Устойчивость сжатых стержней (90
..pdf
2883
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по курсам
«Сопротивление материалов» и «Техническая механика»
Составитель: П.В. Борков
Липецк Липецкий государственный технический университет
2011
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по курсам
«Сопротивление материалов» и «Техническая механика»
Составитель: П.В. Борков
Липецк Липецкий государственный технический университет
2011
УДК 539(07) Б252
Рецензент – канд. техн. наук, доц. Б.И. Мешков
Борков, П.В.
Б252 Устойчивость сжатых стержней [Текст]: методические указания к решению задач по курсам «Сопротивление материалов» и «Техническая механика» / сост. П.В. Борков. - Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011. - 16 с.
Приведены примеры решения задач по теме «Устойчивость сжатых стержней» с краткими теоретическими сведениями из курса сопротивления материалов (технической механики).
Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 270800 «Строительство» очной, очно-заочной, заочной, ускоренной и индивидуальной форм обучения.
Табл. 2. Ил. 5. Библиогр. : 5 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2011
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Прямолинейная форма равновесия сжатого стержня устойчива до достижения сжимающей силой так называемого критического значения Даже незначительное превышение сжимающей силой критического значения связано с появлением весьма значительных прогибов стержня, а следовательно, больших изгибающих моментов и напряжений.
Расчет на устойчивость должен обеспечить такие соотношения между величиной сжимающей нагрузки, размерами стержня и упругими свойствами его материала, при которых будет обеспечена работа стержня на сжатие без опасности продольного изгиба. Это значит, что сила, сжимающая стержень, должна быть не больше допускаемой [F], которая составляет некоторую часть от критической:
|
(1) |
где – нормативный, или требуемый, коэффициент запаса устойчивости, |
|
зависящий в основном от назначения стержня и его материала. |
|
Для стальных стержней в строительных конструкциях принимают = |
|
=1,7…2,0. |
|
Критическая сила вычисляется по формуле Эйлера |
|
|
(2) |
где Е – модуль продольной упругости материала стержня; Jmin – минимальный момент инерции стержня;
- коэффициент приведенной длины, зависящий от способов закрепления концов стержня.
Значения коэффициента приведенной длины для однопролетных расчетных схем сжимаемых стержней приведены на рис.1.
Fкр |
Fкр |
Fкр |
Fкр |
Fкр |
Fкр |
l |
l |
l |
l |
l |
l |
µ=2 |
µ=1 |
µ=0,7 |
|
µ=0,5 |
|
µ=1 |
µ=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1. Значения коэффициента приведенной длины для сжатых стержней при различных способах закрепления концов
Напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при достижении сжимающей силой критического значения, также называют критическим:
|
|
|
|
(3) |
λ |
|
|
||
|
|
|
||
где λ - гибкость стержня; |
|
|
|
|
– минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.
При использовании в расчете на устойчивость формулы Эйлера обязательно должна быть произведена проверка ее применимости.
Формула Эйлера, выведенная на основе закона Гука, применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:
|
. |
(4) |
Обычно условие применимости формулы Эйлера выражают через гибкость |
||
стержня: |
λ!", |
|
λ |
(5) |
|
где λпред - предельная гибкость, зависящая только от физико-механических свойств материала стержня:
|
|
λ!" # $ |
(6) |
Вслучае неприменимости формулы Эйлера критическое напряжение, а значит,
икритическая сила для стальных, дюралюминиевых и деревянных стержней могут быть вычислены по эмпирической линейной зависимости формула Ясинского
|
λ |
(7) |
|
В зависимости от постановки задачи расчет по нормам строительного проектирования может быть проверочным, проектным или служащим для
определения допускаемой нагрузки. |
|
Проверочный расчет |
|
бр ()$ |
(8) |
Определение допускаемой нагрузки |
|
бр |
(9) |
Проектный расчет |
|
* ()$ |
(10) |
Необходимо иметь ввиду, что местные ослабления стержня (отверстия под заклепки или болты, канавки и т.п.) не оказывают заметного влияния на его общую устойчивость, поэтому в указанные формулы следует подставлять полную площадь сечения брутто Абр без учета ослаблений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
F=160 кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Произвести проверочный расчет |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
d=16 |
см |
|
сжатой деревянной стойки, изображенной на |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.2, при основном расчетном сопротивлении |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R=14 МПа. |
|
|
||||||
l=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа стойки с коэффициентом |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
запаса не ниже нормального будет обеспечена |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
соблюдении условия |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
()$ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Определяем радиус инерции сечения |
|
|
гибкость стойки: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# + |
|
|
, / |
/ /1234 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
./ |
/ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
5 6 7 /55 |
65$ |
||||||
|
По табл. прил. 1 находим |
|
|
/ |
|
||||||||||||||||||||||
|
Находим |
|
|
|
расчетное напряжение( 5 .08$ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0.5 7 059 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
: 0/ 7 5 0. |
6 ;. 7 05 |
|
1=> 6 ;.1?=> 5 .08 7 0/ @ A61?=>$ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стойка работает с недогрузкой (7,1 %).
