Расчет напряженности магнитного поля плоского витка с током (80

В статье [1] получены аналитические выраже­ ния для напряженности магнитного поля плоско­ го витка с током, состоящего из двух радиальных и двух дуговых участков. Выражения позволяют определить напряженность магнитного поля в точках, лежащих в плоскости витка, расположен­ ного в однородной изотропной среде. Задача ре­ шалась на основе закона Био-Савара [2]. При этом исходная зависимость напряженности с/Я в точке М плоскости от тока / в элементе dl контура витка была преобразована к виду, удобному для решения поставленной задачи, что позволило пу­ тем интегрирования найти аналитические выраже­ ния напряженности магнитного поля в точке М от тока / радиальных и дуговых участков контура.

(рис. 1) от тока / радиального (прямолинейного)

участка АВ аналитическое выражение известно [3, 4]. В []] оно представлено в виде:

где до ~ длина перпендикуляра МК, опущенного из точки М на направление АВ; у] и у2 — углы, отсчитываемые от перпендикуляра МК к лучам МА и MB соответственно. Аналогично и выраже­ ние для точки М\, расположенной по другую сто­ рону от направления АВ (рис. 1):

Зависимости (1) и (2) характеризуются одина­ ковой структурой и могут быть представлены в виде единого аналитического выражения:

где £=1, если точка М, в которой определяется напряженность магнитного поля, находится слева от отрезка АВ по направлению тока, и £=—1 при расположении точки М справа от направления АВ. При этом в формуле (3) целесообразно дать еди­ ное обозначение углов, поскольку они в обоих случаях образуются единообразно.

А

Mi

Рис. 1

Выражение для напряженности в точках плос­ кости от тока, протекающего по дуговым участкам контура, содержит эллиптические интегралы [1], что значительно осложняет расчет.

В настоящей статье предлагается алгоритм приближенного расчета напряженности магнитно­ го поля витка, который позволяет значительно уп­ ростить расчет и сократить его время. Алгоритм разработан применительно к плоскому витку про­ извольной геометрической формы. Некоторые виды витков, встречающиеся в задачах электро­ техники, показаны на рис. 2. Для решения постав­ ленной задачи криволинейные участки витка (рис. 2,а-в) аппроксимируются набором прямоли­ нейных отрезков.

На рис. 3 приведены обозначения геометриче­ ских параметров, соответствующих выделенному элементу AjBj. Каждому элементу присвоен но­ меру (у= 1, 2 п) при их общем числе п. Начало

раметры, относящиеся к элементу у, имеют соот­ ветствующий индекс у (на рис. 3 в целях упроще­ ния эти индексы отсутствуют). Координаты гра­ ничных точек контура и точек, в которых опреде­ ляется напряженность, указаны в полярной систе­ ме координат с началом в точке О. Выбор этой точки достаточно произволен и подчинен сообра­ жениям удобства расчета для каждой конкретной задачи. Полярные координаты точки Kj (основа­ ние перпендикуляра МК:=а() обозначены как

pi и (pi. Длина лучей MAj и MBj обозначена соот­ ветственно через ау и bj. Координату точки Щ на направлении AjBj относительно точки Aj обозна­ чим через S- = А-К •, а координату точки Bj отно­ сительно точки К: — чt;=KKJBJ: :. . Заметим, что

значения SJ и tj могут быть положительными и от­ рицательными. Если точка Kj находится между точками Aj и Bj, то Sj и tj положительны. Если точ­ ка Kj находится перед точкой Aj (по направлению

рис. 3, получаем следующие геометрические соот­ ношения, необходимые для построения расчетно­ го алгоритма:

где / • = /1 • i? • — длина участка А • 5 • контура витка. Формулы (4)—(10) справедливы как для точек

Л/, расположенных внутри контура, так и для то­ чек М\ снаружи контура.

Напряженность магнитного поля определяется по формуле (3) для каждого участка контура, а ре­ зультирующая напряженность должна быть найде­ на в соответствии с принципом суперпозиции пу­ тем алгебраического суммирования результатов, полученных для отдельных участков.

Для организации вычислительного процесса алгоритм расчета может быть представлен в таб­ личной форме. Определение напряженности маг­ нитного поля витка упрощается, если стороны витка состоят из прямолинейных участков (рис. 2,г), В этом случае отпадает процесс аппрок­ симирования.

Остановимся далее на определении коэффици­ ента £ в формуле (3). Как уже отмечалось в пояс­ нении к формуле (3), он может принимать два значения: 1 или -1 — в зависимости от направле­ ния тока / и расположения точки М, в которой определяется напряженность. Указанный способ определения коэффициента £ удобен при «руч­ ном» счете. Однако при применении ЭВМ целесо­ образно указать алгоритм его определения, необ­ ходимый для программирования вычислительного процесса.

Будем различать участки / и // аппроксимиро­ ванного контура (рис. 3), граничные точки кото­ рых обозначены через С и D. На участке / ток i направлен от точки С к точке D, а на участке // — от точки D к точке С.

Введем в рассмотрение точку Lj (рис. 3), в кото­ рой направление элемента,/ контура пересекает луч ON, проведенный к точке N, в которой определяет­ ся напряженность поля. Соответствующие ради­ альные расстояния от начала координат О до точек Lj w К та рис. Ъ обозначены, через р L и p N .

витка с током; tpN — угловая координата точки N.

В качестве примера рассмотрим определение напряженности магнитного поля в точках М и N плоского витка, образованного двумя радиальны­ ми и двумя дуговыми участками (элемент обмотки торцевого электродвигателя). Аппроксимируя этот виток прямолинейными отрезками, получаем многоугольник, представленный на рис. 4.

Соответствующая длина элементов контура: /, =/2 = /,0 = /9 = 2 • 13sin 7,5°= 3,3937 см;

/3 =/8 =4см;

/4 = /5 = /6 = /? = 2 • 9 sin 7,5°= 2,3495 см.

Точка М расположена в плоскости симметрии магнитного поля, поэтому для получения оконча-

/^jJ-iUUio

Рис.4

Номер

контура j полярные координаты

Таблица 2

тельного результата достаточно рассмотреть влия­ ние участков / - 5 с последующим удвоением сум­ мы значений напряженностей, найденных от тока этих элементов.

Граничную точку С совместим с точкой Ay, a точку D — с точкой ВТ, (рис. 4).

Составим расчетные таблицы для определения напряженности магнитного поля в точке М. В табл. 1 указаны значения известных геометриче­ ских параметров и параметров, вычисленных по формулам (4) и (5).

В табл. 2 приведены параметры, рассчитанные по формулам (6)—(13).

Напряженность магнитного поля в точке М на­

Соответствующее значение, найденное по фор­ мулам [1] с использованием эллиптических инте­

гралов: Н ^ = — 2,11776. Сравнивая результаты,

И—Я

Определенный интерес представляет определе­ ние напряженности магнитного поля в точке /V

(рис. 4), расположенной за пределами контура витка с током. Результаты вычислений представ­ лены в табл. 3 и 4.

Напряженности магнитного поля в точке JV ОТ тока / каждого элемента./ контура витка находим по формуле (3) с учетом значения коэффициента £ •:

Значение того же отношения, найденное в [1], равно —0,208. Расхождение составляет 0,96%.

Предложенный приближенный алгоритм рас­ чета может быть рекомендован в тех случаях, ко­ гда точные методы связаны со сложными и дли­ тельными вычислениями, а точность результата