Синергетика методические рекомендации

УДК 57(075.8)

ББК 28 я 73

С38

Рецензент:

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой ТПОП Кабардино-Балкарского государственного аграрного университета

А.С. Джабоева

Составители: Пшикова О.В., Шаов М.Т., Аккизов А.Ю.

С38 Синергетика [Текст] : методические рекомендации / О. В. Пшикова, М. Т. Шаов, А. Ю. Аккизов. – Нальчик : Каб.-Балк. ун-т,

2015. – 23 с. – 100 экз.

Издание содержит методические рекомендации по изучению курса, а также информационный минимум как по классической, так и по неотермодинамике.

Предназначено для студентов четвертого курса направления «Биология».

Рекомендовано РИСом университета

УДК 57(075.8)

ББК 28 я 73

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 2015

2

ВВЕДЕНИЕ

Синергетика – наука о самоорганизации неравновесных динамических систем – стала складываться во второй половине XX в. благодаря работам отечественных ученых Б.П. Белоусова и А.М. Жаботинского в области колебательных химических реакций, бельгийского физико-химика И. Пригожина по неравновесной термодинамике и немецкого физика Г. Хакена по квантовой электронике. Именно Хакен является автором термина «синергетика» (от греч. synergetike – совместное действие). В этом названии подчеркивается роль коллективных процессов, совместное действие многих подсистем сложной системы в процессе самоорганизации.

К настоящему времени синергетика достигла значительных успехов в объяснении динамики развития физических, химических, биологических, экономических, экологических, социально-политических и других систем. Универсальность ее методов, не зависящих от конкретной природы изучаемой системы, основана на одинаковости математических уравнений, описывающих объекты, сходные по симметрии своих свойств и оказываемого на них воздействия.

Особый интерес вызывает понятие энтропии, первоначально введенное Рудольфом Клаузиусом и У. Гиббсом с целью более удобного описания работы тепловых двигателей. Однако благодаря усилиям многих ученых – прежде всего Людвига Больцмана – стало очевидным, что это понятие играет универсальную роль. Именно энтропия определяет многие закономерности в поведении макроскопических систем, в том числе направление их глобальной (а иногда и локальной) эволюции. Более того, выяснилось, что энтропия является одним из фундаментальных понятий, стоящим в одном ряду с энергией, – универсальной мерой различных форм движения материи.

В частности, понятие энтропии оказалось связанным с не менее важными и общими понятиями – в первую очередь с количеством информации. С помощью энтропии стало возможным количественно оценивать и такие на первый взгляд, сугубо качественные понятия, как порядок (или структура) и беспорядок (или хаос), а также взаимную связь между ними и возможность перехода одного в другое. Оказалось, что не только порядок может естественно переходить в хаос, но и наоборот: при определенных условиях из хаоса могут возникать упорядоченные (как правило, диссипативные) структуры. Эти идеи лежат в основе бурно развивающейся в настоящее время на стыке физики, химии, математики и биологии новой отрасли науки – синергетики.

Синергетика – область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования устойчивости и

3

разрушения упорядоченности временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы (физических, химических, биологических, экологических и др.). Возникновение организованного поведения может обусловливаться внешними воздействиями (вынужденная организация) или являться результатом развития собственных (внутренних) неустойчивостей в системе (саморегуляция). В последнем случае процесс упорядочения связан с коллективным поведением подсистем, образующих систему. Наряду с проблемой самоорганизации синергетика рассматривает также и вопросы самодезорганизации – возникновения хаоса (сложного поведения) в динамических системах. Как правило, исследуемые системы являются диссипативными открытыми системами.

Модели синергетики – это модели нелинейных неравновесных систем, подвергающихся действию флуктуаций. В момент перехода упорядоченная и неупорядоченная фазы отличаются друг от друга столь мало, что именно флуктуации переводят одну фазу в другую. Если в системе возможно несколько устойчивых состояний, то флуктуации отбирают лишь одно из них.

