Расчет плоской стержневой системы на компьютере (90
..pdfГосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА КОМПЬЮТЕРЕ
Методические указания к самостоятельной работе студентов
Казань
КГТУ
2006
УДК 539
Составители: проф. М.Н.Серазутдинов доц. Ф.С.Хайруллин
Расчет плоской стержневой системы на компьютере:
Метод. указания к самостоятельной работе студентов. / Казан. гос. технол. ун-т. Сост.: М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин.
Казань, 2006, 16 с.
Изложены основные положения численного метода расчета стержневой конструкции, основанного на вариационном принципе Лагранжа. Даны особенности реализации алгоритма, представлены порядки ввода и вывода результатов.
Предназначены для студентов очной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Механика материалов и конструкций».
Подготовлены на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов.
Печатаются по решению методической комиссии по циклу общепрофессиональных дисциплин.
Рецензенты: проф. В.А.Иванов проф. В.А.Лашков
2
1. Основные соотношения
Рассматривается плоская стержневая система, состоящая из кусочно-гладких криволинейных стержней, закрепленных в точках, нагруженных сосредоточенными и распределенными нагрузками, подвергающихся воздействию температурного поля. Закон изменения температуры считается известным. Деформации, возникающие в стержнях, малы, справедлив закон Гука.
Для решения задачи используется вариационный принцип Лагранжа:
δП − δ'А* = 0 , |
(1) |
где П и δ'A* - потенциальная энергия деформации стержня и элементарная работа внешних сил.
Предполагается, что ось стержневой системы лежит в плоскости, в которой вводится глобальная система координат
~~
XZ (рис. 1).
Рис. 1
3
Разбивая систему на N частей (стержней) с продольными
осями γ |
( n = |
1, N |
), уравнение (1) можно представить в виде: |
|||
n |
|
∑N [δП ( u,w ,ϕ)− δ'A* ]= 0, |
|
|||
|
|
(2) |
||||
|
|
n=1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
где u, w |
и ϕ - компоненты перемещения и угол поворота |
|||||
поперечного сечения стержня в локальной системе координат
oxz. Ось ox направлена по касательной к оси стержня γ , а оси
n
oy и oz являются главными центральными осями инерции поперечного сечения стержня.
При использовании теории криволинейных стержней определение потенциальной энергии деформации вызывает довольно большие затруднения [1-2]. В связи с этим в данной работе используется метод, предложенный в статье [3]. На основании этого метода при определении потенциальной энергии криволинейных стержней можно использовать соотношения теории прямолинейных стержней, в соответствии с которой
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
du |
|
||||||
П = |
|
∫ EI |
|
|
|
|
− 2α T |
|
|
|
+ EA |
|
|
|
||
2 |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
n |
γ |
y dx |
|
|
|
t 2 |
|
|
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ k GA |
|
+ ϕ |
|
ds |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ'A* = ∫ (q δu + q δw)ds + ∑ F δu + ∑ F δw |
||||||||||||||||
n |
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
xi |
|
i |
|
zi i |
||
|
|
γn |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− 2α |
T |
du |
|
+ |
|
|
|||||
|
|||||
t |
1 dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ ∑ M i δϕi ,
i
где E,G – модуль упругости и модуль сдвига материала стержня;
A, I - площадь и главный момент инерции поперечного
y
сечения стержня; k - коэффициент, зависящий от формы
y
4
поперечного сечения; α t - коэффициент линейного расширения;
T = T (s)+ z *T (s) |
- температура; F |
, F |
, M |
- |
компоненты |
||||
1 |
2 |
|
|
xi |
zi |
i |
|
|
|
сосредоточенной |
силы |
и |
сосредоточенный |
момент, |
|||||
действующие в точке с номером i; u |
, w , j |
- |
компоненты |
||||||
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
перемещения этой точки; s – |
длина дуги оси стержня. |
|
|||||||
Вкачестве искомых функций примем компоненты
перемещения |
|
~ |
~ |
|
и угол поворота |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u , u |
2 |
|
ϕ в глобальной системе |
||||||||||||||||||||||
|
~~ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
координат |
, |
