Расчет стержневой конструкции на изгиб и устойчивость (90

1.Метод сил

Для расчета статически неопределимых систем часто используется метод сил, который заключается в том, что в стержневой системе «дополнительные» связи (внешние и внутренние) отбрасываются и заменяются неизвестными сила-

ми и моментами. Величины этих сил и моментов в дальнейшем подбираются так,

чтобы перемещения стержневой системы соответствовали тем ограничениям, ко-

торые накладываются отброшенными связями. При этом способе решения неиз-

вестными являются силы и моменты, введенные вместо дополнительных связей.

Отсюда и название - «метод сил».

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой, и ее называют основной системой. Система, в которой дополни-

тельные связи заменены неизвестными силами и моментами, называется эквива-

лентной системой.

При освобождении от дополнительных связей, в тех сечениях, в которых становятся возможными линейные перемещения, вводятся сосредоточенные си-

лы, там, где стали возможны угловые смещения, вводятся сосредоточенные мо-

менты.

Вводимые неизвестные силы и моменты называются обобщенными силами и обозначаются X i , где i - номер неизвестной силы. Количество обобщенных сил определяет степень статической неопределимости системы. Линейные пере-

мещения и углы поворота сечений стержней в точках приложения сил X i назы-

вают обобщенными перемещениями и обозначают δi F .

Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подоб-

рать, как правило, несколько основных (эквивалентных) систем. Например, рама,

показанная на рис. 2а, является четырежды статически неопределимой. Здесь три связи являются «необходимыми», остальные четыре связи – дополнительными.

Отбрасывая четыре дополнительные связи в различных комбинациях, заменяя их неизвестными силами и моментами Х1, Х2, Х3, Х4, можно получить различные эк-

вивалентные системы (рис. 2б - 2г).

6

В качестве примера рассмотрим стержневую систему, представленную на рис. 2а. Освобождаясь от дополнительных связей так, как это показано на рис. 2б,

получим статически определимую систему (эквивалентную систему), на которую действуют неизвестные силы и моменты X i (i = 1,4).

Система канонических уравнений метода сил для определения X i запишет-

ся так:

где δi k - перемещение точки приложения силы X i по направлению силы X i от действия единичной силы Хk = 1, δi F - перемещение точки приложения силы X i

по направлению силы X i от действия внешних нагрузок.

Если система n раз статически неопределима, то система канонических уравнений будет содержать n уравнений относительно неизвестных сил Х1, Х2,

Х3,…, Хn.

Механический смысл канонических уравнений заключается в том, что они определяют условия равенства нулю перемещений точек приложения сил X i в

направлении сил X i . Для данного примера это вертикальное и горизонтальное перемещения и угол поворота сечения А и горизонтальное перемещение точки В.

Эти перемещения должны быть равны нулю, т.к. для заданной системы на эти пе-

ремещения наложены ограничения, т.е. наложены связи. Например, первое из уравнений (1.1) означает, что перемещение точки А по направлению силы Х1 от совместного действия сил Х1, Х2 , Х3, Х4 и внешних сил равняется нулю. Отметим,

что слагаемое δ1k Хk - перемещение точки А по направлению силы Х1 от действия силы Хk .

Перемещения δi k , δi F определяются с помощью интегралов Мора:

8

где M i , N i - изгибающий момент и продольная сила от действия единичной силы

Хk =1; M F , NF - изгибающий момент и продольная сила от действия внешних нагрузок; Е – модуль упругости; I, A – момент инерции и площадь поперечного сечения стержня.

В подавляющем большинстве случаев перемещения, вызванные изгибом,

значительно превышают перемещения, обусловленные растяжением и сжатием стержня. Поэтому в выражениях (1.2) интегралами, содержащими продольные силы, можно пренебречь. При этом получается

Порядок решения задачи:

1.Определяется степень статической неопределимости системы.

2.Выбираются основная и эквивалентная системы.

3.Записывается система канонических уравнений метода сил.

4.Определяются изгибающие моменты от внешних и единичных сил.

5.Вычисляются коэффициенты канонических уравнений.

6.Решается система канонических уравнений.

7.Решается статически определимая задача.

2. Расчет сжатой стойки на устойчивость

Для расчета сжатой стойки на устойчивость (рис.3) используется так назы-

ваемый практический метод расчета стержней на устойчивость. Как известно, для сжатых стержней, кроме условия прочности должно выполняться и условие ус-

тойчивости:

9

где ϕ - коэффициент уменьшения основного допускаемого на-

Рис. 3

пряжения (коэффициент продольного изгиба). Коэффициент ϕ за-

висит от материала и гибкости λ стержня, задается в таблицах (таблица 2).

Таблица 2

Подставляя (2.2) в неравенство (2.1), условие устойчивости представляется

в виде:

При расчетах стержней на устойчивость могут возникнуть две задачи. Если

заданы размеры стержня и требуется определить максимально допускаемую силу,

то из формулы (2.3) сразу находим: Fmax = Aϕ [σ ].

Если же требуется определить размеры поперечного сечения стержня, то задача усложняется. Коэффициент ϕ , входящий в правую часть неравенства

10