Методы синергетики в значительной степени перекрещиваются с методами теории колебаний и волн, термодинамики неравновесных процессов, теории фазовых переходов, теории информации и информатики, статистической механики и др. Для многих задач синергетики построение теории сводится к созданию и анализу вероятностной модели; здесь синергетика заимствует методы из математической теории стохастических процессов. Объектами синергетики являются следующие процессы: физико-химические, про- изводственно-технологические, биологические, экологические, социальные (политика, экономика и т.д.).

В синергетике есть такие понятия, как «хаос» и «порядок». При этом формула «порядок из хаоса» служит образным определением одного из основных свойств жизни – ее антиэнтропийности. Это свойство лежит в основе таких фундаментальных биологических процессов, как индивидуальное развитие организма и эволюция живой природы. Понятие «хаос» трактуется двояко: в философском смысле – как одна из первооснов устройства мира, первичное состояние материи. Однако к сложным биологическим системам более приложимо представление о временном состоянии динамического хаоса как неустойчивого состояния системы при перемене регуляционного режима.

4

ТЕМА 1. Термодинамические основы синергетики

При изучении темы необходимо вспомнить определения и сущность первого и второго законов термодинамики, вспомнить понятия характеристических функций, полного термодинамического потенциала и свободной энергии. Следует разобрать примеры расчетов изменений свободной энергии в биохимических реакциях. Особое внимание надо уделить движущей силе химического процесса и показать связь с химическим потенциалом. Необходимо иметь представление о величине химического сродства, которая пропорциональна разности химических потенциалов начальных и конечных продуктов, взятых с соответствующими стехиометрическими коэффициентами.

Следует разобрать вопрос связи энтропии и информации в биологических системах, привести выражения, показывающие количественную связь между энтропией и информацией, привести формулу Больцмана о связи энтропии с неупорядоченностью системы, уяснить, что биологическая ценность информации определяется не количеством бит, а способностью системы изменять свое поведение в соответствии с полученной информацией.

ТЕМА 2. Живой организм – открытая неравновесная стационарная система

При изучении темы необходимо уделить внимание вопросу о справедливости второго закона термодинамики для открытых систем. Основной постулат говорит о том, что общее изменение энтропии в открытых системах (dS) складывается из двух независимых частей: изменения энтропии системы за счет обмена со средой (dSe) и изменения за счет внутренних необратимых процессов (dSi) в самой системе: dS di S deS .

Следует уяснить, что живые организмы функционируют таким образом, что энтропия все время остается на минимальном уровне. Однако в пределах отпущенного минимума энтропия подвержена изменениям. С помощью этих изменений и их направленности можно судить о состоянии исследуемой живой системы. Так, например, изменение энтропии в открытой системе складывается из ее изменений при процессах, происходящих в самой системе (diS) и из изменений при обмене веществом и энергией с окружающей средой (deS):

dS diS deS.

Согласно второму закону, (diS) может быть только положительным или в предельном случае (обратимые процессы), равным нулю. Напротив, (deS) может принимать положительные (система получает энтропию) или

отрицательные (система отдает энтропию) значения, т.е. deS 0 .

При стационарном состоянии производные энтропии по времени должны исчезать, т.е.

5

Следовательно:

1)возрастание deS (притока энтропии) означает увеличение неупорядоченности в живой системе;

2)возрастание -deS может говорить о снижении неупорядоченности в живой системе;

3)приближение к нулю может означать уменьшение прироста неупорядоченности в системе при постоянных во времени условиях (теорема Пригожина).

В целом для системы «живой организм + окружающая среда» (среда, из которой берутся питательные вещества и которой отдаются продукты обмена) второй закон термодинамики действителен в своей классической форме», т.е. ее энтропия возрастает и никогда не уменьшается. Таким образом, живые организмы могут создавать внутри себя упорядоченность только за счет того, что они уменьшают упорядоченность в окружающей среде.

Студент должен знать, что независимость dSe и dSi достигается только вблизи равновесия.

Необходимо уяснить изменения баланса скорости изменений энтропии в открытых системах при разных условиях (рост, деградация, установление стационарного состояния). Привести формулу скорости изменений энтропии за счет внутренних необратимых процессов в открытых системах. Показать связь этой величины со скоростью химических процессов и их движущей силой (химическое сродство).