которые представим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
XZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
(t ) = |
∑ A |
n |
f (t ) |
(k = 1,2), |
|
~ |
∑ |
А |
n |
f (t ), (3) |
|||||||||||||||
u |
|
|
j(t ) = |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
m=1 |
km m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 3m m |
|
|
|
|||||||||
где t = s / s |
|
(0 £ t £ 1); sn |
- длина оси стержня g ; |
An |
(k = |
|
|
|||||||||||||||||||
n |
1,3) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
km |
|
|
|
|||
- неизвестные постоянные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (t ) = 1 - t , f (t ) = t , f (t ) = f (t )×t m−2 , m = |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3, M |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t ) , |
|||
Можно заметить, что при выбранных функциях f |
||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
~ |
(1) = A |
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
n |
, |
n |
|
A |
n |
|
A |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u (0) = A |
|
u |
|
, j(0) = |
|
, j(1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k |
k1 |
k |
|
|
k 2 |
|
|
31 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
An , An |
|
|
(k = |
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, |
|
коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
1,3) |
равны |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перемещениям и углам поворотов поперечных сечений концов стержней. Это позволяет довольно легко осуществлять стыковку перемещений и поворота поперечного сечения стержней и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Так, если
положить An |
= An+1 (k = |
|
|
1,3) , то будет выполнено условие |
|||
k 2 |
k1 |
||
стыковки перемещений и поворота поперечного сечения конца
стержня g с соответствующими перемещениями и поворотом
n
поперечного сечения начала стержня gn+1 . Если же требуется
удовлетворить условию |
~ |
= 0 , |
то необходимо положить |
u |
1
An = 0 .
11
5
Компоненты перемещения и угол поворота в локальной и глобальной системах координат связаны соотношениями:
~ |
× cos b |
~ |
× sin b , |
|
||
u = u |
+ u |
2 |
|
|||
1 |
s |
|
|
s |
|
|
~ |
× cos b |
~ |
|
× sin b , |
(4) |
|
w = u |
- u |
|
||||
2 |
s |
1 |
s |
|
||
j = j~,
где b - угол поворота осей локальной системы координат xz
s
~~
относительно глобальной XZ в точке с координатой s. Подставляя соотношения (3) в (4), полученные выражения
в уравнение (2), приравнивая затем к нулю коэффициенты при
независимых вариациях dAn , придем к системе уравнений
km
относительно неизвестных постоянных An . При этом искомые
km
функции должны заранее удовлетворять геометрическим граничным условиям.
Из полученной системы уравнений определяются
неизвестные постоянные |
An |
. Затем по формулам (3), (4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
km |
|
|
|
находятся компоненты перемещений. |
||||||||||
Усилия в стержнях определяются по формулам |
||||||||||
|
|
du |
|
|
dw |
|
||||
N = EA |
|
|
, |
|
Q = k GA |
|
+ j , |
|||
|
|
|
||||||||
x |
|
dx |
z |
y |
dx |
|
||||
M |
= EI |
dj |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
y dx |
|
|
|
|
|
|||
где Nx, Qz |
– продольная и поперечная силы, My – изгибающий |
|||||||||
момент в поперечном сечении стержня.
Положительные направления перемещений и усилий показаны на рис.2.
6
Рис. 2
2. Численная реализация
На основе предложенной методики разработан алгоритм и пакет программ для расчета напряженно-деформированного
состояния плоских рам. |
Программа |
написана на |
языке |
|
Fortran-77 MS. |
Пакет |
программ |
реализован в |
виде |
исполняемого файла "Mk_Rama.exe". |
|
|
||
Работа с ним осуществляется следующим образом: |
|
|||
1)запустить файл " Mk_Rama.exe";
2)на запрос задать имя входного файла (записывается имя файла исходных данных);
3)на запрос задать имя выходного файла (записывается имя файла выходных данных).
Файл исходных данных должен быть создан до запуска программы. Подготовка исходных данных (см. далее п.4) производится с помощью программы, реализованной в виде файла "Rama_dan.exe", или с помощью любого текстового редактора.
