

Таблица 10. Исходные данные

Вариант	Ежегодный доход от сдачи	Срок службы	Стоимость
№	объекта в аренду, тыс. руб.	объекта, в годах	денег, %
Пример	500	10	5
1	400	20	6
2	500	10	5
3	700	25	8
4	600	15	3
5	200	20	4
6	150	25	2
7	350	10	5
8	600	20	5
9	420	15	8
10	500	20	5

Решение

Представим поток платежей от сдачи объекта недвижимости в аренду в виде постоянного срочного аннуитета постнумерандо. Приведенная к «настоящему» (т.е. к моменту времени, когда принимается решение) стоимость этого потока определяет минимальную цену, на которую стоит соглашаться владельцу в случае, если он решит продать этот объект.

Находится она по следующей формуле:

PV a	A n		1	A	1 (1 i) n	,
pst	k 1 (1		i)k		i

где А – для условий примера ежегодный доход от сдачи объекта в аренду;

n – срок службы объекта (в годах);

i – стоимость денег в виде годовой сложной процентной ставки. Подставим данные примера в формулу:

19

PV a	500	1 (1 0,05) 10	500 7,7217 3860,85 тыс. руб.
pst	0,05

Таким образом, данный объект не стоит продавать по цене ниже, чем 3 860 850 руб.

20