Затем следует перейти к разбору представлений об обобщенных силах (х) и обобщенных потоках (J) и привести примеры из биологии (закон Фика, перенос тепла, осмос и т.д.), разобраться в понятии электрохимического потенциала, уяснить уравнения Онзагера и показать, что они справедливы вблизи равновесия, т.е. в области линейной термодинамики.

Необходимо рассмотреть понятие и условия термодинамического сопряжения процессов, ввести величины эффективности сопряжения и степени сопряжения, привести биологические примеры (электроосмос, потенциал течения, транспорт воды и различных веществ через мембраны), разобрать термодинамические условия пассивного и активного транспорта.

Следует доказать теорему Пригожина о том, что скорость продуцирования энтропии в открытых системах в результате внутренних необратимых процессов принимает в стационарном состоянии минимальные положитель-

6

ные значения, уяснить границы применения этой теоремы. Теорема Пригожина выполняется, если справедливы соотношения Онзагера, т.е. вблизи от равновесия. Далее рассмотреть экспериментальные данные о теплопродукции в процессе развития биологических систем (эмбриональное развитие). Давая критику термодинамической теории роста и эволюции, надо показать, что вдали от равновесия термодинамика может дать критерий устойчивости стационарного состояния, но не может дать критерий направления движения системы к стационарной точке.

ТЕМА 3. Основы кинетики биологических процессов

При изучении темы следует разобраться в классификации систем, отметив, что биологические системы относятся к открытым системам. Отметить принципиальные отличия открытых систем от закрытых и изолированных.

Необходимо вспомнить основные положения химической кинетики, отметив, что кинетика занимается изучением поведения систем во времени на основе закономерностей взаимодействия ее составных элементов.

Следует запомнить, что в биосистемах переменными величинами, входящими в кинетические дифференциальные уравнения, могут быть концентрации промежуточных метаболитов или ионов, величины потенциалов, генерируемых на мембранах, численность клеток в проточных культурах и т.д. Другой особенностью биологической кинетики является то, что соответствующие процессы осуществляются в гетерогенных системах, где механизмы реакций не сводятся только к бинарным соударениям по типу реакций второго порядка, как это имеет место в простых химических реакциях в растворах. Это значит, что кинетика биологических процессов зависит от пространственных ограничений, обусловленных взаимодействиями между отдельными компонентами. Биологические системы обладают специальными механизмами регуляции, функционирующими по принципу обратной связи. Следует подробно остановиться на сущности этого принципа, показать его отличия от обычных реакций, возникающих в открытых системах в ответ на изменения внешних условий. Здесь можно привести пример обычной гидродинамической модели, где стационарное состояние устанавливается как результат равенства скоростей притока и оттока воды в резервуаре. Такая открытая система еще не обладает способностью к саморегуляции, и для сохранения стационарного уровня необходимо введение в нее специальных устройств.

Необходимо знать своеобразие кинетического поведения сложных биологических систем, проявляющееся в наличии различных типов динамического поведения: наличие внутреннего ритма (биологические часы) и автоколебательных режимов; триггерные свойства и способность переключаться из одного режима в другой; гетерогенный характер распределения реагентов, диффундирующих в пространстве с разными скоростями, что приводит к образованию

7

диссипативных структур. Следует привести примеры кинетических уравнений, способов нахождения их решений и стационарных концентраций.

Необходимо разобрать вопрос связи термодинамики, кинетики и информации в биологических системах.

В необратимых реакциях S k1 Р первого порядка максимальное

время может быть представлено формулой:

kt ,

где τ – безразмерное время (максимальное); k – константа реакции; t – реальное время превращения части субстрата в продукт.

Динамику данного типа реакций можно представить в виде дифференциальных уравнений:

где X и Y – собственно субстрат и продукт реакции. Произведя интегрирование диффуравнения (3) в определенных пределах X и τ, получим:

Следовательно, e в данном случае является математической моде-

лью субстрата, а 1 e – продукта. Математическая модель дает возможность рассчитать значение максимального (безразмерного) времени в точке равновесия и определить константу равновесия для данной системы.