7
3.Особенности реализации алгоритма
3.1.Задание геометрии и механических характеристик стержневой системы
Предполагается, что рассматриваемая система составлена
из стержней γ , оси которых представляют собой кусочно-
n
~~
гладкие кривые, лежащие в плоскости XZ (рис.3). Ось каждого стержня аппроксимируется прямой, параболой, проходящей через три точки, или эллипсом (окружностью).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
Во входных |
данных |
задаются признак |
оси |
стержня, |
|||||
координаты точки |
~ |
~ |
начала стержня, точки |
A |
~ |
~ |
|
||
A (x , z ) |
(x , z ) |
||||||||
|
н н |
н |
~ |
|
|
к |
к |
к |
|
|
|
~ |
). |
|
|
|
|
|
|
конца стержня и точки A (x , z |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Если ось стержня – |
отрезок прямой, то точка A |
вводится |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
для определения |
направления |
оси oz. Если |
осью |
стержня, |
|||||
8
является парабола, то точка A - третья точка, однозначно
3
определяющая квадратичную параболу.
Для стержня, осью которого является часть эллипса, точка
A определяет центр эллипса. В этом случае дополнительно
3
задаются полуоси а и b эллипса. Не следует задавать стержень в виде части эллипса, длина дуги которого превышает половину длины дуги полного эллипса.
Направление оси oz может быть выбрано неоднозначно. Поэтому для однозначной ориентации этой оси для параболы и эллипса ось oz направляется в сторону выпуклости кривой, для
отрезка прямой – в направлении от точки A .
3
Геометрические и механические характеристики могут быть одинаковыми для всей системы или различными для разных стержней системы.
3.2. Использование симметрии
Программой предусмотрено использование симметрии
~ ~
относительно координатных осей X , Z , позволяющее существенно сократить объем вводимой информации и время решения задачи.
Если задача симметрична относительно одной из координатных осей, то задается информация о части стержневой системы, находящейся по одну сторону от оси симметрии.
3.3. Задание внешней нагрузки, температуры
Внешние нагрузки задаются в глобальной системе координат. Предполагается, что сосредоточенные силы и моменты действуют в узловых точках стержней. Следовательно, если сосредоточенная нагрузка действует не в узловой точке
9
стержневой системы, то стержень, на который действует нагрузка, должен быть разбит на два стержня.
Принят |
линейный |
закон |
|
|
изменения |
интенсивности |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
) по длине стержня g : |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
распределенной нагрузки q (q , q |
|||||||||||||||
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
× t , |
|
(t = 0,1; i =1,2), |
|
|||||||||
q |
= q |
(1 - t) + q |
|
|
|
||||||||||
i |
~ |
нi |
~ |
кi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
}, |
~ |
} |
- |
|
значения |
компонент |
интенсивности |
|||||||
где {q , q |
{q |
, q |
|
||||||||||||
н1 |
н2 |
к1 |
к2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределенной нагрузки соответственно в начальном и конечном узле стержня.
Предполагается, что температура по длине и по высоте
поперечного сечения стержня g изменяется по линейному
n
закону:
T = (T |
+ z T |
)(1 - t )+ (T |
+ z T |
)t |
(t = |
|
). |
|
0,1 |
||||||||
н1 |
н2 |
к1 |
|
к2 |
|
|
|
|
Компоненты температуры T ,T |
,T |
,T |
задаются в локальной |
|||||
|
|
н1 |
н2 |
к1 |
к2 |
|
|
|
системе координат xz.
3.4. Задание условий закрепления
Стержни в узловых точках жестко соединены между собой и могут иметь закрепления, ограничивающие линейные и угловые перемещения. Наложение связи на перемещение учитывается путем введения признака закрепления для компоненты перемещения в глобальной системе координат.
4. Составление входной информации
Для подготовки исходных данных запустить программу "Rama_dan.exe". При этом на мониторе появляется первая страница, в которую необходимо ввести данные. Данные вводятся в окошечки в соответствии с пояснениями. Переход к следующей странице производится с помощью пункта меню
10