Пример 2. Для стального стержня трубчатого сечения 150×5 мм (рис. 3) требуется определить значения допустимой расчетной сжимающей силы и критической силы. В расчетах принять R=200 МПа, Е=2,1·105 МПа, σпц=200 МПа.
l=5 м
|
F |
|
y |
|
|
|
|
Решение. |
Вычисляем геометрические |
|||
|
|
δ=0,5см |
||||||||||
|
|
|
|
характеристики сечения: |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 A & 6 88 66123 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C D- 6 A- & 6- 1A;;123-, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A;; |
|
|
|
|
|
d=15 см |
|
|
B C #88 66 A 0:123$ |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим гибкость стержня |
|||
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
λ 8 7 A55 0;A$ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
. |
1 |
|
|
|
|
линейной интерполяции находим коэффициент |
|||||||||
По табл |
прил |
|
с помощью |
A 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
продольного изгиба |
( 5 805 & 5 805 & 5 0;0 7 A 5 850$ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расчетной силы: |
|
|
|
|
|||
Вычисляем значение допустимой |
05 |
7 88 66 E 05 |
|
;0 A/1 |
$ |
||||||||||||
Находим |
предельную() гибкость5 850 7 855стержня7 05 |
F- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
8 0 7 05G |
|
|
кН |
||
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
058$ |
|
||||||
|
|
|
|
!" # : 0/# |
|
855 |
λ!", значение |
||||||||||
Поскольку гибкость стержня больше предельной гибкости λ1 |
|||||||||||||||||
критической силы определяем по формуле Эйлера: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
: 0/ 7 8 0 7 05HH |
|
7 A;; 7 05FI |
08/ 581 J$ |
||||||||||
|
|
|
|
в стержне 8 7 A |
|
|
|
||||||||||
Критические напряжения |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
08/ 58 7 059 |
A/ /61?=> K 8551?=>$ |
|||||||||||||
|
|
88 66 7 05F- |
|||||||||||||||
Потеря устойчивости стержня произойдет в пределах пропорциональности материала.
Пример 3. Подобрать сечение двухветвевой колонны, выполненной из стального |
|||||||||||||
швеллера, соединенного накладками (рис.4), определить расстояние между ветвями |
|||||||||||||
d, найти значение критической силы Fкр, коэффициента запаса устойчивости nуст, |
|||||||||||||
если F=530 кН, l=6 м. Сталь 3: R=200 МПа; Е=2,1·105 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
F=530 кН |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Определение |
размеров |
сечения |
|||||
|
|
|
|
|
исходя из устойчивости в плоскости X-X |
|
|
||||||
м |
|
|
|
|
Условие |
прочности с |
учетом устойчивости |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=6 |
|
|
|
|
имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
LB 8 7 7 ( )$ |
|
|
|
||||
|
|
Y |
|
|
В уравнении два неизвестных – А, ϕ, поэтому |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задача решается методом |
последовательных |
|||||||
x0 |
a |
x0 |
|
|
приближений. |
Задаваясь |
значением |
ϕ |
в |
||||
|
a |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
пределах 0,6…0,8, примем начальное значение |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ϕ0=0,7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
d |
b |
|
|
Тогда требуемая площадь сечения одной |
|
|
||||||
|
|
ветви |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4 |
|
|
|
A:5 7 059 |
0@ ;8123 |
|
$ |
|
|
|
||
|
|
ϕ |
M |
|
|
|
|
||||||
|
8 7 ) 7 |
|
8 7 855 7 05< 7 5 6 |
|
|
|
|
||||||
Выбираем по сортаменту швеллер №16а: А=19,5 см2, ix=6,49 см.