С учетом этого свободную энергию Гиббса можно выразить в точке равновесия формулой:

Из преобразований Лежандра следует, что приращение внутренней энергии – величины, являющейся функцией состояния и для биологических объектов, – имеет формулу:

8

U G S .

Из статистической теории информации следует, что информационная энтропия определяется следующим образом:

in

H Pi log2 Pi .

n

Значение свободной энергии Гиббса, как следует из кинетики, можно рассчитать через константу равновесия формулой:

Если символы ΔG и ΔS заменить соответствующими значениями, можно получить новое математическое выражение, описывающее динамику энергии, вещества и информации в живой системе:

информации.

Последнее выражение может быть применено для более точного анализа механизмов воздействия на организм экстремальных факторов, в том числе гипоксии и адаптации к ней.

ТЕМА 4. Моделирование и модели роста численности популяции

Следует показать, что основной подход в современной кинетике и математическом моделировании биологических процессов заключается в отказе от точных аналитических решений дифференциальных уравнений, но получении качественных характеристик типов динамического поведения биологических систем, а также нахождении зависимости этих типов поведения от значений параметров, определяющих свойства систем.

Следует уяснить понятие устойчивости стационарных состояний как способности системы возвращаться в стационарное состояние после внесения в нее внешних возмущений. Студент должен разобраться в приемах определения такой устойчивости графическим способом.

Затем следует перейти к общему понятию типов стационарных точек на примере системы из двух уравнений, понятию фазовой плоскости, фазового портрета системы, дать графическое изображение типов динамического поведения около различных стационарных точек (узлы, фокусы, центры, седло – без математического доказательства), показать, что триггерные свойства системы раскрываются на фазовом портрете с тремя стационарными точка-

9

ми, одна из которых (средняя) неустойчива (тип «седло»). Следует рассмотреть способы триггерного переключения – силовой и параметрический.

Также необходимо рассмотреть модели роста численности популяции, остановиться на модели естественного роста численности популяции (модели Мальтуса).

Реальная система: имеется некоторая популяция одного вида (микроорганизмы, зайцы и т.п.), в которой происходят жизненные процессы во всем их многообразии.

Нужно уяснить, что модели Мальтуса и Ферхюльста являются основой моделирования процессов в биотехнологии (например, для установления оптимальных режимов выращивания различных микроорганизмов), привести пример нелинейной системы Вольтера (хищник–жертва) и показать, что эта система характеризуется особой точкой типа «центр» и является в целом неустойчивой.

ТЕМА 5. Основы качественной теории динамических систем

В результате освоения темы должно быть сформировано представление о современной теории «катастроф» в применении к биологическим объектам знать явление случайных колебаний в биологической системе (явление странного аттрактора), когда колебания носят непериодический квазистохастический характер.

Нужно уяснить, что главным понятием синергетики служит аттрактор. Он отражает конвергенцию или сведение последовательных цепочек (алгоритмов) внутренних процессов в сложных системах к единой конечной точке ОМЕГА (эффективный аттрактор). От стабильности аттрактора зависит упорядоченность сложной системы. В свою очередь, стабильность самого аттрактора определяется привлекающей силой и устойчивой направленностью всех формирующих его функциональных алгоритмов согласно изначальному предназначению. Отклонение хотя бы одного из алгоритмов исключает их воссоединение в конечной точке ОМЕГА. В таком случае принято говорить о «странном», несостоявшемся аттракторе. Образование странного аттрактора в пределах сложной системы создает угрозу ее перехода из упорядоченного состояния в хаотическое.

ТЕМА 6. Самоорганизация и автоволновые процессы

При изучении темы нужно усвоить понятие классификации типов динамического поведения и их зависимости от параметров, понятие систем с распределенными параметрами, где переменные концентрации зависят от пространственных координат. Примерами систем с распределенными параметрами в биологии могут служить такие процессы, как проведение нервного импульса, распространение возбуждения в нейронной сети, рост организмов, процессы морфогенеза и т.д.

10