Введение в функциональный анализ (60

(P ( x) + Q ( x))′ = P′( x) + Q′( x) ;

4). если оператор F : X → Y и G :Y → Z причем операторы F и G

дифференцируемы, то оператор GF дифференцируем и

(GF ( x))′ = G′( y ) F ′( x) ,

где y = F ( x) .

Дифференцирование по Гато обладает тем же свойствами, что и производная Фреше, однако для производных по Гато формула дифференцирования сложных функций, вообще говоря, не имеет места.

Приведем примеры дифференцирования операторов. Пусть Р(х) – оператор, переводящий элементы n-мерного пространства в n- мерное. В этом случае он определяется совокупностью n-функций с n неизвестными:

P ( x) = {ηk = fk (ξ1,...,ξn )} , k = 1,2,...,n .

Полагаем, что		fk (ξ1,...,ξn ) дважды дифференцируемы по
ξi , i=1,2,…,n .	Тогда оператор Р имеет производную Фреше									P′(x) ,
которая является матрицей частных производных
	′		∂fk
		( x) =		∂ξ			,		k,i=1,2,…,n ,
	P
						i
а P′′(x) – матрица:
			∂	2	fk
	P′′( x) =							,	k,i,j=1,2,…,n .
			∂ξi∂ξ j
Если P′′(x)	рассматривать как								билинейный оператор,	то он

определится системой n билинейных форм:

11

		n	¶	2		f
							k
	P¢¢( x) x¢x¢¢ =	∑						ξ ¢ξ	²	, k=1,2,…,n .
			¶ξ		¶ξ j
	i, j=1							i	j
				i
	Рассмотрим теперь интегральный оператор
			1
	P ( x) = ∫K (s,t, x								(t ))dt,
			0
	где K(s,t,x) – непрерывная		функция						своих аргументов, дважды

дифференцируемая	по x. Производная P′(x)	в данном	случае
представляет собой	линейный интегральный	оператор с	ядром
Kx¢ (s,t, x (t )) :

1

P¢( x) Dx = ∫Kx¢ (s,t, x (t ))Dx (t )dt,

0

а вторая производная P′′(x) есть билинейный интегральный оператор, определяемый равенством

1

P′′(x) x′ x′′ = ∫ K ′x′2 (s,t, x(t ))x′(t )x′′(t )dt .

0

Для дифференцируемого оператора Р(х) справедливо неравенство

P ( x + Dx) - P ( x) £ sup P¢( x + tDx) × Dx ,

0≤t≤1

представляющее аналог формулы конечных приращений.

Если оператор Р дифференцируем по Гато, то имеет место равенство, называемое формулой Лагранжа,

L (P ( x + Dx) - P ( x)) = L (P¢( x +τDx)Dx),

12

где τ = τ ( L) - некоторое положительное число, меньшее единицы, и L

– линейный функционал.

Для дифференцируемого оператора Р справедлив аналог формулы Ньютона-Лейбница

1

P ( x + x) − P ( x) = ∫P′( x + t x) xdt .

0

Если оператор Р(х) дифференцируем (n + 1) -раз, то имеет место оценка

′

1

(n)

P( x+Δx) − P( x) − P (x) x

−...−

P

(x)( x,..., x)

≤

n!

x

n+1

n+1

(

n

+1 ! sup

P(

) (x +t x)

,

) 0≤t≤1

представляющая аналог формулы Тейлора.

Оператор P ( x,u ) L ( X ,Y ), удовлетворяющей при x ¹ u из Х

равенству

P ( x,u )( x − u ) = P ( x) − P (u ),

при условии, что, в случае дифференцируемости Р, при x = u

P ( x, x) = P′( x) ,

называется разностной производной первого порядка, оператора Р. Оператор P (u,ϑ )h , u,ϑ X , является в общем случае

нелинейным относительно u и ϑ и линейным относительно элемента h.

Разностная производная, вообще говоря, не является единственной.

Если P (u,ϑ ) = P (ϑ,u ) , то разностная производная P (u,ϑ )

симметрична.

13

Когда оператор P ( x) дифференцируем, разностная производная P (u,ϑ ) допускает интегральные представление

1

P (u,ϑ ) = ∫P¢(ϑ + t (u -ϑ ))dt .

0

Например, для интегрального оператора

1

P ( x) = ∫K (s,t, x (t ))dt

0

разностная производная определяется равенством

1	K (s,t,u (t )) - K (s,t,ϑ (t ))
P (u,ϑ ) h = ∫		h (t )dt .
	u (t ) -ϑ (t )
0

Далее, разностной производной второго порядка, построенной по элементам u,ϑ ,w (u ¹ w) из Х, называется билинейный оператор P (u,ϑ, w)Î I (X 2 ,Y ), для которого

P(u,ϑ, w)(u − w) = P(u,ϑ ) − P(ϑ, w) ,

при условии, что

P ( x, x, x) = 1 P¢¢( x)

2

в случае дважды дифференцируемости Р.

Разностную производную P (u,ϑ, w) можно также рассматривать и как элемент пространства L ( X , L ( X ,Y )) .

Таким же образом вводится понятие разностной производной более высокого порядка.

Если оператор Р имеет разностные производные до k-го порядка и x0 X , то имеет место формула

14

P(x) =P(x0) +P(x0,x)(x−x0) +K+P(x,x0,K,xn)(x−x0,K,x−xn),

представляющая обобщение интерполяционной формулы Ньютона для операторов.

Более детально с основными понятиями функционального анализа можно, например, ознакомиться в монографии В. А. Курчатова. Оптимальные итерационные методы линеаризаций. Казань: КГУ, 1998.

15