λ 7 5 A 7 .55 |
/. 88$ |
|
||
Гибкость колонны |
|
|
|
|
Коэффициент продольного изгибаB |
для. /;λ |
определяем по табл. прил. 1 с |
||
ϕH 5 ;5. & 5 ;5. & 5 @.; 7 . 5 @@/$ |
||||
помощью линейной интерполяции ближайших соседних/. 88 |
значений |
|||
Фактическое напряжение в сечении |
05 |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A:5 7 059 |
|
0A: 6:1?=> N ) 8551?=>$ |
|||||||||||||||
8 7 7 |
H |
|
8 7 0; A 7 05F- |
7 5 @@/ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (M O8 |
ϕH |
5 6 O85 @@/ |
5 6;84 |
|
|
||||||||||||||||
Ввиду значительного недонапряжения повторяем расчет, принимая |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A:5 7 059 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. 6:123 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
8 7 ) 7 |
|
|
|
|
8 7 855 7 05 |
< |
7 5 6;8 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, ix=5,66 |
см. |
|||||||||||||||
Выбираем по сортаменту швеллер №14а: А=17,0 см |
||||||||||||||||||||||||||||||
λ |
|
7 |
|
5 A 7 .55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 @.; & 5 @86 |
|
|
||||||||||
Гибкость колонны |
|
|
|
A: P (9 5 @.; & |
|
|
05 |
7 : 5 @A.4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
A .. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
A:5 7 059 |
0@8 01?=> K ) 8551?=>$ |
||||||||||||||||
|
8 7 7 |
|
|
8 7 06 7 05F- |
7 5 @A. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
( |
O ϕ9 |
|
|
|
5 6;8 O 5 @A. |
|
|
|
|
||||||||||
Ввиду недонапряжения больше 5% повторяем расчет, принимая: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
5 @8/4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
- |
|
|
|
|
|
|
A:5 7 059 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 7 ) 7 |
|
|
8 7 855 7 05< |
7 5 @8/ 0. 5@123 $ |
|||||||||||||||||||||||
Выбираем по сортаменту швеллер №14: А=15,6 см2, ix=5,6 см. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Гибкость колонны |
|
|
|
A/ P (G 5 @.; & 5 @.; & 5 @86 |
7 / 5 @A84 |
|||||||||||||||||||||||||
λ |
|
7 |
|
5 A 7 .55 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
ϕ |
9 |
|
A . |
|
|
|
A:5 7 059 |
|
|
|
|
|
05 |
|
|
|||||||||||
8 7 7 |
|
|
|
8 7 0A . 7 05F- |
7 5 @A8 |
0;; :@1?=> K ) 8551?=>$ |
||||||||||||||||||||||||
Принимаем окончательно швеллер № 14: Q 0/123 ' A @123 1RM 0 .6123 |
||||||||||||||||||||||||||||||
0A .123 1 B /;0123- 1 B |
A .123 C /A /123- C |
0 6123$ |
||||||||||||||||||||||||||||
Момент инерции колонны из плоскости X-X: B |
8 7 /;0 ;@8123-$ |
|||||||||||||||||||||||||||||
Момент инерции колонны из плоскости Y-Y: C |
0 0A 7 B 008;123-$ |
|||||||||||||||||||||||||||||
Момент инерции |
|
|
сечения |
|
C |
принят |
с запасом 15% |
|
для совместного |
|||||||||||||||||||||
обеспечения равноустойчивости колонны в целом и ее отдельных ветвей.
2. Определение ширины сечения колонны B и расстояния между ее ветвями d